资源简介

中小学教育资源及组卷应用平台
学 科 数学 年 级 八 设计者
教材版本 湘教版 册、章 上册第4章
课标要求 1.理解三角形及其内角、外角、中线、高线、角平分线等概念，了解三角形的稳定性. 2.探索并证明三角形的内角和定理，掌握它的推论：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和. 3.证明三角形的任意两边之和大于第三边. 4.理解全等三角形的概念，能识别全等三角形的对应边、对应角. 5.掌握基本事实：两边及其夹角分别相等的两个三角形全等. 6.掌握基本事实：两角及其夹边分别相等的两个三角形全等. 7.掌握基本事实：三边分别相等的两个三角形全等. 8.证明定理：两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等. 9.理解线段垂直平分线的概念，探索并证明线段垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等；反之，到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上。 10.理解等腰三角形的概念，探索并证明等腰三角形的性质定理：等腰三角形的两个底角相等；底边上的高线、中线及顶角平分线重合. 11.探索并掌握等腰三角形的判定定理：有两个角相等的三角形是等腰三角形. 12.探索等边三角形的性质定理：等边三角形的各角都等于60°。 13.探索等边三角形的判定定理：三个角都相等的三角形(或有一个角是60°的等腰三角形)是等边三角形. 14.通过具体实例，了解定义、命题、定理、推论的意义. 15.结合具体实例，会区分命题的条件和结论，了解原命题及其逆命题的概念。会识别两个互逆的命题，知道原命题成立其逆命题不一定成立. 16.知道证明的意义和证明的必要性，知道数学思维要合乎逻辑，知道可以用不同的形式表述证明的过程，会用综合法的证明格式. 17.了解反例的作用，知道利用反例可以判断一个命题是错误. 18.通过实例体会反证法的含义. 19.能用尺规作图：已知三边、两边及其夹角、两角及其夹边作三角形；已知底边及底边上的高线作等腰三角形；过直线外一点作这条直线的平行线；作一条线段的垂直平分线；作已知角的平分线.
内容分析 本章是初中数学湘教版八年级上册第3章《三角形》，属于《义务教育数学课程标准》中的“图形与几何”领域中的“三角形”和“定义、命题、定理”。本章内容以三角形为核心，系统整合其定义、性质、分类及全等判定等知识，既承接平行线与相交线的基础，又为后续直角三角形、四边形等内容奠定方法论框架。教材通过“观察—操作—归纳”路径展开教学，如用小棒摆三角形、拼内角验证内角和定理，强化几何直观；同时注重逻辑推理渗透，例如通过三角形内角和定理推导外角性质，引导学生从特殊到一般归纳结论。此外，单元融入等腰三角形、等边三角形等特殊三角形研究，形成“一般—特殊”的认知结构，并通过全等三角形的判定（SSS、SAS等）培养演绎推理能力，体现“几何研究大观念”的单元整体设计理念。
学情分析 八年级学生已具备平行线、角度等几何基础，能初步运用逻辑推理解决简单问题，但对抽象概念的理解仍需直观支持。例如，在三角形三边关系中，学生易混淆“较短两边之和大于第三边”与“任意两边之和大于第三边”，需通过操作实验突破认知障碍；在全等三角形判定中，学生可能因忽视对应关系导致证明错误，需通过对比练习强化条件匹配意识。此外，学生合作探究能力较强，但独立思考与创新表达较弱，需通过角色扮演、开放性问题激发思维活力。
单元目标 （一）教学目标 1.认识三角形及三角形有关的概念，如三角形的顶点、边、角，会表示三角形，知道等腰三角形、等边三角形的概念. 2.掌握三角形的三边关系，能判断三条线段能否构成三角形. 3.认识三角形的高、角平分线、中线，能准确地表示出或画出相关图形. 4.探究并证明三角形的内角和定理，会应用定理进行相关计算. 5.会根据角的大小对三角形进行分类. 6.认识三角形的外角，掌握三角形的外角的性质，会应用三角形的外角及内角和进行相关 计算. 7.初步认识定义、命题、互逆命题、公理、定理、互逆定理的概念. 8.能分清命题的条件和结论，会把命题写成“如果……，那么……”的形式. 9.会判断命题的真假，会用举反例的方法说明一个命题是假命题. 10.会识别两个命题是不是互逆命题，会写出一个简单命题的逆命题. 11.知道证明的一般步骤及反证法，会进行一些简单命题的证明. 12.认识全等图形与全等三角形，会正确找出全等三角形的对应边、对应角. 13.能利用全等三角形的性质进行简单的推理和计算，解决一些实际问题. 14.掌握判定两个三角形全等的四个判定定理，并能熟练地判定两个三角形全等. 15.在探索三角形全等的条件及其运用过程中，培养实践能力和逻辑思维能力. 16.知道尺规作图的概念，对尺规作图题会写已知、求作和作法. 17.会用尺规作一个角等于已知角，过直线外一点作这条直线的平行线. 18.在分别给出三边、两边及其夹角、两角及其夹边的条件下，会用尺规作三角形. 19.会利用尺规作图留下的痕迹分析作图类型并能利用相关知识解决问题. 20.掌握等腰三角形、等边三角形的性质，能利用等腰三角形、等边三角形的性质进行计算与证明. 21.掌握等腰三角形、等边三角形的判定定理，能利用等腰三角形、等边三角形的判定定理证明一个三角形是等腰三角形或等边三角形. 22.尝试说理，进一步发展有条理的思考和表达能力，提高演绎推理能力. 23.认识线段的垂直平分线，会利用线段垂直平分线的性质进行相等线段的转化. 24.能运用线段垂直平分线的性质定理及逆定理解决问题. 25.会用尺规作一条线段的垂直平分线以及过一点作已知直线的垂线. 26.已知底边及底边上的高线会用尺规作等腰三角形. 27.会用尺规作已知角的平分线. （二）教学重点、难点 重点 1.三角形边角关系与内角和定理的系统掌握. 2.全等三角形的性质及三种基本判定方法的灵活运用. 3.等腰三角形“等边对等角”及“三线合一”的本质理解. 4.定义、命题、证明的逻辑结构与书写规范. 难点 1.从实验验证上升到演绎证明的思维转换. 2.在复杂图形中准确找出全等三角形的对应元素并选择恰当判定. 3.将等腰三角形性质迁移到多步证明与实际问题. 4.对命题条件、结论及逆命题的辨析与反例构造.
单元知识结构框架及课时安排 （一）单元知识结构框架 （二）课时安排 课时编号单元主要内容课时数4.1认识三角形24.2命题与证明34.3全等三角形54.4尺规作图24.5等腰三角形34.6线段的垂直平分线2第3章小结与复习1
达成评价 课题课时目标达成评价评价任务4.1 认识三角形（1）1.认识三角形及三角形有关的概念，如三角形的顶点、边、角，会表示三角形.知道等腰三角形、等边三角形的概念。 2.掌握三角形的三边关系，能判断三条线段能否构成三角形。 3.认识三角形的高、角平分线、中线，能准确地表示出或画出相关图形。1.能判断三条线段能否构成三角形。2.能利用二次根式有意义的条件求字母的取值范围。 3.能准确地表示出三角形的高、角平分线、中线或画出相关图形。任务一：情境导入，观察图形。 任务二：探究新知，认识三角形及三角形有关的概念。 任务三：例题精讲，运用知识。 任务四：巩固练习，课堂小结。4.1 认识三角形（2）1.探究并证明三角形的内角和定理，会应用定理进行相关计算。 2.会根据角的大小对三角形进行分类。 3.认识三角形的外角，掌握三角形的外角的性质，会应用三角形的外角及内角和进行相关计算。1.会应用三角形的内角和定理进行相关计算。 2.会根据角的大小对三角形进行分类。 3.会应用三角形的外角及内角和进行相关计算。任务一：动手操作，回顾旧知。 任务二：探究新知，进行证明。 任务三：例题精讲，应用三角形的外角及内角和进行相关计算。 任务四：巩固练习，课堂小结。4.2.1 定义，命题1.理解并掌握二次根式乘法法则，能正确计算及含系数的乘法。 2.能逆向应用法则化简二次根式，确保结果为最简形式。能正确计算及含系数的乘法。任务一：复习导入，回顾积的算术平方根的性质。 任务二：探究新知，观察猜想. 任务三：例题精讲，运用法则进行计算。 任务四：巩固练习，课堂小结4.2.2 证明，举反例1.理解反例的作用，学会通过构造反例判断假命题，并能在不同类型的命题中灵活运用证明与举反例的方法。 2.知道证明的一般步骤及反证法，会进行一些简单命题的证明。1.会通过构造反例判断假命题，并能在不同类型的命题中灵活运用证明与举反例的方法。 2.会进行一些简单命题的证明。任务一：认真思考，初步感知举反例。 任务二：探究新知，探究举反例和证明. 任务三：例题精讲，进行证明。 任务四：巩固练习，课堂小结4.2.3 定理，推论1.理解定理与推论的概念，掌握定理的证明方法，能运用已知定理推导简单推论。 2.初步认识定理、互逆定理的概念。能运用已知定理推导简单推论。任务一：复习导入，回顾已学定理。 任务二：探究新知，探究定理和推论。 任务三：例题精讲，进行证明。 任务四：巩固练习，课堂小结4.3.1 认识全等三角形1.认识全等图形与全等三角形，会正确找出全等三角形的对应边、对应角。 2.能用符号正确表示两个全等三角形。 3.能利用全等三角形的性质进行简单的推理和计算，解决一些实际问题。1.会正确找出全等三角形的对应边、对应角。 2.能用符号正确表示两个全等三角形。 3.能利用全等三角形的性质进行简单的推理和计算，解决一些实际问题。任务一：认真观察，提出猜想。 任务二：探究新知，全等三角形的性质。 任务三：例题精讲，进行计算。 任务四：巩固练习，课堂小结。4.3.2 全等三角形的判定定理（边角边）1.理解“边角边”（SAS）判定定理的内容，能准确识别定理中的对应边和夹角。 2.掌握定理的证明方法。能运用SAS定理证明两个三角形全等，并解决简单的几何问题。任务一：认真观察，进行判断。 任务二：探究新知，掌握边角边。 任务三：例题精讲，进行判定。 任务四：巩固练习，课堂小结。4.3.3 全等三角形的判定定理（角边角、角角边）1.理解“角边角、角角边”判定定理的内容，能准确识别定理中的对应边和对应角。 2.掌握定理的证明方法。能运用ASA、AAS定理证明两个三角形全等，并解决简单的几何问题。任务一：认真思考，动手操作。 任务二：探究新知，掌握角边角、角角边。 任务三：例题精讲，进行判定。 任务四：巩固练习，课堂小结。4.3.4 全等三角形的判定定理（边边边）1.理解“边边边”判定定理的内容，能准确识别定理中的对应边和对应角。 2.掌握定理的证明方法。能运用SSS定理证明两个三角形全等，并解决简单的几何问题。任务一：认真思考，动手操作。 任务二：探究新知，掌握边边边。 任务三：例题精讲，进行判定。 任务四：巩固练习，课堂小结。4.3.5 全等三角形的应用1.理解全等三角形在测量、设计、证明等实际问题中的应用价值。 2.能根据问题条件抽象出全等三角形模型，灵活运用判定定理和性质解决线段相等、角相等及不可达距离测量等问题。能根据问题条件抽象出全等三角形模型，灵活运用判定定理和性质解决线段相等、角相等及不可达距离测量等问题。任务一：复习导入，回顾旧知。 任务二：探究新知，构建全等三角形模型。 任务三：例题精讲，进行判定。 任务四：巩固练习，课堂小结。4.4 尺规作图（1）1.掌握尺规作图的基本方法，能正确作出“已知三边的三角形”“一个角等于已知角”“已知两边及其夹角的三角形”。 2.理解三种作图方法的理论依据（SSS、SAS全等判定及角复制原理），并能用几何语言清晰表达步骤。能用规范的几何语言描述作图步骤，能读懂并绘制简单的作图流程图。任务一：复习导入，回顾旧知。 任务二：探究新知，学习尺规作图的基本方法。 任务三：例题精讲，运用知识。 任务四：巩固练习，课堂小结。4.4 尺规作图（2）1.能规范使用直尺和圆规完成“已知两角及其夹边作三角形”与“过直线外一点作平行线”任务，掌握关键步骤。 2.理解两种作图方法的理论依据（AAS全等判定、同位角相等两直线平行），并能用几何语言清晰表达。能用规范的几何语言描述作图步骤，能读懂并绘制简单的作图流程图。任务一：复习导入，回顾旧知。 任务二：探究新知，学习尺规作图的基本方法。 任务三：例题精讲，运用知识。 任务四：巩固练习，课堂小结。4.5 等腰三角形（1）1.掌握等腰三角形的性质定理，能运用“等边对等角”和“三线合一”解决角、线段相等的证明问题。 2.理解性质定理的证明方法（利用全等三角形），规范书写推理过程。能运用“等边对等角”和“三线合一”解决角、线段相等的证明问题。任务一：复习导入，回顾旧知。 任务二：探究新知，学习等腰三角形的性质。 任务三：例题精讲，运用知识。 任务四：巩固练习，课堂小结。4.5 等腰三角形（2）1.掌握等腰三角形的判定定理，并能运用该定理进行几何证明和计算。 2.理解判定定理与性质的互逆关系。能运用定理证明线段相等或三角形为等腰三角形。任务一：复习导入，回顾旧知。 任务二：探究新知，学习等腰三角形的判定定理。 任务三：例题精讲，运用知识。 任务四：巩固练习，课堂小结。4.5 等腰三角形（3）1.掌握等边三角形的性质和判定定理。 2.能运用性质与判定解决线段相等、角度计算及几何证明问题。能运用性质与判定解决线段相等、角度计算及几何证明问题。任务一：复习导入，回顾旧知。 任务二：探究新知，学习等边三角形的性质和判定。 任务三：例题精讲，运用知识。 任务四：巩固练习，课堂小结。4.6 线段的垂直平分线（1）1.理解线段垂直平分线的定义，掌握其性质定理与逆定理的内容及符号表达。 2.能运用性质定理与逆定理证明线段相等、点共线或垂直关系，解决简单几何问题。能运用性质定理与逆定理证明线段相等、点共线或垂直关系，解决简单几何问题。任务一：复习导入，回顾旧知。 任务二：探究新知，探究线段垂直平分线。 任务三：例题精讲，运用知识。 任务四：巩固练习，课堂小结。4.6 线段的垂直平分线（2）1.掌握线段垂直平分线、过一点作已知直线垂线、已知底边及高线作等腰三角形、作角平分线的尺规作图方法，能规范书写作图步骤。 2.理解各作图方法的几何依据。能用规范的几何语言描述作图步骤，能读懂并绘制简单的作图流程图。任务一：复习导入，回顾旧知。 任务二：探究新知，动手操作。 任务三：例题精讲，运用知识。 任务四：巩固练习，课堂小结。第4章 小结与评价1.系统回顾三角形的三边关系、内角和定理、外角性质及分类标准。 2.熟练运用全等三角形的判定与性质、等腰（等边）三角形的“等边对等角”“三线合一”等核心定理。 3.掌握垂直平分线的性质与判定，并能结合尺规作图解决实际问题。1.能够熟练运用三角形的三边关系、内角和定理、外角性质解决问题。 2.能够熟练运用全等三角形的判定与性质、等腰（等边）三角形的“等边对等角”“三线合一”等核心定理。 3.能够熟练运用垂直平分线的性质与判定解决问题任务一：知识图谱，梳理本章知识点。 任务二：思考回顾，回顾重点知识，了解注意事项 任务三：自评互评，了解知识掌握情况 任务四：巩固练习，进行习题自测。
21世纪教育网(www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台
分课时教学设计
第二课时《4.6 线段的垂直平分线》教学设计
课型 新授课 复习课 试卷讲评课 其他课
教学内容分析 《线段垂直平分线的尺规作图》是湘教版八年级上册第4章《三角形》的第六节第二课时的内容。本节课是在学生掌握基本尺规作图方法的基础上，进一步学习线段垂直平分线的精确作图方法及其衍生应用。教材通过严谨的几何原理，系统性地介绍利用圆规和直尺构造垂直平分线的步骤，并延伸至过点作垂线、构造等腰三角形和角平分线等实用作图技巧。这部分内容既巩固了圆的性质和全等三角形的知识，又为后续学习更复杂的几何作图奠定重要基础，体现了尺规作图在几何学习中的核心地位。
学习者分析 学生已具备使用圆规和直尺进行基本作图的能力，理解圆的基本性质和中垂线的概念。但在实际操作中，部分学生可能存在作图不精确、步骤遗漏或逻辑混乱的问题，特别是在处理多步骤复合作图时容易出错。此外，对作图原理的理解可能停留在模仿层面，缺乏对几何原理的深入认识。教学中需要通过分步演示、错误案例分析和原理讲解相结合的方式，帮助学生建立规范的作图习惯和几何思维。
教学目标 1.掌握线段垂直平分线、过一点作已知直线垂线、已知底边及高线作等腰三角形、作角平分线的尺规作图方法，能规范书写作图步骤。 2.理解各作图方法的几何依据。 3.在变式训练中提升识图能力与问题转化能力。
教学重点 线段垂直平分线、过一点作垂线、作等腰三角形、作角平分线的尺规作图步骤及几何依据。
教学难点 能在综合情境中灵活选用、组合各种基本作图。
学习活动设计
教师活动学生活动环节一：新知导入教师活动1： 回顾：线段垂直平分线的性质定理及其逆定理是什么？ 线段垂直平分线的性质定理： 线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等. 线段垂直平分线的性质定理的逆定理： 到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上.学生活动1： 举手回答问题 认真听讲活动意图说明：复习导入有利于衔接新旧知识，提高学习效率。通过旧知识引入新的知识有利于活跃课堂教学氛围，激发学生学习动机。环节二：新知探究教师活动2： 探究一：作一条线段的垂直平分线 【说一说】已知线段AB，如果要作线段AB的垂直平分线，可以怎样作？根据是什么？ 教师讲授：根据线段垂直平分线的性质定理的逆定理可知，若能找出到线段AB两端距离相等的两个点，则这两点确定的直线就是线段AB的垂直平分线. 例2作一条线段的垂直平分线. 如图，已知线段AB. 求作线段AB的垂直平分线. 教师提问： 可以利用什么工具找出到线段AB两端距离相等的两个点？ 作法 （1） 分别以点A，B为圆心，以相同长度（大于AB的长）为半径画圆弧，两弧相交于点C和点D. （2） 过点C，D作直线CD，则直线CD就是线段AB的垂直平分线. 教师提问：怎么作线段的中点？ 教师讲授：由线段的垂直平分线的概念可知线段的垂直平分线平分该线段.因此作该线段的垂直平分线，取线段与垂直平分线的交点即可. 探究二：过一点P作已知直线l的垂线 【思考】如何用尺规过一点P作已知直线l 的垂线呢？ 教师讲授：若能找到直线 l 上的一条线段AB，使AB的垂直平分线经过点P，则该垂直平分线就是所求作的直线. 教师提问：点P与已知直线l的位置关系有几种？是什么？ 点P在直线l上 作法 ①以点P为圆心，以任意长为半径画圆弧，交直线l于点A，B ②分别以点A，B为圆心，以相同长度（大于AB的长）为半径画圆弧，两弧相交于点C ③过点C，P作直线CP，则直线CP为所求作的直线 点P在直线l外 作法 ①以点P为圆心，以大于点P到直线l的距离的长度为半径画圆弧，交直线l于点A，B ②分别以点A，B为圆心，以相同长度（大于AB的长）为半径画圆弧，两弧相交于点C ③过点C，P作直线CP，则直线CP为所求作的直线学生活动2： 结合已学知识认真思考 认真听讲 认真思考，动手操作 认真听讲，了解怎么作一条线段的垂直平分线 学生认真思考，举手回答问题 学生认真思考，举手回答问题 分类讨论 认真听讲活动意图说明：通过“作垂直平分线”“过点作直线垂线”的探究，让学生在动手操作里巩固尺规作图方法，理解相关定理，提升逻辑推理与实践能力，体会几何作图的严谨性。环节三：例题精讲教师活动3： 探究三：已知底边及底边上的高线作等腰三角形 例3已知底边及底边上的高线作等腰三角形. 如图，已知线段a，h. 求作△ABC，使AB=AC，且BC=a，高AD=h. 问题1：要作的△ABC满足哪些核心条件？ 问题2：根据条件，你认为先作出等腰三角形的哪部分？ 问题3：底边上的高在什么线上？如何作底边上的高？ 问题4：如何在这条线上确定点A，保证AD=h 作法 （1）作线段BC=a； （2）作线段BC的垂直平分线MN，交BC于点D； （3）在射线DM（或DN）上截取线段DA，使DA=h； （4）连接AB，AC，则△ABC为所求作的等腰三角形. 探究四：求作一个角的平分线 例4求作一个角的平分线. 如图，已知∠AOB，求作∠AOB的平分线. 分析：由于等腰三角形的顶角平分线也是底边上的垂直平分线，故先以∠AOB的顶点O为顶点，两腰分别在射线OA，OB上，构造等腰△ODE，然后过点O 作底边DE的垂直平分线OC，则射线OC就是∠AOB的平分线. 作法 （1）以点O为圆心，以任意长为半径画圆弧，分别与OA，OB交于点D，E，连接DE； （2）分别以点D，E为圆心，以相同长度（大于DE的长）为半径画圆弧，在∠AOB内部两弧交于点C； （3） 作射线 OC，则 OC 为所求作的∠AOB 的平分线.学生活动3： 认真思考 认真听讲，动手操作 认真思考 认真听讲，动手操作 活动意图说明：让学生通过具体例题的教学理解和巩固数学基础知识，把数学理论与实践相结合，掌握数学基础知识理论的用途和方法，从而达到提高分析问题解决问题的能力的目标。环节四：课堂总结教师活动4： 教师提问：这节课你收获了什么？ 学生活动4： 学生跟随教师对学习内容进行归纳梳理 活动意图说明：对课堂教学进行归纳梳理，给学生一个整体印象，促进学生掌握知识总结规律。
板书设计
课堂练习 【知识技能类作业】 必做题： 1.如图，用直尺和圆规作的平分线，则的依据是（　　） A．　　B．　　C．　　D． 2.如图所示，中，，，要求用圆规和直尺作图，把它分成两个三角形，其中一个三角形是等腰三角形．其作法错误的是（　　） A． B． C． D． 3.如图，已知，以A，B两点为圆心的长为半径画圆弧，两弧相交于点M，N，则的周长为（　　） A．8　　B．　　C．　　D． 选做题： 4.如图，在中，，根据作图痕迹推断的度数为　 　． 5.如图，在中，，，，分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，再过两弧的交点作直线，分别交于点，交于点，则的长为　 　． 6.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以△ABC的一边为边画等腰三角形，使得它的第三个顶点在△ABC的其他边上，则可以画出的不同的等腰三角形的个数最多为　 　． 【综合拓展类作业】 7.已知：，点A为射线上一点，在内部求作点 P，使，且点 P到和的距离相等．（尺规作图，保留作图痕迹，不写做法）
作业设计 【知识技能类作业】 必做题： 1.如图，数学课上，老师让学生尺规作图画∠MON的角平分线OB、小明的作法如图所示，连结BA、BC，你认为这种作法中判断△AOB≌△COB的依据是（　　） A．SSS　　B．SAS　　C．ASA　　D．AAS 2.如图，，以点为圆心，小于长为半径作圆弧，分别交，于，两点；再分别以，为圆心，大于长为半径作圆弧，两条圆弧交于点，作射线交于点．若，则的大小是（　　） A．　　B．　　C．　　D． 3.如图，已知钝角△ABC，依下列步骤尺规作图，并保留作图痕迹． 步骤1∶以C为圆心，CA为半径画弧①； 步骤2∶以B为圆心，BA为半径画弧②，交弧①于点D； 步骤3∶连接AD，交BC延长线于点H． 下列叙述正确的是( ) A．BH垂直平分线段AD B．AC平分∠BAD C．S△ABC=BC AH D．AB=AD 【综合拓展类作业】 4.如图，在中，点D在上，，，． （1）作的垂直平分线，分别交、于E、F （不写作法，保留作图痕迹）． （2）连接，求与的大小．
教学反思 教学过程中发现，学生在处理半径选取和交点确定时容易出错，需要加强针对性指导。引入数字化作图工具的对比演示，能有效帮助学生理解作图原理。后续可增加生活化应用情境，如设计对称图案、解决实际问题等，提升学习兴趣。对于学习困难的学生，可提供分步骤的动画演示辅助理解，确保每位学生都能掌握核心作图技能。
21世纪教育网(www.21cnjy.com)(共31张PPT)
第4章 三角形
4.6 线段的垂直平分线（2）
01
教学目标
02
新知导入
03
新知讲解
04
课堂练习
05
课堂小结
06
作业布置
01
教学目标
掌握线段垂直平分线、过一点作已知直线垂线、已知底边及高线作等腰三角形、作角平分线的尺规作图方法，能规范书写作图步骤。
01
理解各作图方法的几何依据。
02
在变式训练中提升识图能力与问题转化能力。
03
02
新知导入
线段垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等.
几何语言
∵点P在线段AB的垂直平分线上，
∴ PA=PB(线段垂直平分线的性质定理).
02
新知导入
线段垂直平分线的性质定理的逆定理:到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上.
几何语言
∵MA=MB，
∴点M在线段AB的垂直平分线上(线段垂直平分线的性质定理的逆定理).
03
新知探究
说一说
已知线段AB，如果要作线段AB的垂直平分线，可以怎样作？根据是什么？
根据线段垂直平分线的性质定理的逆定理可知，若能找出到线段AB两端距离相等的两个点，则这两点确定的直线就是线段AB的垂直平分线.
03
新知探究
作一条线段的垂直平分线
如图，已知线段AB.
求作线段AB的垂直平分线.
可以利用什么工具找出到线段AB两端距离相等的两个点？
作法 （1） 分别以点A，B为圆心，以相同长度（大于AB的长）为半径画圆弧，两弧相交于点C和点D.
（2） 过点C，D作直线CD，则直线CD就是线段AB的垂直平分线.
03
新知探究
思考
怎么作线段的中点．
由线段的垂直平分线的概念可知线段的垂直平分线平分该线段.
因此作该线段的垂直平分线，取线段与垂直平分线的交点即可.
03
新知探究
思考
如何用尺规过一点P作已知直线l 的垂线呢？
若能找到直线 l 上的一条线段AB，使AB的垂直平分线经过点P，则该垂直平分线就是所求作的直线.
由于点P与已知直线 l 的位置关系有两种，于是需分情况来作图.
03
新知探究
点P在直线l上
作法 ①以点P为圆心，以任意长为半径画圆弧，交直线l于点A，B
②分别以点A，B为圆心，以相同长度（大于AB的长）为半径画圆弧，两弧相交于点C
③过点C，P作直线CP，则直线CP为所求作的直线
03
新知探究
点P在直线l外
作法 ①以点P为圆心，以大于点P到直线l的距离的长度为半径画圆弧，交直线l于点A，B
②分别以点A，B为圆心，以相同长度（大于AB的长）为半径画圆弧，两弧相交于点C
③过点C，P作直线CP，则直线CP为所求作的直线
03
新知探究
已知底边及底边上的高线作等腰三角形.
例3
如图，已知线段a，h.
求作△ABC，使AB=AC，且BC=a，高AD=h.
问题1：要作的△ABC满足哪些核心条件？
问题2：根据条件，你认为先作出等腰三角形的哪部分？
问题3：底边上的高在什么线上？如何作底边上的高？
问题4：如何在这条线上确定点A，保证AD=h
03
新知探究
作法 （1）作线段BC=a；
（2）作线段BC的垂直平分线MN，交BC于点D；
（3）在射线DM（或DN）上截取线段DA，使DA=h；
（4）连接AB，AC，则△ABC为所求作的等腰三角形.
03
新知探究
求作一个角的平分线.
例4
如图，已知∠AOB，求作∠AOB的平分线.
分析：由于等腰三角形的顶角平分线也是底边上的垂直平分线，故先以∠AOB的顶点O为顶点，两腰分别在射线OA，OB上，构造等腰△ODE，然后过点O 作底边DE的垂直平分线OC，则射线OC就是∠AOB的平分线.
03
新知探究
作法 （1）以点O为圆心，以任意长为半径画圆弧，分别与OA，OB交于点D，E，连接DE；
（2）分别以点D，E为圆心，以相同长度（大于DE的长）为半径画圆弧，在∠AOB内部两弧交于点C；
（3） 作射线 OC，则 OC 为所求作的∠AOB 的平分线.
04
课堂练习
【知识技能类作业】必做题：
1.如图，用直尺和圆规作∠AOB的平分线OC，则△DOC≌△EOC的依据是（　　）
A．SSS　　
B．SAS　　
C．ASA　　
D．AAS
A
04
课堂练习
2.如图所示，Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，要求用圆规和直尺作图，把它分成两个三角形，其中一个三角形是等腰三角形．其作法错误的是（　　）
B
A
B
C
D
04
课堂练习
3.如图，已知AB=AC，AB=5，BC=3，以A，B两点为圆心AB的长为半径画圆弧，两弧相交于点M，N，则△BDC的周长为（　　）
A．8　　
B．10　　
C．11　　
D．13
A
04
课堂练习
【知识技能类作业】选做题：
4.如图，在△ABC中，∠A=60°，根据作图痕迹推断∠BOC的度数为　 　．
120°
04
课堂练习
5.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=60°，AC=，分别以点B，C为圆心，大于BC的长为半径画弧，再过两弧的交点作直线MN，分别交AB于点M，交BC于点N，则CM的长为　 　．
04
课堂练习
6.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以△ABC的一边为边画等腰三角形，使得它的第三个顶点在△ABC的其他边上，则可以画出的不同的等腰三角形的个数最多为　 　．
7
04
课堂练习
【综合拓展类作业】
7.已知：∠MON，点A为射线OM上一点，在∠MON内部求作点 P，使PO=PA，且点 P到OM和ON的距离相等．（尺规作图，保留作图痕迹，不写做法）
05
课堂小结
尺规作图
线段垂直平分线
过一点作已知直线的垂线
作一个角的平分线
已知底边及底边上的高线作等腰三角形
06
作业布置
【知识技能类作业】
1.如图，数学课上，老师让学生尺规作图画∠MON的角平分线OB、小明的作法如图所示，连结BA、BC，你认为这种作法中判断△AOB≌△COB的依据是（　　）
A．SSS　　
B．SAS　　
C．ASA　　
D．AAS
A
06
作业布置
2.如图，AB//CD，以点A为圆心，小于AC长为半径作圆弧，分别交AB，AC于E，F两点；再分别以E，F为圆心，大于EF长为半径作圆弧，两条圆弧交于点G，作射线AG交CD于点H．若∠C=140°，则∠AHC的大小是（　　）
A．20°　　
B．25° 　　
C．30° 　　
D．40°
A
06
作业布置
3.如图，已知钝角△ABC，依下列步骤尺规作图，并保留作图痕迹．
步骤1∶以C为圆心，CA为半径画弧①；
步骤2∶以B为圆心，BA为半径画弧②，交弧①于点D；
步骤3∶连接AD，交BC延长线于点H．
下列叙述正确的是( )
A．BH垂直平分线段AD
B．AC平分∠BAD
C．S△ABC=BC AH
D．AB=AD
A
06
作业布置
【综合拓展类作业】
4.如图，在△ABC中，点D在BC上，AC=CD，∠B=30°，∠ADB=100°．
（1）作AB的垂直平分线EF，分别交BC、AB于E、F （不写作法，保留作图痕迹）．
（2）连接AE，求∠C与∠AED的大小．
06
作业布置
解：连接AE，∵∠ADB=100°，
∴∠ADC=180°100°=80°，
∵AC=CD，
∴∠DAC=∠ADC=80°，
∴∠C=180°∠DAC∠ADC=180°80°80°=20°，
∵EF垂直平分线AB，
∴EB=EA，
∴∠EAB=∠B=30°，
∴∠AED=∠EAB+∠B=60°．
07
板书设计
线段垂直平分线的尺规作法：
过一点作已知直线的垂线：
已知底边及底边上的高线作等腰三角形：
作一个角的平分线：
4.6 线段的垂直平分线（2）
习题讲解书写部分
Thanks!
https://www.21cnjy.com/recruitment/home/fine中小学教育资源及组卷应用平台
第4章 三角形
4.6 线段的垂直平分线（2）
学习目标与重难点
学习目标：
1.掌握线段垂直平分线、过一点作已知直线垂线、已知底边及高线作等腰三角形、作角平分线的尺规作图方法，能规范书写作图步骤。
2.理解各作图方法的几何依据。
3.在变式训练中提升识图能力与问题转化能力。
学习重点：
线段垂直平分线、过一点作垂线、作等腰三角形、作角平分线的尺规作图步骤及几何依据。
学习难点：
能在综合情境中灵活选用、组合各种基本作图。
学习过程
一、复习回顾
回顾：线段垂直平分线的性质定理及其逆定理是什么？
二、新知探究
探究一：作一条线段的垂直平分线
教材第139页
【说一说】已知线段AB，如果要作线段AB的垂直平分线，可以怎样作？根据是什么？
例2作一条线段的垂直平分线.
如图，已知线段AB.
求作线段AB的垂直平分线.
问题：怎么作线段的中点？
探究二：过一点P作已知直线l的垂线
【思考】如何用尺规过一点P作已知直线l 的垂线呢？
三、例题探究
探究三：已知底边及底边上的高线作等腰三角形
例3已知底边及底边上的高线作等腰三角形.
如图，已知线段a，h.
求作△ABC，使AB=AC，且BC=a，高AD=h.
探究四：求作一个角的平分线
例4求作一个角的平分线.
如图，已知∠AOB，求作∠AOB的平分线.
四、课堂练习
【知识技能类作业】
必做题
1.如图，用直尺和圆规作的平分线，则的依据是（　　）
A． B． C． D．
2.如图所示，中，，，要求用圆规和直尺作图，把它分成两个三角形，其中一个三角形是等腰三角形．其作法错误的是（　　）
A． B．
C． D．
3.如图，已知，以A，B两点为圆心的长为半径画圆弧，两弧相交于点M，N，则的周长为（　　）
A．8 B． C． D．
选做题
4.如图，在中，，根据作图痕迹推断的度数为　 　．
5.如图，在中，，，，分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，再过两弧的交点作直线，分别交于点，交于点，则的长为　 　．
6.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以△ABC的一边为边画等腰三角形，使得它的第三个顶点在△ABC的其他边上，则可以画出的不同的等腰三角形的个数最多为　 　．
【综合拓展类作业】
7.已知：，点A为射线上一点，在内部求作点 P，使，且点 P到和的距离相等．（尺规作图，保留作图痕迹，不写做法）
五、课堂小结
这节课你收获了什么，在计算过程中须注意什么
六、作业布置
1.如图，数学课上，老师让学生尺规作图画∠MON的角平分线OB、小明的作法如图所示，连结BA、BC，你认为这种作法中判断△AOB≌△COB的依据是（　　）
A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS
2.如图，，以点为圆心，小于长为半径作圆弧，分别交，于，两点；再分别以，为圆心，大于长为半径作圆弧，两条圆弧交于点，作射线交于点．若，则的大小是（　　）
A． B． C． D．
3.如图，已知钝角△ABC，依下列步骤尺规作图，并保留作图痕迹．
步骤1∶以C为圆心，CA为半径画弧①；
步骤2∶以B为圆心，BA为半径画弧②，交弧①于点D；
步骤3∶连接AD，交BC延长线于点H．
下列叙述正确的是( )
A．BH垂直平分线段AD B．AC平分∠BAD
C．S△ABC=BC AH D．AB=AD
4.如图，在中，点D在上，，，．
（1）作的垂直平分线，分别交、于E、F （不写作法，保留作图痕迹）．
（2）连接，求与的大小．
答案解析
课堂练习：
1.【答案】A
【解析】解：由作图痕迹可知，，，
∵，
∴．
∴的依据是．
故选：A．
2.【答案】B
【解析】解：A.由作法可知，以点A为圆心，为半径画弧，交于点D，
，
是等腰三角形，不符合题意；
B.由作法可知，是线段是垂直平分线，
和不一定是等腰三角形，符合题意；
C. 由作法可知，分别以点B、点A为圆心，大于为半径画弧，连接弧线，交于点D，交于点E，
是线段是垂直平分线，
是等腰三角形，不符合题意；
D. 由作法知，是的角平分线，
，
是等腰三角形，不符合题意；
故答案为：B．
3.【答案】A
【解析】解：由作图可知，垂直平分，
∴，
∴的周长为．
故答案为：A
4.【答案】．
【解析】解：由作图痕迹得平分，平分，
∴，，
∵
，
又∵，
∴．
故答案为：．
5.【答案】．
【解析】解：∵在中，，，
∴，
由作图可得：垂直平分，
∴，
∴，
∴，
∴为等边三角形，
∴，
故答案为：．
6.【答案】．
【解析】解：如图：可以画出7个等腰三角形；
故答案为7．
7.【答案】解：如图点P即为所作，
作业布置：
1.【答案】A
【解析】解：由作图可知，OA=OC，AB=CB，
在 和 中，
故答案为：A.
2.【答案】A
【解析】解：根据基本作图可得是的平分线，
∴，
∵，
∴，，
又∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：.
3.【答案】A
【解析】解：A．如图连接CD、BD，
∵CA=CD，BA=BD，
∴点C、点B在线段AD的垂直平分线上，
∴直线BC是线段AD的垂直平分线，
故A正确，符合题意；
B．CA不一定平分∠BDA， 故B错误，不符合题意；
C．应该是S△ABC= BC AH，故C错误，不符合题意；
D．根据条件AB不一定等于AD， 故D错误，不符合题意．
故答案为：A．
4．【答案】（1）解：如图所示：
（2）解：连接，∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵垂直平分线，
∴，
∴，
∴．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)

展开更多......

收起↑