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7.1为什么要证明教学设计
学科 数学 年级 八年级 课型 新授课 单元 七单元
课题 7.1为什么要证明 课时 1
课标要求 本节课需落实 “图形与几何” 领域核心素养：引导学生认识观察、实验、归纳所得结论的局限性，理解证明的必要性；经历 “直观判断 — 验证质疑 — 体会证明价值” 的完整过程，发展推理意识与逻辑思维能力；培养 “重论据、有条理、合乎逻辑” 的思维习惯，感受数学的严谨性；为后续学习平行线性质与判定的证明、构建完整的证明体系奠定认知基础，契合新课标 “从直观感知到理性论证” 的初中数学能力进阶要求。
教材分析 本节课是第七章 “证明” 的起始课，具有 “认知转折与思维奠基” 的双重作用。教材承接前期学生通过观察、实验、归纳获取数学结论的经验，以 “视觉错觉、代数式取值、几何图形猜想” 为三层递进载体：先借视觉错觉打破 “直观可信” 的惯性思维，再用代数式归纳出错案例暴露 “归纳法局限”，最后以三角形中位线猜想引出 “需通用证明” 的需求。既是对过往学习方法的反思与修正，也是后续学习证明方法、规范证明表达的逻辑起点，体现新课标 “强调数学本质，培养严谨思维” 的编写理念。
学情分析 八年级学生已具备通过观察、实验、归纳解决数学问题的基础能力，对 “直观可见的结论” 有强烈信任感，如认为 “看起来平行的线就平行”“多次验证成立的结论就一定正确”；但缺乏对这些方法局限性的认知，尚未形成 “数学结论需证明” 的主动意识。同时，学生逻辑思维处于萌芽阶段，难以自主发现直观判断或归纳推理的漏洞，需通过 “直观与事实矛盾” 的典型案例引发认知冲突，推动思维从 “被动接受直观” 向 “主动质疑、寻求证明” 转变。
教学目标 1.明确观察、实验、归纳所得结论不一定正确，理解证明的必要性； 2.通过分析视觉错觉、代数式取值等案例，经历 “直观判断 — 验证纠错 — 归纳反思” 的过程，提升质疑能力与初步推理能力； 3.发展推理意识，初步形成 “结论需论据支撑” 的思维习惯； 4.体会数学的严谨性，感受证明对保证结论正确性的重要价值，培养科学的认知态度。
教学重点 1.认识观察、实验、归纳三种方法的局限性； 2.理解证明的必要性，明确数学结论需通过有理有据的推理确认。
教学难点 突破 “直观结论可信”“归纳结论可靠” 的思维定式，主动意识到 “即使多次验证正确，仍需证明”，真正理解证明的本质价值。
教法与学法分析 教法采用 “情境冲突法 + 分层探究法”：以直观误导案例制造认知矛盾，分层设计 “观察 — 验证 — 反思” 任务引导深度思考；学法以 “自主探究 + 合作辨析” 为主，学生独立完成测量验证、小组讨论归纳漏洞，在实践中自主建构 “需证明” 的认知，契合新课标 “学生主体、过程体验” 理念。
教学过程
教学步骤 教学主要内容 教师活动 学生活动 设计意图
环节一：依标靠本，独立研学 情景创设 展示两组易产生错觉的图形： (1)观察图①，哪条线段更长？观察图②，这个图形是平滑的三角形吗？先独立记录判断结果，再用直尺测量线段长度、沿图形边缘描摹验证； (2)直观判断与验证结果是否一致？仅靠 “看” 或 “感觉”，能确定数学结论的正确性吗？ (1)直观判断 “图①外箭头线段长、图②是平滑三角形”，验证后发现：图①两条线段等长，图② 是折线图形（非平滑三角形）； (2)不一致，直观易受图形干扰产生错误，仅靠观察无法保证结论正确，需更严谨的方式确认结论。 展示视觉错觉图形，提问 “直观判断与实际结果是否一致”，引导用工具验证。 先凭视觉判断图形特征，再用直尺测量、描摹验证，发现直观判断存在误差。 以认知冲突打破 “直观可信” 的惯性思维，初步感知证明的必要性。
探究活动一： 在以前的学习过程中，我们通过观察、实验、归纳得到了很多正确的结论，那么通过观察、实验、归纳得到的结论一定正确吗？今天我们一起来研究这个问题． (1)图7-1中两条线段a，b的长度相等吗？图7-2中的四边形是正方形吗？请你先观察，再设法检验你观察到的结论。 (2)如图7-3，把地球看成球形，假如用一根比地球赤道长1m的铁丝将地球赤道围起来，铁丝与地球赤道之间的间隙能有多大？能放进一个拳头吗？先凭感觉想象一下，再具体算一算，看看与你的感觉是否一致，并与同伴进行交流。 (1)图7-1中观察感觉线段a更长一些，经过测量发现线段a，b长度相等；图7-2中观察感觉中的图形不是正方形，线是曲线，经过测量长度和角度确定中间四边形为正方形； (2) 画出示意图如图． 设铁丝圈的半径OB为R，地球的半径OA为r，赤道周长为C. 由题意，得. ∴可以放进一个拳头． 注意：眼睛与直觉有时也会欺骗你哟！ 呈现线段长度、图形形状判断及地球赤道铁丝间隙问题，引导先直观猜想再计算验证。 猜想后通过测量、公式计算，发现直观想象与实际结果差异，如铁丝间隙可放进拳头。 结合图形与实际问题，进一步暴露直观与直觉的局限性，强化 “需验证” 的意识。
环节二：同伴分享，互助研学 探究活动二： 尝试思考： (1)对于自然数n，代数式的值是质数吗？取试一试，你能否由此得到结论“对于所有自然数n，的值都是质数”？ (2)如图7-4，在中，点分别是的中点，连接。与有怎样的位置关系和数量关系？请你先猜一猜，再设法检验你的猜想。你能肯定你的结论对所有的△ABC都成立吗？ (1)当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，. 由此可知：当时，代数式的值都是质数．但当我们继续往后计算，计算到时，，此时为合数．所以“对于所有自然数，代数式的值都是质数”这种说法是错误的； (2)通过测量猜想.通过改变三角形的形状，在不同的三角形中再次得到验证，因而较为相信这个结论的正确性；但毕竟是测量结果，测量难免有误差，因此难以令人信服，还需要寻找更为可信的证明． 总结归纳：观察、实验、归纳得到的结论可能正确，也可能不正确．因此，要判断一个数学结论是否正确，仅仅依靠观察、实验、归纳是不够的，必须进行有理有据的证明． 布置代数式取值、三角形中位线猜想任务，引导发现归纳法漏洞与测量误差问题。 计算代数式值发现 “部分成立≠全部成立”，测量三角形中位线后意识到误差，需更严谨证明。 突破 “归纳可靠” 的误区，理解测量与归纳的局限，深化对证明必要性的认知。
环节三：全班展学，互动深入 探究活动三： 例题精讲：当n为正整数时，n2+3n+1的值一定是质数吗 分析：判断一个数学结论是否正确，必须进行有理有据的证明． 解：当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，. 因为当时，，是个合数，不是质数，所以当为正整数时，的值不一定是质数. 总结归纳：判断一个数学结论是否正确，必须进行有理有据的证明，常用的论证方法：①实验验证；②举出反例；③推理证明. 以 “n +3n+1 是否为质数” 为例，引导用反例推翻结论，总结论证方法。 代入不同 n 值计算，找到反例（n=6 时为合数），掌握 “举反例”“实验验证” 等论证思路。 落实 “论证方法” 的重点，学会用具体案例判断结论正确性，培养推理意识。
环节四：拓展思考 探究活动四： 思考交流： 观察、实验、归纳是人们认识事物的重要手段。通过观察、实验、归纳得到的结论都正确吗？在上面的问题中，你是怎样判断一个结论是否正确的？说说你的经验与困惑，并与同伴进行交流。 观察、实验、归纳得到的结论可能正确，也可能不正确。因此，要判断一个数学结论是否正确，仅仅依靠观察、实验、归纳是不够的，必须进行有理有据的证明。 提问 “观察、实验、归纳结论是否都正确”，引导总结判断结论的核心逻辑。 讨论得出 “观察等方法不一定可靠”，明确需通过有理有据的证明确认结论，分享验证经验。 梳理数据分析流程，构建 “直观 — 验证 — 证明” 的认知链条，强化数据观念。
环节四：巩固内化，拓展延伸 巩固训练 1.下列关于判断一个数学结论是否正确的叙述中，正确的是 (　　) A.只需观察就可以得出 B.只需依靠经验获得 C.通过亲自试验得出D.必须进行有根据的推理 2.小芳和小明在手工课上各自用铁丝制作楼梯模型，他们制作的模型如图所示，则所用铁丝 (　　) A.一样多B.小明多 C.小芳多D.不能确定 3.下列结论推理合理的是 (　　) A.王强和小明体重看起来不等，那么他们一定不等 B.因为王老师是数学老师，所以王老师出的数学题一定没有问题 C.因为小强的妈妈是老师，所以小强学习成绩一定很好 D.因为小强热情、开朗、爱交际，所以小强的朋友可能很多 4.下列推理正确的是 (　　) A.∠A与∠B相等，原因是它们看起来大小差不多 B.如果a>b，b>c，那么a>c C.因为对顶角相等，所以相等的角一定是对顶角 D.某种彩票中奖的概率是1%，买100张该种彩票一定会中奖 5.小明花整数元网购了一本课外书，让同学们猜书的价格。甲说：“至少15元。”乙说：“至多13元。”丙说：“至多10元”。小明说：“你们都猜错了。”这本书的价格为 (　　) A.12元B.13元C.14元 D.无法确定 6.在“我爱北京”知识竞赛后，甲、乙、丙三人对成绩进行预测。甲说：“我的成绩比乙高。”乙说：“丙的成绩比我和甲的都高。”丙说：“我的成绩比乙高。”成绩公布后，三人成绩互不相同且只有一个人预测正确，那么三人按成绩由高到低的次序为　　　　　。 巡视课堂迅速掌握学情 当堂小测，用所学知识解决问题，学生代表回答。 学以致用，及时获知学生对所学知识的掌握情况，明确哪些学生需要在课后加强辅导，达到全面提高的目的
课堂小结 通过本节课的学习你收获了什么？ 直观与归纳的局限性 视觉、直觉易受干扰，无法保证结论正确； 实验、归纳仅能覆盖部分情况，不能推广到所有情形，存在 “以偏概全” 风险。 证明的必要性 数学结论需通过有理有据的推理确认，避免因直观误差或归纳不全导致错误； 证明能保证结论的通用性与严谨性，是数学严谨性的核心体现。 常见论证方法 实验验证：通过测量、计算等工具验证结论； 举反例：找到一个不符合结论的案例即可推翻结论； 推理证明：基于基本事实与定理推导结论。 教师以提问的形式小结 学生思考自由回答，自我小结 课堂小结可以帮助学生理清所学知识的层次结构，掌握其外在的形式和内在联系，形成知识系列及一定的结构框架。
板书设计 7.1为什么要证明 数学结论必须要经过严格的论证 论证方法：①实验验证；②举出反例；③推理证明。 利用简洁的文字、符号、图表等呈现本节课的新知，可以帮助学生理解掌握知识，形成完整的知识体系。
作业设计 基础达标： 1.下列说法正确的是(　 　) A.经验、观察或实验完全可以判断一个数学结论的正确与否 B.推理是科学家的事，与我们没有多大关系 C.对于自然数n，n2＋n＋37一定是质数 D.有10个苹果，将它们放进9个筐中，则至少有一个筐中的苹果不少于2个 2.布鲁斯先生、他的妹妹、他的儿子，还有他的女儿都是网球选手.这四人中有以下情况：①最佳选手的孪生同胞与最差选手性别不同：②最佳选手与最差选手年龄相同.则这四人中最佳选手是(　 　) A.布鲁斯先生 B.布鲁斯先生的妹妹 C.布鲁斯先生的儿子 D.布鲁斯先生的女儿 3.图中小圆圈表示网络的结点，结点之间的连接表示它们有网线相连，相连标注的数字表示该段网线单位时间内可以通过的最大信息量.现从结点A向结点B传递信息，若信息可以分开沿不同路线同时传递，则单位时间内传递的最大信息量为(　 　) A.11 B.10 C.8 D.7 4.世界杯足球赛小组赛，每个小组4个队进行单循环比赛，每场比赛胜队得3分，败队得0分，平局时两队各得1分，小组赛完以后，总积分最高的两个队出线进入下轮比赛，如果总积分相同，还要按净胜球排序，一个队要保证出线，这个队至少要积(　 　) A.6分 B.7分 C.8分 D.9分 能力提升： 5.能说明“n2＋3n＋1一定是质数”不正确的反例是(　 　) A.n＝4　　 B.n＝5　　 C.n＝6　　 D.n＝7 6.小明中午放学回家自己煮面条吃，有下面几道工序：(1)洗锅盛水2分钟；(2)洗菜3分钟；(3)准备面条及佐料2分钟；(4)用锅把水烧开7分钟；(5)用烧开的水煮面条和菜要3分钟.以上各工序除(4)外，一次只能进行一道工序，小明要将面条煮好，最少用(　 　) A.14分钟 B.13分钟 C.12分钟 D.11分钟 7.小明发现：当n＝1，2，3时，n2－6n的值都是负数.于是小明猜想：当n为任意正整数时，n2－6n的值都是负数.小明的猜想正确吗？请简要说明你的理由. 8.当n＝1时，代数式＝1；当n＝2时，＝　 　；当n＝3时，＝　 　；当n＝4时，＝　 　.因此，小明推断，不论n取任何正整数，的值都是　 　，这个推断是　 　的.(填“正确”或“错误”) 9.好久未见的A，B，C，D，E五位同学欢聚一堂，他们一见面便相互握手一次，中途统计各位同学握手次数：A同学握手4次，B同学握手3次，C同学握手2次，D同学握手1次，请你推断一下，E同学握手　 　次. 拓展迁移： 10.观察下列各式： 22－02＝4×1；42－22＝4×3；62－42＝4×5；82－62＝4×7； (1)根据你发现的规律写出第n(n为正整数)个等式：　 　； (2)如果一个正整数能表示成连续的两个偶数的平方差，那么称这个正整数为“神秘数”. 在－5，28，2 016，2 018这四个数中，是“神秘数”的有　 　. 11.如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“奇巧数”，如12＝42－22，20＝62－42，28＝82－62，…，因此12，20，28都是奇巧数. (1)36，50是奇巧数吗？为什么？ (2)设两个连续偶数为2n，2n＋2(其中n为正整数)，由这两个连续偶数构造的奇巧数是4的倍数吗？为什么？
教学反思 本节课通过视觉错觉案例成功引发认知冲突，多数学生能认识到直观的局限性，初步理解证明的必要性。但存在两点不足：一是部分学生仍将 “多次归纳验证” 等同于 “证明”，如认为 “代数式 n -n+11 取 10 个值都是质数，就一定永远是质数”，未完全理解归纳法的本质局限；二是对 “证明的具体意义” 讲解较浅，学生虽知道 “要证明”，但不清楚 “证明能保证结论的通用性”。后续需补充 “归纳法出错” 的典型案例，并简要提及 “证明需基于基本事实推导”，为下节课衔接做好铺垫，进一步强化证明的必要性认知。
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第七章 证明
7.1为什么要证明
01
教学目标
02
新知导入
03
新知探究
04
巩固训练
05
课堂小结
06
作业设计
01
教学目标
明确观察、实验、归纳所得结论不一定正确，理解证明的必要性；
01
通过分析视觉错觉、代数式取值等案例，经历 “直观判断 — 验证纠错 — 归纳反思” 的过程，提升质疑能力与初步推理能力；
02
发展推理意识，初步形成 “结论需论据支撑” 的思维习惯；
03
体会数学的严谨性，感受证明对保证结论正确性的重要价值，培养科学的认知态度。
04
02
新知导入
情景创设：
展示两组易产生错觉的图形：
(1)观察图①，哪条线段更长？观察图②，这个图形是平滑的三角形吗？先独立记录判断结果，再用直尺测量线段长度、沿图形边缘描摹验证；
(2)直观判断与验证结果是否一致？仅靠 “看” 或 “感觉”，能确定数学结论的正确性吗？
02
新知导入
(1)直观判断 “图①外箭头线段长、图②是平滑三角形”；
验证后发现：图①两条线段等长，图② 是折线图形（非平滑三角形）；
(2)不一致，直观易受图形干扰产生错误，仅靠观察无法保证结论正确，需更严谨的方式确认结论。
03
新知探究
在以前的学习过程中，我们通过观察、实验、归纳得到了很多正确的结论，那么通过观察、实验、归纳得到的结论一定正确吗？今天我们一起来研究这个问题．
(1)图7-1中两条线段a,b的长度相等吗？图7-2中的四边形是正方形吗？请你先观察，再设法检验你观察到的结论。
(1)图7-1中观察感觉线段a更长一些，经过测量发现线段a,b长度相等；
图7-2中观察感觉中的图形不是正方形，线是曲线，经过测量长度和角度确定中间四边形为正方形；
03
新知探究
03
新知探究
(2)如图7-3，把地球看成球形，假如用一根比地球赤道长1m的铁丝将地球赤道围起来，铁丝与地球赤道之间的间隙能有多大？能放进一个拳头吗？先凭感觉想象一下，再具体算一算，看看与你的感觉是否一致，并与同伴进行交流。
(2) 画出示意图如图．
设铁丝圈的半径OB为R，地球的半径OA为r，赤道周长为C.
由题意，得.
∴可以放进一个拳头．
注意：眼睛与直觉有时也会欺骗你哟！
03
新知探究
(1)对于自然数n,代数式的值是质数吗？取试一试，你能否由此得到结论“对于所有自然数n,的值都是质数”？
(1)当时，；当时，；
当时，；当时，；
当时，；当时，.
由此可知：当时，代数式的值都是质数．
但当我们继续往后计算，计算到时，，此时为合数．
所以“对于所有自然数，代数式的值都是质数”这种说法是错误的；
03
新知探究
(2)如图7-4，在△ABC中，点D,E分别是AB,AC的中点，连接DE。DE与BC有怎样的位置关系和数量关系？请你先猜一猜，再设法检验你的猜想。你能肯定你的结论对所有的△ABC都成立吗？
(2)通过测量猜想.
通过改变三角形的形状，在不同的三角形中再次得到验证，因而较为相信这个结论的正确性；
但毕竟是测量结果，测量难免有误差，因此难以令人信服，还需要寻找更为可信的证明．
观察、实验、归纳得到的结论可能正确，也可能不正确．因此，要判断一个数学结论是否正确，仅仅依靠观察、实验、归纳是不够的，必须进行有理有据的证明．
方法总结
03
新知探究
当n为正整数时,n2+3n+1的值一定是质数吗
例
分析
判断一个数学结论是否正确，必须进行有理有据的证明,可以通过举例验证，得出矛盾即可证明结论的正误．
03
新知探究
解析
解:当时,;
当时,;
当时,;
当时,;
当时,;
当时,.
因为当时,,是个合数,不是质数,
所以当n为正整数时,的值不一定是质数.
03
新知探究
03
新知探究
判断一个数学结论是否正确，必须进行有理有据的证明。
常用的论证方法：①实验验证；②举出反例；③推理证明.
概括
03
新知探究
观察、实验、归纳得到的结论可能正确，也可能不正确。因此，要判断一个数学结论是否正确，仅仅依靠观察、实验、归纳是不够的，必须进行有理有据的证明。
观察、实验、归纳是人们认识事物的重要手段。通过观察、实验、归纳得到的结论都正确吗？在上面的问题中，你是怎样判断一个结论是否正确的？说说你的经验与困惑，并与同伴进行交流。
2.小芳和小明在手工课上各自用铁丝制作楼梯模型,他们制作的模型如图所示,则所用铁丝 (　　)
A.一样多 B.小明多
C.小芳多 D.不能确定
04
巩固训练
1.下列关于判断一个数学结论是否正确的叙述中,正确的是 (　　)
A.只需观察就可以得出 B.只需依靠经验获得
C.通过亲自试验得出 D.必须进行有根据的推理
D
A
3.下列结论推理合理的是 (　　)
A.王强和小明体重看起来不等,那么他们一定不等
B.因为王老师是数学老师,所以王老师出的数学题一定没有问题
C.因为小强的妈妈是老师,所以小强学习成绩一定很好
D.因为小强热情、开朗、爱交际,所以小强的朋友可能很多
D
4.下列推理正确的是 (　　)
A.∠A与∠B相等,原因是它们看起来大小差不多
B.如果a>b,b>c,那么a>c
C.因为对顶角相等,所以相等的角一定是对顶角
D.某种彩票中奖的概率是1%,买100张该种彩票一定会中奖
B
04
巩固训练
5.小明花整数元网购了一本课外书,让同学们猜书的价格。甲说:“至少15元。”乙说:“至多13元。”丙说:“至多10元”。小明说:“你们都猜错了。”这本书的价格为 (　)
A.12元 B.13元 C.14元 D.无法确定
6.在“我爱北京”知识竞赛后,甲、乙、丙三人对成绩进行预测。甲说:“我的成绩比乙高。”乙说:“丙的成绩比我和甲的都高。”丙说:“我的成绩比乙高。”成绩公布后,三人成绩互不相同且只有一个人预测正确,那么三人按成绩由高到低的次序为　　　　　。
B
甲、乙、丙
04
巩固训练
05
课堂小结
通过本节课的学习你收获了什么？
直观与归纳的局限性
视觉、直觉易受干扰，无法保证结论正确；
实验、归纳仅能覆盖部分情况，不能推广到所有情形，存在 “以偏概全” 风险。
证明的必要性
数学结论需通过有理有据的推理确认，避免因直观误差或归纳不全导致错误；
证明能保证结论的通用性与严谨性，是数学严谨性的核心体现。
常见论证方法
实验验证：通过测量、计算等工具验证结论；
举反例：找到一个不符合结论的案例即可推翻结论；
推理证明：基于基本事实与定理推导结论。
1.下列说法正确的是(　 　)
A.经验、观察或实验完全可以判断一个数学结论的正确与否
B.推理是科学家的事，与我们没有多大关系
C.对于自然数n，n2＋n＋37一定是质数
D.有10个苹果，将它们放进9个筐中，则至少有一个筐中的苹果不少于2个
06
作业设计
基础达标：
D
2.布鲁斯先生、他的妹妹、他的儿子，还有他的女儿都是网球选手.这四人中有以下情况：①最佳选手的孪生同胞与最差选手性别不同：②最佳选手与最差选手年龄相同.则这四人中最佳选手是(　 　)
A.布鲁斯先生 B.布鲁斯先生的妹妹
C.布鲁斯先生的儿子 D.布鲁斯先生的女儿
D
3.图中小圆圈表示网络的结点，结点之间的连接表示它们有网线相连，相连标注的数字表示该段网线单位时间内可以通过的最大信息量.现从结点A向结点B传递信息，若信息可以分开沿不同路线同时传递，则单位时间内传递的最大信息量为( 　)
A.11 B.10 C.8 D.7
06
作业设计
C
基础达标：
4.世界杯足球赛小组赛，每个小组4个队进行单循环比赛，每场比赛胜队得3分，败队得0分，平局时两队各得1分，小组赛完以后，总积分最高的两个队出线进入下轮比赛，如果总积分相同，还要按净胜球排序，一个队要保证出线，这个队至少要积(　 　)
A.6分 B.7分 C.8分 D.9分
B
5.能说明“一定是质数”不正确的反例是(　 　)
A.n＝4　　 B.n＝5　　 C.n＝6　　 D.n＝7
06
作业设计
能力提升：
6.小明中午放学回家自己煮面条吃，有下面几道工序：(1)洗锅盛水2分钟；(2)洗菜3分钟；(3)准备面条及佐料2分钟；(4)用锅把水烧开7分钟；(5)用烧开的水煮面条和菜要3分钟.以上各工序除(4)外，一次只能进行一道工序，小明要将面条煮好，最少用(　 　)
A.14分钟 B.13分钟 C.12分钟 D.11分钟
B
B
06
作业设计
能力提升：
7.小明发现：当n＝1，2，3时，的值都是负数.于是小明猜想：当n为任意正整数时，的值都是负数.小明的猜想正确吗？请简要说明你的理由.
解：小明的猜想不正确.理由如下：
举反例，如当n＝7时，n2－6n＝7＞0.
8.当n＝1时，代数式＝1；当n＝2时，＝　 　；当n＝3时，＝　 　；当n＝4时，＝　 　.因此，小明推断，不论n取任何正整数，的值都是　 　，这个推断是　 　的.(填“正确”或“错误”)
1
1
1
1
错误
06
作业设计
能力提升：
9.好久未见的A，B，C，D，E五位同学欢聚一堂，他们一见面便相互握手一次，中途统计各位同学握手次数：A同学握手4次，B同学握手3次，C同学握手2次，D同学握手1次，请你推断一下，E同学握手　 　次.
解析：∵共有5个人，A同学握手4次，∴A与B，C，D，E每人握手一次.
∵D同学握手1次，∴B，C一定不与D握手.
∵B握手3次，D握手1次，∴B握手3次一定是与A，C，E握手.
∵C握手2次，
∴C是与A和B握手，
∴E一共握手2次，是与A和B握手.
故答案为2.
2
06
作业设计
迁移拓展：
10.观察下列各式：
22－02＝4×1;42－22＝4×3;62－42＝4×5;82－62＝4×7;
(1)根据你发现的规律写出第n(n为正整数)个等式：　 　；
(2)如果一个正整数能表示成连续的两个偶数的平方差，那么称这个正整数为“神秘数”.在－5，28，2 016，2 018这四个数中，是“神秘数”的有　 　.
(2n)2－(2n－2)2＝4(2n－1)
28
06
作业设计
迁移拓展：
11.如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“奇巧数”，如12＝42－22，20＝62－42，28＝82－62，…，因此12，20，28都是奇巧数.
(1)36，50是奇巧数吗？为什么？
(2)设两个连续偶数为2n，2n＋2(其中n为正整数)，由这两个连续偶数构造的奇巧数是4的倍数吗？为什么？
06
作业设计
迁移拓展：
解：(1)∵36＝102－82，
∴36是奇巧数.
设两个连续偶数为m，m＋2(m为偶数)，
则(m＋2)2－m2＝50，
解得m＝11.5(不符合题意)，
∴50不是奇巧数.
(2)是.理由如下：∵(2n＋2)2－(2n)2＝4n2＋8n＋4－4n2＝8n＋4＝4(2n＋1)，
∴这两个连续偶数构造的奇巧数是4的倍数.
Thanks!
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分课时学案
课题 7.1 为什么要证明 单元 第七单元 学科 数学 年级 八年级
学习 目标 1.明确观察、实验、归纳所得结论不一定正确，理解证明的必要性； 2.通过分析视觉错觉、代数式取值等案例，经历 “直观判断 — 验证纠错 — 归纳反思” 的过程，提升质疑能力与初步推理能力； 3.发展推理意识，初步形成 “结论需论据支撑” 的思维习惯； 4.体会数学的严谨性，感受证明对保证结论正确性的重要价值，培养科学的认知态度。
重点 1.认识观察、实验、归纳三种方法的局限性； 2.理解证明的必要性，明确数学结论需通过有理有据的推理确认。
难点 突破 “直观结论可信”“归纳结论可靠” 的思维定式，主动意识到 “即使多次验证正确，仍需证明”，真正理解证明的本质价值。
教学过程
导入新课 情景创设 展示两组易产生错觉的图形： (1)观察图①，哪条线段更长？观察图②，这个图形是平滑的三角形吗？先独立记录判断结果，再用直尺测量线段长度、沿图形边缘描摹验证； (2)直观判断与验证结果是否一致？仅靠 “看” 或 “感觉”，能确定数学结论的正确性吗？
新知讲解 探究活动一： 在以前的学习过程中，我们通过观察、实验、归纳得到了很多正确的结论，那么通过观察、实验、归纳得到的结论一定正确吗？今天我们一起来研究这个问题． (1)图7-1中两条线段a，b的长度相等吗？图7-2中的四边形是正方形吗？请你先观察，再设法检验你观察到的结论。 (2)如图7-3，把地球看成球形，假如用一根比地球赤道长1m的铁丝将地球赤道围起来，铁丝与地球赤道之间的间隙能有多大？能放进一个拳头吗？先凭感觉想象一下，再具体算一算，看看与你的感觉是否一致，并与同伴进行交流。 探究活动二： 尝试思考： 对于自然数n，代数式的值是质数吗？取试一试，你能否由此得到结论“对于所有自然数n，的值都是质数”？ (2)如图7-4，在中，点分别是的中点，连接。与有怎样的位置关系和数量关系？请你先猜一猜，再设法检验你的猜想。你能肯定你的结论对所有的△ABC都成立吗？ 探究活动三： 例题精讲： 当n为正整数时，n2+3n+1的值一定是质数吗 探究活动四： 思考交流： 观察、实验、归纳是人们认识事物的重要手段。通过观察、实验、归纳得到的结论都正确吗？在上面的问题中，你是怎样判断一个结论是否正确的？说说你的经验与困惑，并与同伴进行交流。
课堂练习 巩固训练 1.下列关于判断一个数学结论是否正确的叙述中，正确的是 (　　) A.只需观察就可以得出 B.只需依靠经验获得 C.通过亲自试验得出D.必须进行有根据的推理 2.小芳和小明在手工课上各自用铁丝制作楼梯模型，他们制作的模型如图所示，则所用铁丝 (　　) A.一样多B.小明多 C.小芳多D.不能确定 3.下列结论推理合理的是 (　　) A.王强和小明体重看起来不等，那么他们一定不等 B.因为王老师是数学老师，所以王老师出的数学题一定没有问题 C.因为小强的妈妈是老师，所以小强学习成绩一定很好 D.因为小强热情、开朗、爱交际，所以小强的朋友可能很多 4.下列推理正确的是 (　　) A.∠A与∠B相等，原因是它们看起来大小差不多 B.如果a>b，b>c，那么a>c C.因为对顶角相等，所以相等的角一定是对顶角 D.某种彩票中奖的概率是1%，买100张该种彩票一定会中奖 5.小明花整数元网购了一本课外书，让同学们猜书的价格。甲说:“至少15元。”乙说:“至多13元。”丙说:“至多10元”。小明说:“你们都猜错了。”这本书的价格为 (　　) A.12元B.13元C.14元 D.无法确定 6.在“我爱北京”知识竞赛后，甲、乙、丙三人对成绩进行预测。甲说:“我的成绩比乙高。”乙说:“丙的成绩比我和甲的都高。”丙说:“我的成绩比乙高。”成绩公布后，三人成绩互不相同且只有一个人预测正确，那么三人按成绩由高到低的次序为　　　　　。
作业布置 基础达标： 1.下列说法正确的是(　 　) A.经验、观察或实验完全可以判断一个数学结论的正确与否 B.推理是科学家的事，与我们没有多大关系 C.对于自然数n，n2＋n＋37一定是质数 D.有10个苹果，将它们放进9个筐中，则至少有一个筐中的苹果不少于2个 2.布鲁斯先生、他的妹妹、他的儿子，还有他的女儿都是网球选手.这四人中有以下情况：①最佳选手的孪生同胞与最差选手性别不同：②最佳选手与最差选手年龄相同.则这四人中最佳选手是(　 　) A.布鲁斯先生 B.布鲁斯先生的妹妹 C.布鲁斯先生的儿子 D.布鲁斯先生的女儿 3.图中小圆圈表示网络的结点，结点之间的连接表示它们有网线相连，相连标注的数字表示该段网线单位时间内可以通过的最大信息量.现从结点A向结点B传递信息，若信息可以分开沿不同路线同时传递，则单位时间内传递的最大信息量为(　 　) A.11 B.10 C.8 D.7 4.世界杯足球赛小组赛，每个小组4个队进行单循环比赛，每场比赛胜队得3分，败队得0分，平局时两队各得1分，小组赛完以后，总积分最高的两个队出线进入下轮比赛，如果总积分相同，还要按净胜球排序，一个队要保证出线，这个队至少要积(　 　) A.6分 B.7分 C.8分 D.9分 能力提升： 5.能说明“n2＋3n＋1一定是质数”不正确的反例是(　 　) A.n＝4　　 B.n＝5　　 C.n＝6　　 D.n＝7 6.小明中午放学回家自己煮面条吃，有下面几道工序：(1)洗锅盛水2分钟；(2)洗菜3分钟；(3)准备面条及佐料2分钟；(4)用锅把水烧开7分钟；(5)用烧开的水煮面条和菜要3分钟.以上各工序除(4)外，一次只能进行一道工序，小明要将面条煮好，最少用(　 　) A.14分钟 B.13分钟 C.12分钟 D.11分钟 7.小明发现：当n＝1，2，3时，n2－6n的值都是负数.于是小明猜想：当n为任意正整数时，n2－6n的值都是负数.小明的猜想正确吗？请简要说明你的理由. 8.当n＝1时，代数式＝1；当n＝2时，＝　 　；当n＝3时，＝　 　；当n＝4时，＝　 　.因此，小明推断，不论n取任何正整数，的值都是　 　，这个推断是　 　的.(填“正确”或“错误”) 9.好久未见的A，B，C，D，E五位同学欢聚一堂，他们一见面便相互握手一次，中途统计各位同学握手次数：A同学握手4次，B同学握手3次，C同学握手2次，D同学握手1次，请你推断一下，E同学握手　 　次. 拓展迁移： 10.观察下列各式： 22－02＝4×1;42－22＝4×3;62－42＝4×5;82－62＝4×7; (1)根据你发现的规律写出第n(n为正整数)个等式：　 　； (2)如果一个正整数能表示成连续的两个偶数的平方差，那么称这个正整数为“神秘数”. 在－5，28，2 016，2 018这四个数中，是“神秘数”的有　 　. 11.如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“奇巧数”，如12＝42－22，20＝62－42，28＝82－62，…，因此12，20，28都是奇巧数. (1)36，50是奇巧数吗？为什么？ 设两个连续偶数为2n，2n＋2(其中n为正整数)，由这两个连续偶数构造的奇巧数是4的倍数吗？为什么？
参考答案：
例题精讲：
例：
解:当时，;
当时，;
当时，;
当时，;
当时，;
当时，.
因为当时，，是个合数，不是质数，所以当为正整数时，的值不一定是质数.
巩固训练：
1.D　2.A　3.D　4.B
5.C　解析:由题意可得甲、乙、丙的说法都是错误的，甲的说法错误，说明这本书的价格少于15元;乙、丙的说法错误，说明这本书的价格高于13元，所以这本书的价格是14元。故选C。
6.甲、乙、丙　解析:若甲预测正确，则乙和丙的预测都错误，此时甲>乙，丙<乙，甲>丙，此时三人按成绩由高到低的次序为甲、乙、丙;若乙预测正确，则甲和丙的预测都错误，此时甲<丙，乙<丙，甲<乙，丙<乙，矛盾，故乙预测错误;若丙预测正确，则甲和乙的预测都错误，此时丙>乙，甲<乙，丙<乙或丙<甲，矛盾，故丙预测错误。
作业设计：
1.D
2.D　3.C　4.B　5.C　6.C
7.解：小明的猜想不正确.理由如下：
举反例，如当n＝7时，n2－6n＝7＞0.
8.1　1　1　1　错误
9.2　解析：∵共有5个人，A同学握手4次，
∴A与B，C，D，E每人握手一次.
∵D同学握手1次，
∴B，C一定不与D握手.
∵B握手3次，D握手1次，
∴B握手3次一定是与A，C，E握手.
∵C握手2次，
∴C是与A和B握手，
∴E一共握手2次，是与A和B握手.
故答案为2.
10.(1)(2n)2－(2n－2)2＝4(2n－1)　(2)28
11.解：(1)∵36＝102－82，∴36是奇巧数.
设两个连续偶数为m，m＋2(m为偶数)，
则(m＋2)2－m2＝50，解得m＝11.5(不符合题意)，
∴50不是奇巧数.
解：(2)是.理由如下：∵(2n＋2)2－(2n)2＝4n2＋8n＋4－4n2＝8n＋4＝4(2n＋1)，
∴这两个连续偶数构造的奇巧数是4的倍数.
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