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17.2用公式法分解因式
第十七章 因式分解
人教版2024·八年级上册
第3课时 综合运用各种方法分解因式
知识回顾
3、因式分解的主要方法：
（１）提取公因式法：
（２）公式法：
一般地，把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做因式分解.
1、因式分解的概念
利用公式对某些符合公式特征的多项式进行分解因式
平方差公式
完全平方公式
整式乘法
因式分解
一个多项式
几个整式的积
2.因式分解和整式乘法的关系是？
是方向相反的变形
下列多项式能不能用公式法因式分解，为什么？
(1) m2－4m+4; (2)1+4m2;
(3) 4b4 - 9a ; (4)m2+mb+b2.
(1) m2－4m+4符合完全平方公式特征，
m2－4m+4=（m-2）
(2)1+4m2不符合平方差公式，不能因式分解
(3) 4b4 - 9a 符合平方差公式特征，
4b4 - 9a =（2b +3a）（ 2b -3a ）
(4)m2+mb+b2不符合完全平方公式特征，不能因式分解
解：
练一练
知识回顾
新知探究
探究点1
因式分解一般步骤
议一议
各项系数有公因式２，先提取
（2）分解因式结束了吗
符合完全平方式结构，可以继续分解因式
先提取公因式
再用完全平方公式
新知探究
探究点1
因式分解一般步骤
议一议
（4）你认为它还能不能再分解呢
符合完全平方式结构，可以继续分解因式
利用平方差公式因式分解
对于一些复杂的因式分解问题,有时需要多次运
用公式法,有时还需要综合运用提公因式法和公式法
新知探究
探究点1
因式分解一般步骤
议一议
说一说因式分解的一般步骤
一提：先看多项式各项有无公因式，如有公因式则要优
　　　先提取公因式；
二套：再看有几项。
如两项，则考虑用平方差公式；
　　如三项，则考虑用完全平方公式；
三查：最后用整式乘法检验一遍，并看各因式能否再分
　　　解，如能分解，应分解到不能再分解为止。
典例分析
探究点1
因式分解一般步骤
(1) x4 – y4；
解：(1) x4 – y4
= (x2)2 – (y2)2
（1）可以用___________分解因式
= (x2 + y2)(x2 – y2)
平方差公式
其中 a = ____，b = ____
x2
y2
还能用平方差公式再分解
= (x2 + y2)(x + y)(x – y)
例 1　分解因式:
(2) a3b – ab.
分析
分解因式，要进行到每一个多项式因式都不能再分解为止.
解：(2) a3b – ab
= ab(a2 – 1)
= ab(a + 1)(a – 1)
还能用____________再分解
（2）可以用 ___________ 分解因式
提公因式法
平方差公式
典例分析
探究点1
因式分解一般步骤
(1) x4 – y4
例 1　分解因式:
(2) a3b – ab.
分析
有时需要多次运用公式法
典例分析
探究点2
提公因式法与公式法综合运用
(1) 3ax2 + 6axy + 3ay2；
(2) – ax2 + 2a2x – a3 .
解：(1) 3ax2 + 6axy + 3ay2
= 3a(x2 + 2xy + y2)
先提出公因式，再用公式法进一步分解因式
(2) – ax2 + 2a2x – a3
= –a(x2 – 2ax + a2)
= –a(x – a)2
= 3a(x + y)2
例 ２　分解因式:
各项有公因式3a
各项有公因式-a
（1）x4 – 8x2 + 16；
（2）(x2 – 2x)2 + 2(x2 – 2x) + 1.
典例分析
探究点2
提公因式法与公式法综合运用
例3.分解因式:
(1) 原式 = (x2 – 4)2
= [(x + 2)(x – 2)]2
= (x + 2)2(x – 2)2
(2) 原式 = (x2 – 2x + 1)2
= [(x – 1)2]2
= (x – 1)4
解：
看成整体，符合完全平方公式
公式中的a、b无论表示数、单项式、还是多项式，只要被分解的多项式能转化成平方差(或 完全平方)的形式，就能用平方差(完全平方)公式因式分解.
提示
新知探究
探究点3
形如x2 + (p + q)x + pq因式分解
阅读理解：（1）计算后填空：
x2-2x-3
x2+3x+2
（2）归纳、猜想后填空：
p + q
p q
（3）根据你的理解，分解下列因式：
x-5
x+2
x+8
x-1
做一做
x2 + (p + q)x + p q =( ) ( )
x + p
x + q
可以将某些二次项系数是 1 的二次三项式因式分解.
新知探究
探究点3
形如x2 + (p + q)x + pq因式分解
议一议
二次三项式x2+bx+c满足什么条件能分解为两个一次式的积
∴b= －1= p + q
p
q
c = －６=pq
分析
1
1
2
-3
b=１× ( －３ ) ＋１×２＝－１
交叉相乘求和
（-3）×2=-6
∴p=-3
q=2
验证
新知探究
探究点3
形如x2 + (p + q)x + pq因式分解
议一议
二次三项式x2+bx+c满足什么条件能分解为两个一次式的积
c = －18=pq
1
1
－2
9
b=１× ( －2 ) ＋１×9＝＋7
交叉相乘求和
（-2）×9=－18
验证
∵b= 7= p + q
∴p= +9
q= －2
“十字相乘法”
新知探究
探究点3
形如x2 + (p + q)x + pq因式分解
议一议
二次三项式 x2+bx+c 满足什么条件能分解为两个一次式的积
x2+bx+c =
x2 + (p + q)x + pq =
x
x
p
q
px
+
qx
=
(p+q)x
(x+ p)(x+q)
步骤
①竖分二次项与常数项；
②交叉相乘，和相加；
③检验确定，横写因式．
顺口溜：
竖分常数交叉验，
横写因式不能乱．
利用十字交叉线来分解系数，把二次三项式分解因式的方法叫做十字相乘法．
典例分析
探究点3
形如x2 + (p + q)x + pq因式分解
例5.把下列多项式因式分解：
(1) x2 - 6x + 8； (2) x2 + 4x 5 .
解（1）x2 - 6x + 8=(x 2)(x 4) .
×
-2
-4
（2）x2 + 4x 5=(x 1)(x + 5)
×
-1
5
-4-2=-6
-1+5=4
拓展提升
（1）（2）（3）均不能直接进行因式分解，（1）（3）要进行整式的乘法对原式化简，（2）是四项式，不符合公式特征，但可以先部分组合因式分解，再进一步因式分解
分析
利用整式的乘法化简
解:
1.分解因式:
拓展提升
（1）（2）（3）均不能直接进行因式分解，（1）（3）要进行整式的乘法对原式化简，（2）是四项式，不符合公式特征，但可以先部分组合因式分解，再进一步因式分解
分析
利用平方差公式
解:
1.分解因式:
分组后由公因式出现
拓展提升
（1）（2）（3）均不能直接进行因式分解，（1）（3）要进行整式的乘法对原式化简，（2）是四项式，不符合公式特征，但可以先部分组合因式分解，再进一步因式分解
分析
去括号，整理为一个多项式
解:
1.分解因式:
符合完全平分公式
分组整理后利用平方差公式因式分解
拓展延伸
2. 分解因式：
（1）4a2 – b2 + 4a – 2b；
（2）x2 – 2xy + y2 – 1；
（3）x2 – 6x + 8；
（4）x2 + 3x – 10 .
解：(1) 原式 = (4a2 – b2) + (4a – 2b)
= (2a + b)(2a – b) + 2(2a – b)
= (2a – b)(2a + b + 2)
(2) 原式 = (x – y)2 – 12
= (x – y + 1)(x – y – 1)
(3) 原式 = x2 + [(–2) + (–4)]x + (–2)×(–4)
= (x – 2)(x – 4)
(4) 原式 = x2 + [5 + (–2)]x + 5×(–2)
= (x + 5)(x – 2)
课堂小结
对于综合运用提公因式法和公式法分解因式,你能总结一般性步骤吗 你能熟练运用各种方法分解因式吗
一提 如果多项式各项都含有公因式，那么第一步是提取这个公因式
二套 如果多项式各项没有公因式，那么第一步考虑用公式法分解因式
三审 分解因式以后，若所含多项式还可以继续分解，则需要进一步分解因式，直到每个多项式的因式都不能分解为止
多步分解因式方法总结
因式分解顺口溜
若要分解多项式，先看有无公因式；
看到两次两项式，就用平方差公式；
遇到两次三项式，应用完全平方式；
结果都是积整式，彻底分解多项式。
结论：多项式的因式分解要分解到不能再分解为止.
方法：先考虑能否用提取公因式法，再考虑能否用公式分解因式.
课堂小结
课后练习
第一、二组：
P136 复习题17 第3、5题
第三组：
P136 复习题17 第1、2题

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