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3.4 圆周角和圆心角的关系
复习问题
1.圆心角的定义？（顶点在圆心的角）
圆周角定义：圆心角的度数与所对弧的度数关系？
设计意图：同圆或等圆中，圆心角、弧、弦的关系定理？
1.指出下图中的圆心角和圆周角。
圆心角：∠AOB、∠AOC、∠BOC
圆周角：∠BAC、∠ABC、∠ACB
方法总结： 找圆心角看半径（两条半径夹角）。
找圆周角看弦与圆的交点（两弦夹角）。
注意 ：弦与半径未延长时需特殊说明。
设计意图：巩固定义，培养有序分类的识图能力。
圆周角的识别练习
实际情境：球员在B、D、E处射门时，∠ABC、∠ADC、∠AEC的大小关系？
类比猜想：同弧所对的圆心角相等 → 同弧所对的圆周角是否相等？
探究方向：先研究一条弧所对的圆周角与圆心角的关系。
设计意图：以生活实例激发兴趣，引出核心探究问题
圆周角定理的探究——问题情境
活动：画出弧AB所对的圆周角，观察这些角的关系。
猜想：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。
符号语言：∠ACB = =∠AOB
设计意图：通过画图测量，初步形成定理猜想。
动手操作，提出猜想
已知：如图，∠ACB是弧AB所对的圆周角，∠AOB是圆心角。
证明：
∵ OA = OC，∴ ∠A = ∠C。
∵ ∠AOB是△AOC的外角，∴ ∠AOB = ∠A + ∠C = 2∠C。
∴ ∠ACB = =∠AOB。
设计意图：从特殊位置入手，简化证明过程。
定理证明——情况1（圆心在边上）
方法：作直径CD，将问题转化为情况1。
证明：
∠ACD = =∠AOD，∠BCD = ∠BOD。
∠ACB = ∠ACD + ∠BCD = (∠AOD + ∠BOD) = ∠AOB。
设计意图：渗透“化归”思想，将一般情况转化为特殊情况。
定理证明——情况2（圆心在内部）
方法：同样作直径CD，利用角的和差关系。
证明：
∠ACD = ∠AOD，∠BCD = ∠BOD。
∠ACB = ∠ACD - ∠BCD = (∠AOD - ∠BOD) = ∠AOB。
结论：三种情况均证明∠ACB = ∠AOB。
设计意图：完整呈现分类讨论过程，强化逻辑严谨性。
定理证明——情况3（圆心在外部）
回顾问题：射门问题中，∠ABC、∠ADC、∠AEC的关系？
推理：
∵ ∠ABC = ∠AOC，∠ADC = ∠AOC，∠AEC = ∠AOC，
∴ ∠ABC = ∠ADC = ∠AEC。
推论：同弧或等弧所对的圆周角相等。
设计意图：回归实际问题，推导出重要推论
圆周角定理的推论
找相等角：图中与∠BAC相等的角有哪些？
推理计算：如图，OA、OB、OC是半径，∠AOB=2∠BOC，问∠ACB与∠BAC的关系？
设计意图：通过基础题型巩固定理应用。
定理应用——基础练习
电影院设计：为什么座位排列呈弧形？（保证同排观众视角一致）
航海问题：如图，∠α为船与灯塔的夹角，∠ACB为危险角，当船在安全区域时，∠α与∠ACB的大小关系？
设计意图：联系实际，提升数学建模能力
定理应用——实际应用题
1.如图，AB∥CD，∠ABC=40°，则∠BOD = （ ）
A. 20°
B. 40°
C. 50°
D. 80°
2.如图，∠AOB=50°，则∠ACB = ______°。
当堂检测
3.如图，A、B、C在⊙O上，∠CAO=25°，∠BCO=35°，则∠AOB = ______°。
4.如图，A、B、C、D在⊙O上，∠BCD=100°，求∠BOD和∠BAD的度数。
当堂检测
知识总结：
圆周角定义：顶点在圆上，两边与圆相交。
圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于圆心角的一半。
推论：同弧或等弧所对的圆周角相等。
思想方法：
分类讨论、类比、特殊到一般、化归。
设计意图：系统梳理内容，强化知识结构与思想方法。
课堂小结
同学们，再见

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