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【2025新教材】沪科版数学 八年级上册
第11章 平面直角坐标系
11.1.1平面直角坐标系及点的坐标
1.理解平面直角坐标系以及横轴、纵轴、原点、坐标等概念，认识并能画出平面直角坐标系；（重点）
2.在给定的直角坐标系中，会根据坐标描出点的位置，并能求出顺次连接所得图形的面积.（难点）
11.1.1 平面直角坐标系及点的坐标 教学过程
第1页：情境导入——从“定位”到坐标系
教学目标：通过生活中的定位问题，激发对平面内点的表示需求，引入课题
师生活动：
- 师：在生活中，我们经常需要描述一个物体的位置。比如，在教室里，如何告诉同学你的座位？在地图上，如何标注一座城市的位置？这些问题都需要一种规范的“定位语言”。
- 互动提问1：若教室座位按“列数+行数”表示，你的座位是（几，几）？（学生回答，如（3，5）表示第3列第5行）
- 互动提问2：在一条笔直的公路上，如何确定一辆汽车的位置？（引导学生想到用“数轴”，如以公路上某加油站为原点，汽车在原点右侧5km处表示为+5）
- 抛出问题：如果是在平整的操场（平面）上，只靠一个数能确定篮球的位置吗？（学生发现不能）这就需要我们今天学习的——平面直角坐标系，它能让平面内的任意一点都有唯一的“数字身份”（板书课题）。
第2页：核心概念——平面直角坐标系的构成
教学目标：掌握平面直角坐标系的各组成要素，理解其几何意义
师生活动：
- 师：平面直角坐标系是由两条特殊的数轴组成的，我们结合图形逐一认识它的要素。（教师在黑板绘制坐标系）
- 要素讲解，师生共建（板书关键要素）：
两条数轴：
水平方向的数轴：叫做x轴（或横轴），规定向右为正方向
- 竖直方向的数轴：叫做y轴（或纵轴），规定向上为正方向
公共原点：x轴与y轴的交点叫做坐标原点，用字母“O”表示
单位长度：x轴和y轴上选取相同的单位长度（如1cm代表1个单位）
象限：x轴和y轴将平面分成四个部分，从右上角开始按逆时针方向依次为第一象限、第二象限、第三象限、第四象限（强调：坐标轴上的点不属于任何象限）
即时判断：请指出黑板坐标系中，x轴正方向、y轴负方向、第一象限的位置（学生上台指出，教师纠正）。
第3页：核心技能1——由点确定坐标（点→数）
教学目标：掌握平面内点的坐标的确定方法，理解坐标的含义
师生活动：
- 师：平面内任意一点的坐标，都用一对有序实数（x，y）表示，我们称之为“有序数对”，其中x叫做横坐标，y叫做纵坐标。
- 例题1：在平面直角坐标系中，确定点A、B、C的坐标（教师在坐标系中标出三点）。
确定点A坐标（教师示范）：
过点A作x轴的垂线，垂足对应的数为2，即点A的横坐标为2
- 过点A作y轴的垂线，垂足对应的数为3，即点A的纵坐标为3
- 点A的坐标表示为（2，3），先写横坐标，再写纵坐标，中间用逗号隔开
学生尝试：确定点B（在第二象限，横坐标-1，纵坐标4）和点C（在x轴上，横坐标-3，纵坐标0）的坐标，分别为（-1，4）和（-3，0）。
规律总结（师生共同完成）：
点所在位置横坐标符号纵坐标符号示例第一象限++（2，3）第二象限-+（-1，4）第三象限--（-2，-5）第四象限+-（3，-1）x轴上任意实数0（-3，0）y轴上0任意实数（0，2）
即时练习：说出点（-5，-2）、（4，0）、（0，-3）所在的象限或坐标轴（学生口答）。
第4页：核心技能2——由坐标确定点（数→点）
教学目标：掌握根据坐标在平面直角坐标系中描点的方法，理解“有序数对”的唯一性
师生活动：
- 师：由坐标描点与由点求坐标是互逆过程，关键是根据横坐标和纵坐标分别在x轴、y轴上找到对应位置，再确定点的位置。
- 例题2：在平面直角坐标系中描出下列各点：A（3，2）、B（-2，1）、C（-1，-3）、D（0，2）。
描点A（3，2）（教师示范）：
在x轴上找到表示3的点，过该点作x轴的垂线
- 在y轴上找到表示2的点，过该点作y轴的垂线
- 两条垂线的交点即为点A
学生分组描点：每组描一个点，上台展示并说明步骤，教师点评规范描点方法（用实心圆点标注，写出点的名称及坐标）。
思考讨论：坐标（2，3）和（3，2）表示同一个点吗？为什么？（学生发现：横坐标和纵坐标顺序不同，对应点的位置不同，说明坐标是“有序数对”）
重要结论：平面直角坐标系内，点与有序实数对是一一对应的（即每个点都有唯一的有序实数对，每个有序实数对都对应唯一的点）。
第5页：实际应用——坐标系的生活价值
教学目标：感受坐标系在生活中的应用，提升知识迁移能力
师生活动：
- 应用1：教室座位定位——以讲台左下角为原点，水平向右为x轴，竖直向后为y轴，每一列对应x值，每一行对应y值，你的座位坐标是（ ， ）？（学生用坐标表示座位，加深理解）
- 应用2：地图定位——某公园地图建立坐标系后，湖心亭坐标为（2，5），儿童乐园坐标为（-3，1），请在简化地图上标出这两个地点的相对位置（教师给出简化坐标系，学生描点）。
- 应用3：数字化定位——GPS导航就是利用类似的坐标系原理，通过经纬度（相当于横坐标和纵坐标）确定地球上任意一点的位置，体现了数学的实用价值。
第6页：易错点辨析与课堂总结
教学目标：规避常见错误，梳理本节课核心知识体系
师生活动：
- 易错点大排查（学生判断并纠错）：
错例1：点（-2，-3）在第二象限（错误：横纵坐标均为负，在第三象限）
- 错例2：点（0，-5）在x轴上（错误：纵坐标为0在x轴，横坐标为0在y轴，该点在y轴负半轴）
- 错例3：坐标表示为（y，x），如点（2，3）写成（3，2）（错误：坐标是“先横后纵”的有序数对）
- 课堂总结（师生共建）：
一个核心工具：平面直角坐标系（由x轴、y轴、原点、单位长度组成）
- 两个核心技能：①由点求坐标（作垂线，读数值）；②由坐标描点（找垂线，定交点）
- 三个关键结论：①坐标是有序数对（x，y）；②象限内点的坐标符号规律；③点与有序实数对一一对应
- 分层作业：
基础题：①在坐标系中描出（1，-2）、（-4，0）、（0，3）并说明所在位置；②写出坐标系中已知点E、F、G的坐标；
- 提升题：已知点P（x，y）在第二象限，且x=-2，y=3，写出点P坐标；若点Q（a，b）在x轴上，且a=-1，求点Q坐标；
- 拓展题：在方格纸中建立坐标系，用坐标表示自己画的简单图形（如长方形、三角形）的各个顶点。
小明父子俩周末去电影院看大片，他们买了两张票，座位号分别是 3 排 6 号和 6 排 3 号.怎样才能既快又准确地找到座位？
问题1：在数轴上，如何确定一个点的位置呢？
A 点记作 -2，B 点记作 3.
例如：
在数轴上一般用一个实数就可以表示一个点的位置.
-1
0
1
2
3
4
-2
-3
A
B
.
.
平面直角坐标系中点的坐标表示
1
问题2：如图是某教室学生座位的平面图，你能描述小明和小红同学座位的位置吗？
1 2 3 4 5 6 7 8
6
5
4
3
2
1
小明
小红
行
列
讲台
（1）在电影票上“6 排 3 号”与“3 排 6 号”中的“6”的含义有什么不同？你能找到它们对应的位置吗？
（2）如果将“6 排 3 号”简记作(6 ，3)，那么“3 排 6 号”如何表示？(5 ，6)表示什么含义？ (6 ，5)呢？
(3) 在只有一层的电影院内，确定一个座位一般需要几个数据？
答:两个数据，排数和号数.
问题3：根据导入新课中的情景回答下列问题：
思考：怎样确定一个点在平面内的位置呢？
可以参照数轴上表示点的方法.
优化
平面直角坐标系：
水平的数轴叫作 x 轴或横轴，取向右为正方向
在平面内画两条互相垂直并且原点重合的数轴，组成平面直角坐标系 xOy .
这个平面叫作坐标平面.
3
1
4
2
5
-2
-4
-1
-3
O
y
1
2
3
4
5
-4
-3
-2
-1
x
竖直的数轴叫作 y 轴或纵轴，取向上为正方向
两轴的交点 O 为原点
x
O
练一练：1.下面四个图形中，是平面直角坐标系的是（ ）
-3 -2 -1 1 2 3
3
2
1
-1
-2
-3
y
x
x
y
（A）
3 2 1 -1 -2 -3
x
y
（B）
3
2
1
-1
-2
0
-3 -2 -1 1 2 3
3
2
1
-1
-2
-3
（C）
O
3
2
1
-1
-2
-3
-3 -2 -1 1 2 3
y
（D）
O
D
规定把横坐标写在前，纵坐标写在后，记作：P(-2，3).
(-2，3) 就叫作点 P 在平面直角坐标系中的坐标，简称点 P 的坐标，P 表示为 (-2，3).
-4 -3 -2 -1 O1 2 3
1
2
3
4
-1
-2
-3
x
y
思考：如图的点 P 如何表示呢？
后由 P 点向 y 轴作垂线，垂足 N 在 y 轴上的坐标是 3，称为 P 点的纵坐标.
N
M
P
有了平面直角坐标系，平面内的点就可以用一对有序实数来表示了.
先由 P 点向 x 轴作垂线，垂足 M 在 x 轴上的坐标是 -2，称为 P 点的横坐标；
点 横坐标 纵坐标 坐标
A 4 2 (4，2)
B 2 4 (2，2)
C
D
E
F
1. 把图中 C，D，E，F 各点对应的坐标填入下表：
C
E
A
B
F
D
-3
-2
3
-3
(-3,-2)
-3
( 3, -3)
0
(-3, 0)
0
1
( 0, 1)
操作
C
E
A
B
F
D
点 A 的坐标是(4，2)，
点 B 的坐标是(2，4).
可见，(4，2)与(2，4)表示的两个点是不同的.
表示平面上点的坐标是一个有序实数对.
归纳总结
2. 在平面直角坐标系中，描出下列各点：
A( 3， 4)，B ( 3，-2)，C(-1，-4)，D (-2， 2)，E( 2， 0)，F ( 0，-2).
A(3，4)
D(-2，2)
E(2，0)
F(0，-2)
B(3，-2)
C(-1，-4)
操作
知识要点
通过建立平面直角坐标系，我们把平面内的点与有序实数对一一对应起来，即对于坐标平面内任意一点 P，都有唯一的一个有序实数对 ( x，y) 和它对应；反之，对于任意一个有序实数对 ( x，y) ，在坐标平面内都有唯一的点 P 和它对应.
一般地，如果平面直角坐标系内点 P 的横坐标为 x，纵坐标为 y ，我们就说有序实数对 ( x，y) 是点 P 在平面直角坐标系中的坐标，记作 P (x，y).
画一画：你能在直角坐标系里描出点 A(-4，-5)，B(-2，0)，
C(4，0)吗？并连线．
A
B
C
●
●
●
O
x
y
-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5
3
2
1
-1
-2
-3
-4
-5
坐标平面内图形面积的计算
2
问题：你能求出△ABC 的面积吗？
解：过点 A 作 AD⊥x 轴于点 D.
因为 A (-4，-5)，
所以 D (-4，0) .
由点的坐标可得
AD = 5 ，BC = 6，
所以 S△ABC =
.
D
例1 在平面直角坐标系中描出下列各组点，并将各组内的点用线段依次连接起来得到一个封闭图形，说说得到的是什么图形，并计算它们的面积.
(1) A ( 5，1)，B ( 2， 1)，C (2，-3)
(2) A (-1，2)，B (-2，-1)，C (2，-1)，D (3，2)
典例精析
(2)得到一个平行四边形，
如图所示.
所以 S = 3×4 = 12.
(1)得到一个直角三角形，
如图所示.
所以 S = ×3×4 = 6.
例2 如图，已知点 A(2，－1)，B(4，3)，C(1，2)，求△ABC 的面积．
解析：本题宜用补形法．
分别过点 A 作 x 轴的平行线，过点 C 作 y 轴的平行线，两条平行线交于点 E，过点 B 分别作 x 轴、y 轴的平行线，分别交 EC 的延长线于点 D，交 EA 的延长线于点 F，然后根据 S△ABC＝S长方形BDEF－S△BDC－S△CEA－S△BFA 即可求出△ABC 的面积．
D
E
F
解：如图，作辅助线.
因为 A(2，－1)，B(4，3)，C(1，2)，
所以 BD＝3，CD＝1，CE＝3，
AE＝1，AF＝2，BF＝4，
所以 S△ABC＝S长方形BDEF－S△BDC－S△CEA－S△BFA
＝BD·DE－ DC·DB－ CE·AE－ AF·BF
＝12－1.5－1.5－4
＝5.
D
E
F
名师点金
1.平面直角坐标系的三要素：（1）两条数轴；（2）互相垂
直；（3）公共原点.
2.平面直角坐标系中两条数轴的特征：（1）互相垂直；（2）
原点重合；（3）通常取向上、向右为正方向；（4）单位长
度一般取相同的，在有些实际问题中，两条数轴上的单位长
度可以不同.
知识点1 平面内位置的确定
1. 黄山位于安徽省黄山市，古称黟山，唐朝
时更名为黄山，取自“黄帝之山”之意.黄山是世界自然和文化
双遗产，世界地质公园，中国十大风景名胜区之一.下列表述
确定黄山位置的是( )
D
A. 黄山位于安徽省南部
B. 距离首都北京约1 300公里
C. 位于黄山市北部
D. 位于东经，北纬
返回
2.如图是小唯关于古诗《望洞庭》的书法展示，如果“湖”的
位置用有序实数对 表示，那么“螺”的位置可以表示为
______.
返回
知识点2 平面直角坐标系及点的坐标
3. 下列选项中，平面直角坐标系的画法正确的是( )
B
A. B. C. D.
返回
4.［2025合肥包河区期中］如图，已
知正方形 在平面直角坐标系中
的三个顶点的位置如图，则点 的坐
标为______.
返回
5.［2024枣庄］任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3再
加上1；若是偶数，就将该数除以2.反复进行上述两种运算，
经过有限次运算后，必进入循环圈 ，这就是
“冰雹猜想”.在平面直角坐标系中，将点中的， 分
别按照“冰雹猜想”同步进行运算得到新的点的横、纵坐标，
其中，均为正整数.例如，点 经过1次运算后得到点
，经过2次运算后得到点，以此类推.则点 经
过2 024次运算后得到点______.
6. 在平面直角坐标
系中，若点到轴、 轴的距离中的
最大值等于点到轴、 轴的距离中
的最大值，则称, 两点为“等距点”，
如图中的, 两点为“等距点”.
（1）已知点的坐标为 .
①在点,, 中，
与点 为“等距点”的是_________；
点,点
②若点的坐标为,且,
两点为“等距点”，则点 的坐标为
_______.
（2）若,两点为“等距点”，求 的值.
①【解】当 ,即
时，点到轴、 轴的
距离中的最大值为4，
所以点到轴、 轴的距离中的最
大值为4.
所以或 ，
解得（舍去）或 .
②当,即或时，点到轴、 轴的距
离中的最大值为 ,
所以点到轴、轴的距离中的最大值为 .
所以 ，
解得（舍去）或.综上， 的值是1或2.
返回
在坐标平面内描点作图
坐标平面内图形面积的计算
平面直角坐标系
构成：原点、坐标轴
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