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【2025新教材】沪科版数学 八年级上册
第11章 平面直角坐标系
11.2 图形在坐标系中的平移
1. 什么叫作平移？
2 .平移后得到的新图形与原图形有什么关系？
　　把一个图形整体沿某一方向移动一定的距离，图形的这种移动，叫作平移。
平移后图形的位置改变，形状、大小不变。
新课导入
11.2 图形在坐标系中的平移 教学课件
一、教学基本信息
- 学科：初中数学
- 学段：七年级下册
- 课时：1课时（45分钟）
- 核心素养目标：
数学抽象：通过点的平移探究坐标变化规律，抽象出图形平移与坐标的关系。
- 直观想象：结合坐标系图形，感知平移前后图形的位置关系与形状大小特征。
- 数学运算：能根据平移规律计算点或图形平移后的坐标，解决相关计算问题。
- 逻辑推理：从特殊点的平移规律推广到整个图形，培养归纳推理能力。
教学重难点：
重点：掌握图形平移与坐标变化的关系，即“左减右加横坐标，上加下减纵坐标”。
难点：根据图形顶点坐标的变化判断图形的平移方向与距离。
教学准备：多媒体课件、方格纸、直尺、铅笔。
二、教学过程设计
（一）情境导入：唤醒旧知，激发兴趣（5分钟）
1. 生活情境提问：
展示商场自动扶梯、棋子移动、电梯升降的图片，提问：“这些运动有什么共同特点？”引导学生回忆平移的定义——图形沿直线移动，形状和大小不变，对应点连线平行且相等。
2. 数学衔接设问：
“我们已经能用几何语言描述平移，若把图形放在平面直角坐标系中，能否用坐标来精确表示平移呢？”引出课题——图形在坐标系中的平移。
3. 旧知回顾：在黑板坐标系中标记点A(2,3)，提问：“如何确定点A的坐标？”强化“横坐标对应x轴，纵坐标对应y轴”的认知。
（二）探究新知：分层探究，归纳规律（20分钟）
活动1：探究点的水平平移（左右平移）规律
1. 操作任务：在方格纸坐标系中，标记点P(3,2)，将其向右平移2个单位得到P ，向左平移3个单位得到P ，写出P 、P 的坐标。
2. 小组交流：学生完成后，小组内核对坐标，讨论“平移前后点的横、纵坐标有何变化？”
3. 规律总结：
引导学生归纳：点的左右平移，纵坐标不变，横坐标变化——向右平移a个单位，横坐标加a；向左平移a个单位，横坐标减a。简记为“左减右加横坐标”。课件展示：P(3,2)→右移2→P (3+2,2)=(5,2)；P(3,2)→左移3→P (3-3,2)=(0,2)。
活动2：探究点的垂直平移（上下平移）规律
1. 类比探究：保持点P(3,2)不变，将其向上平移4个单位得到P ，向下平移1个单位得到P ，自主完成坐标书写。
2. 成果展示：邀请学生上台标注坐标，分享发现。
3. 规律总结：
师生共同提炼：点的上下平移，横坐标不变，纵坐标变化——向上平移b个单位，纵坐标加b；向下平移b个单位，纵坐标减b。简记为“上加下减纵坐标”。课件展示：P(3,2)→上移4→P (3,2+4)=(3,6)；P(3,2)→下移1→P (3,2-1)=(3,1)。
活动3：探究图形的平移规律
1. 实例分析：课件出示三角形ABC，顶点坐标A(4,3)、B(3,1)、C(1,2)。
任务1：将△ABC各顶点横坐标减6，纵坐标不变，得到A 、B 、C ，连接成△A B C ，观察其与△ABC的关系。
2. 任务2：将△ABC各顶点纵坐标减5，横坐标不变，得到A 、B 、C ，连接成△A B C ，分析平移方向与距离。
3. 关键发现：
学生通过观察发现：△A B C 与△ABC形状大小相同，是由△ABC向左平移6个单位得到；△A B C 是由△ABC向下平移5个单位得到。
4. 规律升华：
引导学生总结：图形的平移本质是其所有顶点的平移，因此图形的平移规律与点的平移规律一致——将图形各顶点横坐标加（减）a，纵坐标不变，图形向右（左）平移a个单位；横坐标不变，纵坐标加（减）b，图形向上（下）平移b个单位。追问：若△ABC各顶点横坐标减6且纵坐标减5，得到的△A B C 是由原图形怎样平移得到的？（答案：向左6个单位且向下5个单位）
（三）应用新知：典例解析，巩固提升（12分钟）
类型1：根据平移求坐标
例1：将点M(-2,4)先向右平移3个单位，再向下平移2个单位，求平移后点M'的坐标。
1. 师生共解：向右平移3个单位→横坐标-2+3=1；向下平移2个单位→纵坐标4-2=2，故M'(1,2)。
2. 变式练习：点N(5,-1)先向上平移4个单位，再向左平移7个单位，坐标为______（答案：(-2,3)）。
类型2：根据坐标变化判断平移
例2：线段AB上一点P(a,b)，平移后对应点P'(a-2,b+3)，则线段AB的平移方式是？
1. 学生独立思考，小组讨论：横坐标减2→向左2个单位；纵坐标加3→向上3个单位，故平移方式为“向左平移2个单位且向上平移3个单位”。
2. 易错提醒：强调“横坐标变化对应左右，纵坐标变化对应上下”，避免混淆方向。
类型3：图形平移的综合应用
例3：已知三角形DEF顶点D(1,2)、E(3,4)、F(2,-1)，将其先向上平移3个单位，再向右平移1个单位，求平移后△D'E'F'各顶点坐标，并在方格纸上画出图形。
学生独立完成后，选取2名学生作品展示，教师点评画图规范性（顶点标注清晰、线段连接笔直）。
（四）课堂小结：梳理知识，构建体系（3分钟）
1. 学生回顾：请2名学生用自己的话总结本节课核心内容。
2. 教师梳理：
课件呈现知识框架：1. 点的平移规律：左减右加横坐标，上加下减纵坐标；2. 图形的平移本质：所有顶点的平移；3. 数学思想：数形结合（用坐标描述几何变换）。
（五）布置作业：分层设计，学以致用（5分钟）
基础作业（必做）
1. 已知点A(5,7)，将其平移后得到A'(2,10)，则平移方式为________________。
2. 矩形顶点坐标为(0,0)、(4,0)、(4,2)、(0,2)，将其向右平移5个单位，再向上平移3个单位，写出平移后各顶点坐标。
拓展作业（选做）
1. 第一象限内两点P(m-3,n)、Q(m,n-2)，将线段PQ平移使P、Q分别落在两条坐标轴上，求P平移后的坐标（答案：(0,2)或(-3,0)）。
2. 结合生活实例，设计一个“用坐标描述平移”的问题，并写出解答过程（如商场店铺搬迁、教室座位调整等）。
三、板书设计
11.2 图形在坐标系中的平移
一、平移的本质：形状、大小不变，位置改变
二、点的平移规律
1. 左右平移：纵不变，横“左减右加”
例：P(3,2)→右移2→(5,2)；左移3→(0,2)
2. 上下平移：横不变，纵“上加下减”
例：P(3,2)→上移4→(3,6)；下移1→(3,1)
三、图形的平移：所有顶点按相同规律平移
四、思想方法：数形结合
四、教学反思（课后填写）
- 学生对“左减右加、上加下减”的规律是否真正理解？是否存在机械记忆情况？
- 在图形平移探究中，是否所有学生都参与了顶点坐标的计算与图形绘制？
- 针对“根据坐标变化判断平移方向”这一难点，是否需要增加更多变式练习？
思考
如图，三角形 ABC在坐标平面内向左平移5 个单位长度后，得到新的三角形 A1B1C1.
y
8
7
6
5
4
3
2
1
-1
-2
x
-6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6
O
A
B
C
A1
B1
C1
新知探究
y
8
7
6
5
4
3
2
1
-1
-2
x
-6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6
O
A
B
C
（1）写出三角形 ABC 与三角形 A1B1C1 各顶点坐标. 比较对应点的坐标，看有怎样的变化？
A1
B1
C1
A (2，7) → A1 (-3，7)；
B (0，5) → B1 (-5，5)；
C (4，1) → C1 (-1，1).
纵坐标不变，
点 A1，B1，C1 的横坐标比点 A，B，C 的横坐标小 5.
2
0
4
-3
-5
-1
y
8
7
6
5
4
3
2
1
-1
-2
x
-6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6
O
A
B
C
A2
B2
C2
（2）如果三角形 ABC 向下平移 2 个单位长度，得到三角形 A2B2C2 . 写出这时各顶点的坐标. 比较对应点的坐标，看有怎样的变化？
A (2，7) → A2 (2，5)；
B (0，5) → B2 (0，3)；
C (4，1) → C2 (4，-1).
横坐标不变，
点 A2，B2，C2 的纵坐标比点 A，B，C 的横坐标小 2.
7
5
1
5
3
-1
y
8
7
6
5
4
3
2
1
-1
-2
x
-6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6
O
A
B
C
（3）如果点 P (x，y) 是坐标平面内的任意一点，那么向左平移 5 个单位长度或向下平移 2 个单位长度，它的对应点 P1 的坐标会是怎样的呢？
向左平移 5 个单位长度：
P (x，y) → P1 (x－5，y)
向下平移 2 个单位长度：
P (x，y) → P2 (x，y－2)
A1
B1
C1
A2
B2
C2
左、右平移纵坐标不变，横坐标变，变化规律是左减右加；
一个图形在平面直角坐标系中进行平移，其坐标就要发生相应的变化，可以简单地理解为：
上、下平移横坐标不变，纵坐标变，变化规律是上加下减.
在平面直角坐标系中，描述平移的一个方法是用图形上任一点的坐标 (x，y) 的变化来表示.
例如，右移 2 个单位长度、上移 3 个单位长度的平移，记作 (x，y) → (x+2，y+3).
图形上的点P(x，y)
向右平移a个单位对应点 P1(x + a，y)
向下平移b个单位对应点 P4(x，y - b)
向上平移b个单位对应点 P3(x，y + b)
向左平移a个单位对应点P2(x - a，y)
点的平移规律
例 如图，将三角形 ABC 先向右平移 6 个单位长度，再向下平移 2 个单位长度，得到三角形A1B1C1 . 写出各顶点平移前后的坐标.
y
8
7
6
5
4
3
2
1
-1
-2
x
-4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6
O
A
B
C
A1
B1
C1
解 由题意，得
A (-2，6)→A1 (4，4)
B (-4，4)→B1 (2，2)
C (1，1) →C1 (7，-1)
思考
把平面直角坐标系中的一个图形，按下面的要求平移，图形上任意一个点的坐标 (x，y) 是如何变化的？
（1）向左移动 a (a＞0) 个单位长度；向右呢？
(x，y) → (x-a，y)
(x，y) → (x+a，y)
向左
向右
（2）向上移动 b (b＞0) 个单位长度；向下呢？
(x，y) → (x，y+b)
(x，y) → (x，y-b)
向上
向下
（3）先向左移动 a (a＞0)个单位长度，再向上移动 b (b＞0) 个单位长度.
(x，y) → (x-a，y+b)
针对训练
2.将点 A (3，2) 向右平移 2 个单位长度，再向下平移 4 个单位长度得到 A1，则 A1 的坐标为________.
(5，-2)
1.点 A1 (6，3) 是由点 A (-2，3) 经过_______________ ________得到的，点 B (4，3) 向___________________得到 B1 (6，3).
右平移2个单位长度
向右平移8个单位长度
3.点 A (4，-1) 平移到点 B (-1，4)，可看作先向____平移____个单位长度，再向____平移____个单位长度；也可以看作先向____平移____个单位长度，再向____平移____个单位长度.
左
5
上
5
上
5
左
5
4.(1)已知线段 MN = 4，MN∥y 轴，若点 M 坐标为 (-1，2)，则 N 点坐标为____________________；
(-1，-2) 或 (-1，6)
(2)已知线段 MN = 4，MN∥x 轴，若点 M 坐标
为(-1，2)，则 N 点坐标为___________________.
(3，2) 或 (-5，2)
1.将四边形 ABCD 的四个顶点的横坐标都减去 6，同时纵坐标都减去 5，得到的结论是 ( ).
A.先向左平移 6 个单位长度，再向下平移 5 个单位长度
B.先向右平移 6 各单位长度，再向下平移 5 各单位长度
C.先向左平移 6 各单位长度，再向上平移 5 各单位长度
D.先向右平移 6 个单位长度，再向上平移 5 各单位长度
A
随堂练习
2.下面各图中的图②是由图①平移得到的，描述各图形是如何平移的，并写出各图中图①、图②各顶点的坐标.
(x，y) → (x，y-5)
x
1 2 3 4 5
y
3
2
1
-1
-2
-3
①
②
(5，2)
(5，3)
(1，2)
(1，3)
(1，-2)
(1，-3)
O
(5，-3)
(5，-2)
图①向下平移 5 个单位长度得到图②
【选自教材P17练习第1题】
图①先向右平移 5 个(向下平移 6 个)单位长度，再向下平移 6 个(向右平移 5 个)单位长度得到图②
x
-4 -2 2 4 6
y
4
2
-2
-4
O
①
②
(x，y) → (x+5，y-6)
(-4，2)
(-3，4)
(2，2)
(1，-4)
(2，-2)
(7，-4)
3.如图，在平面直角坐标系中，三角形 ABC 的三个顶点 A，B，C 的坐标分别为 (0，2)，(-1，0)，(3，-1). 经过下列平移后，分别求此时三角形 ABC 各顶点的坐标.
(1)先向右平移 2 个单位长度，
再向下平移 1 个单位长度；
(2)先向左平移 3 个单位长度，
再向上平移 4 个单位长度.
x
-2 -1 1 2 3 4
y
3
2
1
-1
-2
-3
A
A1 (2，1)
O
【选自教材P17练习第2题】
B
C
B1 (1，-1)
C1 (5，-2)
A2 (-3，6)
B2 (-4，4)
C2 (0，3)
4.分别写出点 P (4，5) 在经过如下平移后得到的点 P1 的坐标，并说出由点 P 到点 P1 是怎样平移的.
(1) P (x，y) → P1 (x，y+1) ；
(2) P (x，y) → P1 (x－1，y) ；
(3) P (x，y) → P1 (x+1，y+2) ；
(4) P (x，y) → P1 (x－3，y－1) .
【选自教材P17练习第3题】
解：(1) P1 (4，6)，向上平移 1 个单位；
(2) P1 (3，5)，向左平移 1 个单位；
(3) P1 (5，7)，向右平移 1 个单位，再向上平移 2 个单位；
(4) P1 (1，4)，向左平移 3 个单位，再向下平移 1 个单位.
B
C
-4
-5
1
2
3
4
1
2
3
4
-1
-2
-3
-3
o
x
y
(-3，2)
(-2，-1)
(3，0)
5.如图，三角形 ABC 上任意一点 P(x0，y0) 经平移后得到的对应点为P1(x0 + 2，y0 + 3)，将三角形 ABC 作同样的平移得到三角形 A1B1C1. 求 A1、B1、C1 的坐标.
P(x0，y0)
P1(x0+2，y0+3)
B
C
O
A1
C1
B1
A
解：A ( -3，2 ) 经平移后得到 (-3 + 2，2 + 3)，
即 A1 ( -1，5 )；
B ( -2，-1 ) 经平移后得到 (-2 + 2，-1 + 3)，
即 B1 (0，2)；
C (3，0) 经平移后得到 (3 + 2，0 + 3)，
即C1 (5，3).
1.如图，在平面直角坐标系中，平行四边形 ABCD 的四个顶点 A，B，C，D 的坐标分别为(-6，3)，(-3，-2)，(1，-2)，(-2，3).把平行四边形 ABCD 向右平移 5个单位长度，求移动后各顶点的坐标。
解： A' (-1，3)， B' (2，-2)， C' (6，-2)， D' (3，3).
【选自教材P18习题11.2 第1题】
r
4
3
2
1
-1
-2
-3
-4
y
x
-6 -5 -4 -3 -2 -1O 1 2 3 4 5
A
B
C
D
2.图①和图②是正方形在平面直角坐标系中平移前后的两个位置.请描述从图①如何平移到图②.
-4 -2 O 2 4 6 8 10 12
x
12
10
8
6
4
2
y
解：图①先向下平移 4 个单位长度，再向右平移 10 个单位长度得到图② (或图①先向右平移10个单位长度，再向下平移4个单位长度得到图②).
【选自教材P18习题11.2 第2题】
①
②
3.已知点 A，B 的坐标分别为 (1，2)，(5，7). 将线段AB 平移后，点 A 的坐标变为 (-6，-3). 求点 B 平移后的坐标。
解：点 A (1，2) 平移后的坐标为 (-6，-3)，可知线段上点的平移方法为 (x，y) → (x-7，y-5)，则点 B (5，7) 平移后的坐标为 (5-7，7-5)，即 (-2，2).
【选自教材P18习题11.2 第3题】
4.如图，在平面直角坐标系中，有一个正方形 ABCD，其中点 D 与原点 O 重合.
(1)写出 A，B， C，D 四个点的坐标；
(2)将正方形 ABCD 先向上平移 2 个单
位长度，再向左平移 3 个单位长度，
得到正方形 A1B1C1D1，写出点 A1，B1，
C1，D1 的坐标.
解：(1) A (4，0)，B (4，4) ，C (0，4) ，D (0，0) ；
【选自教材P18习题11.2 第4题】
O (D) 2 4
x
4
2
y
A
B
C
(2) A1 (1，2)，B1 (1，6) ，C1 (-3，6) ，D1 (-3，2) ；
知识点1 坐标系中点的平移
1.［知识初练］在平面直角坐标系中，将点 向左平移3
个单位，所得点的坐标为________;将点 向上平移2个单
位，所得点的坐标为______.
2.［2025·上海月考］将点 先向右平移5个单位，再
向下平移4个单位所得到的点 的坐标为________.
【变式题】 如图，在平面直角坐标系中，四
边形是长方形，， ，
轴.已知点，则点 的坐标是
______.
3.点 先向左平移3个单位，再向下平移2个单位得到点
，则( )
B
A.， B.，
C.， D.，
4.在平面直角坐标系中，有，两点，则点 可
以看成由点 ( )
A
A.向上平移3个单位得到 B.向下平移3个单位得到
C.向左平移1个单位得到 D.向右平移1个单位得到
知识点2 坐标系中图形的平移
5.［2024·淄博中考］如图，已知 ，
两点的坐标分别为 ，
，将线段 平移得到线段
.若点的对应点是 ，则点
的对应点 的坐标是______.
6.［2025·长沙模拟］如图，已知点
，的坐标分别为， ，
将三角形沿 轴正方向平移，使
点平移到点，得到三角形 .若
，则点 的坐标为______.
7.如图，将平行四边形 向左平移2个单位，然后再向上
平移3个单位，可以得到平行四边形 .画出平移后的
图形，并写出，，， 的坐标.
解：如图所示.
，， ，
.
若点在平行四边形 内，其平移后的对
应点为，则 的坐标为______________.
课堂小结
图形在坐标系中的平移
沿 x 轴平移
沿 y 轴平移
纵坐标不变
向右平移，横坐标加上一个正数
向左平移，横坐标减去一个正数
横坐标不变
向上平移，纵坐标加上一个正数
向下平移，纵坐标减去一个正数
谢谢观看！

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