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【2025新教材】沪科版数学 八年级上册
第12章 函数与一次函数
12.1.1认识函数
1.了解常量与变量的意义，能正确分辨出自变量与因变量；
2.初步了解自变量与函数的意义，能写出简单的函数表达式；
3.通过观察、分析生活中两个变量的运动变化过程，培养学生利用函数的观点认识现实世界的意识和能力；
4.在函数概念形成的过程中，培养学生联系实际、善于观察、乐于探索和勤于思考的精神.
12.1.1 认识函数 教学课件
一、教学基本信息
- 学科：初中数学
- 学段：八年级上册
- 课时：1课时（45分钟）
- 核心素养目标：
数学抽象：通过具体实例感知变量间的对应关系，抽象出函数的概念。
- 直观想象：结合表格、图像等载体，直观理解函数中变量的依存关系。
- 数学建模：能将简单实际问题中的变量关系用函数视角描述，初步建立函数模型。
- 逻辑推理：通过辨析实例，归纳函数的本质特征，培养归纳与演绎推理能力。
教学重难点：
重点：理解函数的概念，明确函数的两个本质特征——“两个变量”“唯一对应”。
难点：辨析具体问题中变量是否满足函数关系，理解“对于自变量的每一个确定值，函数值有且只有一个”这一核心特征。
教学准备：多媒体课件、方格纸、函数关系辨析卡片。
二、教学过程设计
（一）情境导入：感知变量，引发思考（5分钟）
1. 生活实例呈现：
课件展示3个生活场景，引导学生观察其中的变化量：场景1：汽车以60km/h的速度匀速行驶，行驶的路程随时间的变化而变化。
2. 场景2：电影院一张电影票35元，购票的总费用随购票数量的变化而变化。
3. 场景3：一天中，气温随时间的变化而变化。
4. 提问引导：
“每个场景中都有两种变化的量，它们之间有什么联系？当其中一种量确定时，另一种量是否也随之确定？”学生自由发言后，教师小结：生活中充满了这种“一个量随另一个量变化”的现象，今天我们就来研究这种变化关系的数学模型——函数。引出课题：12.1.1 认识函数。
（二）探究新知：分层解构，建构概念（22分钟）
活动1：认识变量与常量
1. 实例分析：以汽车行驶场景为例，设行驶时间为t（h），行驶路程为s（km），速度为60km/h。
提问1：“哪些量是固定不变的？哪些量是不断变化的？”
2. 明确概念：在一个变化过程中，数值发生变化的量称为变量（如t和s）；数值始终不变的量称为常量（如速度60km/h）。
3. 即时练习：在电影票场景中，指出变量与常量（变量：购票数量、总费用；常量：35元/张）。
4. 强调：常量和变量是相对的，取决于具体的变化过程（如当研究“不同票价下，固定数量电影票的总费用”时，票价就成为变量）。
活动2：探究变量间的对应关系
1. 表格梳理：针对汽车行驶场景，填写表格：
行驶时间t（h）1234...行驶路程s（km）60120180240...提问：“当t确定为2时，s的值是多少？当t确定为5时，s的值唯一吗？”引导学生发现：t的每一个确定值，都对应唯一的s值。
2. 图像辅助：课件出示一天中气温随时间变化的折线图，提问：“当时间为8:00时，气温是多少？同一个时间点，能对应两个不同的气温吗？”进一步强化“一个变量确定，另一个变量唯一确定”的特征。
3. 表达式呈现：用数学式子表示汽车行驶场景的关系：s=60t。说明：当t取任意一个合理的数值时，通过式子都能计算出唯一的s值。
活动3：抽象函数概念
1. 共性提炼：引导学生回顾以上实例，总结共同特征：
都有两个变量（如t与s、购票数量与总费用、时间与气温）；
2. 对于其中一个变量的每一个确定值，另一个变量都有唯一确定的值与之对应。
3. 概念给出：
在一个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么就说x是自变量，y是x的函数。如果当x=a时，对应的y=b，那么b叫做当自变量的值为a时的函数值。
4. 概念解读：
关键词1：“两个变量”——缺一不可，单个变量不存在函数关系；
5. 关键词2：“每一个确定的值”——自变量的取值要合理（如t不能为负数）；
6. 关键词3：“唯一确定”——这是函数的核心特征，“一对多”不满足函数关系，“一对一”“多对一”满足函数关系（举例：y=x 中，x=2和x=-2都对应y=4，是函数关系）。
（三）应用新知：辨析巩固，深化理解（10分钟）
类型1：函数关系的辨析
例1：判断下列变量关系是否为函数关系，说明理由。
1. 正方形的面积S与它的边长a；
2. 等腰三角形的周长C与它的底边长b（腰长固定为5）；
3. 人的身高h与体重w；
4. 汽车行驶的路程s与行驶时间t（速度不固定）。
师生共析：1、2是函数关系（满足“两个变量+唯一对应”）；3不是（身高确定时，体重不唯一）；4不是（时间确定时，速度不固定则路程不唯一）。
类型2：求函数值
例2：已知函数y=2x-3，求：
1. 当x=4时的函数值；
2. 当y=5时自变量x的值。
1. 学生独立解答，教师板书过程：
（1）当x=4时，y=2×4-3=5，故函数值为5；（2）当y=5时，2x-3=5，解得x=4，故自变量x的值为4。
2. 变式练习：已知函数y=x +1，当x=-3时，函数值为______（答案：10）。
类型3：函数的表示方法
引导学生回顾：本节课中函数的表示方法有三种——表格法（如行驶时间与路程表）、图像法（如气温变化图）、解析式法（如s=60t），三种方法各有优势，后续将详细学习。
（四）课堂小结：梳理整合，构建体系（3分钟）
1. 学生回顾：请学生用“本节课我认识了______，知道了函数的关键是______”的句式总结收获。
2. 教师梳理：
1. 核心概念：变量与常量、自变量与函数、函数值；2. 函数本质：两个变量，唯一对应；3. 学习方法：从生活实例抽象数学概念，用辨析、计算巩固理解。
（五）布置作业：分层设计，拓展延伸（5分钟）
基础作业（必做）
1. 指出下列问题中的变量与常量，并判断是否为函数关系：
圆的周长C与半径r（圆周率π取3.14）；
2. 班级中每个学生的学号与姓名。
3. 已知函数y=3x+2，求当x=-1、0、2时的函数值。
拓展作业（选做）
1. 在平面直角坐标系中，点P(x,y)的坐标满足y=2x，判断点P的坐标中，y是否为x的函数？x是否为y的函数？说明理由。
2. 记录自己一天中3个时间点的体温，将时间作为自变量，体温作为函数值，用表格表示这种函数关系，并说明体温是否为时间的函数。
三、板书设计
12.1.1 认识函数
一、变量与常量
变化过程中：变——变量；不变——常量
二、函数的概念
1. 两个变量：x（自变量）、y（函数）
2. 核心特征：对于x的每一个确定值，y有唯一确定值对应
3. 函数值：x=a时，对应的y=b，b是函数值
三、函数关系判断：看“两个变量+唯一对应”
四、例：y=2x-3，x=4时，y=5；y=5时，x=4
四、教学反思（课后填写）
- 学生对“唯一确定”这一核心特征的理解是否到位？是否能准确辨析“一对多”的非函数关系？
- 在概念引入时，生活实例的选取是否足够典型？是否需要增加更多学生熟悉的场景（如手机话费与通话时长）？
- 对于自变量取值的合理性，本节课仅简单提及，后续是否需要提前铺垫？
观察思考
你还记得乌鸦喝水的故事吗？你能从中发现什么？
图片中涉及哪几个量？它们之间有什么不同呢？
思考
水量
石子数量
水面高度
水面高度，石子数量在
水量固定
改变
不变
水面随着石子数量的增多而升高
现实生活中常常需要研究变化的量之间的关系.
热气球上升过程中所到达的海拔高度随着上升时间的变化而变化
汽车行驶的路程随时间的变化而变化
有两个相关的量，其中一个量往往随着另一个量的变化而变化.
如何研究两个变化的量之间的对应关系？
用热气球探测高空气象. 设热气球从海拔1800 m处的某地升空，在一段时间内，它匀速上升. 它上升过程中到达的海拔高度h m与上升时间t min的关系记录如下表：
t/min 0 1 2 3 4 5 6 7 …
h/m 1800 1830 1860 1890 1920 1950 1980 2010 …
当t=0时
h为1800
当t=1时
h为1830
当t=2时
h为1860
当t=3时
h为1890
用热气球探测高空气象. 设热气球从海拔1800 m处的某地升空，在一段时间内，它匀速上升. 它上升过程中到达的海拔高度h m与上升时间t min的关系记录如下表：
t/min 0 1 2 3 4 5 6 7 …
h/m 1800 1830 1860 1890 1920 1950 1980 2010 …
(1)这个问题中，涉及哪几个量？
(2)热气球上升3min和6min时到达的海拔高度分别是多少米？
(3)热气球在升空的过程中平均每分钟上升多少米？
热气球的上升时间 t
上升到达的海拔高度 h
初始海拔高度1800m
热气球上升速度
30 m
热气球在上升过程中哪些量是变化的？哪些量始终保持不变？
发生变化的量：
热气球的上升时间 t
上升到达的海拔高度 h
某一变化过程中不断发生变化的量叫作变量.
保持不变的量：
初始海拔高度1800m
热气球上升的速度 30m/min
某一变化过程中保持不变的量叫作常量.
练一练
七年级某班有 n 名学生，每名学生购买一本数学课本，单价是 14.69 元，总金额为 y 元. 在这个问题中，变量是________，常量是________.
n，y
14.69
判断常量和变量的方法：
(1)看它是否在同一个变化过程中；
(2)看它在这个变化过程中的取值是否改变.
汽车在行驶过程中，制动后由于惯性仍将滑行一 段距离才能停住，这段距离称为制动距离. 某型号的汽车在路面上的制动距离s m与车速v km/h之间有经验公式:
(1)这个公式中涉及哪几个量？
(2)制动时，当车速是40 km/h时，相应的制动距离是多少米？若车速是80 km/h时呢？
(3) 制动时，对于车速 v 的每一个值，相应的制动距离 s 的值都是唯一确定的吗？
制动距离s
车速v
变量
变量
常量
当v=40 km/h时，s=6.25m；
当v=80 km/h时，s=25m
唯一确定
S市某日自动测量仪记下的用电负荷曲线如图所示.
GW表示“吉瓦”，是电功率的单位.
1GW=109W.
(1)这个问题中，涉及哪几个量？
(2) 给出这天中的某一时刻，如4.5时，能找到这一时刻的用电负荷是多少吗？你是怎么找到的？找到的值是唯一确定的吗？20时呢？
时间 t 、用电负荷 y
y=10
y=16
S市某日自动测量仪记下的用电负荷曲线如图所示.
GW表示“吉瓦”，是电功率的单位.
1GW=109W.
(3)在这天中，对于时间 t 的每一个值，相应的用电负荷 y 的值都是唯一确定的吗？
(4) 在这一天中，用电负荷最高和最低各是多少？它们是在什么时刻达到的？
唯一确定
用电负荷最高
用电负荷最低
在上述三个问题中，每个变化过程都只涉及两个变量，两个变量之间有一种对应关系，当其中某个变量取定一个值时，根据此对应关系就唯一确定了另一个变量的值。
问题1中，t＝3时，h＝1890；t＝6时，h＝1980.
问题2中，v＝40时，s＝6.25；v＝80时，s＝25.
问题3中，t＝4.5时，y＝10；t＝20时， y＝16.
一般地，设在一个变化过程中有两个变量 x，y，如果对于 x 在它允许取值范围内的每一个值，y 都有唯一确定的值与它对应，那么就说 y 是 x 的函数，其中 x 是自变量.
当 x = a 时，y=b，则 b 叫作当自变量 x 取 a 时的函数值.
说一说：问题1、问题2、问题3中，什么量是自变量，什么量是函数？
函数的概念注意把握 ①变化过程；
②两个变量x与y；
③对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与它对应.
练一练
如图是某市某一天的气温变化曲线，则气温 T ____(填“是”或“不是”)时间 t 的函数，理由是时间 t 在取值范围内的每一个值，气温 T 都有___________的值与它对应。
是
唯一确定
判断两个变量间的关系是不是函数关系，要把握以下三点：
1.是不是同一个变化过程中的两个变量.
2.一个变量的数值是否随着另一个变量的数值的变化而变化.
3.对于其中一个变量的每一个确定的值，另一个变量是否都有唯一确定的值与其对应，也就是说，可以是“多对一”，但不可以是“一对多”.
随堂练习
1.指出下列关系中的变量与常量.
(1) 球的表面积 S cm2与球半径 R cm之间的关系为：S=4πR2；
(2) 在一定温度范围内，某种金属丝的长度 l cm与温度 t ℃之间的关系为：l=0.002t+200.
解：(1) S=4πR2中S、R为变量，4、π为常量；
(2) l=0.002t+200中t、l为变量，0.002、200为常量.
【教材P26 练习 T1】
【教材P26 练习 T2】
2.下列问题中，变量 y 是变量 x 的函数吗？请说明理由.
(1) 在平静的湖面上，投入一粒石子，泛起的圆形波纹的半径为 x m，周长为 y m；
(2) 一个正数 x 的平方根是 y .
是
不是
【教材P26 练习 T3】
3.购买单价是2元的圆珠笔，总金额 y 元是圆珠笔支数n的函数吗？并指出其中的常量与变量。
总金额 y 元是圆珠笔支数 n 的函数. 其中变量为y、n，常量为2.
4.在一根弹簧的下端悬挂重物，改变并记录重物的质量，观察并记录弹簧长度的变化，探索它们的变化规律.如果弹簧原长10cm，每1kg重物使弹簧伸长0.5cm，怎样用含有重物质量 m (kg)的式子表示受力后的弹簧长度 y(cm)？
y=0.5m+10
知识点1 常量与变量
1. “白毛浮绿水，红掌拨清波”，白鹅拨出的圆形水波不断扩
大，水波的周长与半径的关系式为 ，则其中的自
变量是( )
A
A. 半径 B. 周长 C. 2 D.
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2. 某辆速度为 的汽车从甲地开往相
距的乙地，全程所用的时间为 ，在这个变化过程
中，下列说法正确的是( )
A
A. 是常量 B. 是常量 C. 是常量 D. 无法判断
返回
知识点2 函数的定义
3. 下列图象中，不是 的函数的是( )
B
A. B. C. D.
返回
4. 下列两个变量，不是函数关系的是( )
B
A. 正方形的面积与边长之间的关系
B. 一个正数的平方根与这个正数之间的关系
C. 圆的面积与圆的周长之间的关系
D. 速度一定时，汽车行驶的路程与行驶时间之间的关系
返回
5. ［2025南京外国语学校月考］有下列式子：
;;; .
其中，是 的函数的有( )
C
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
【点拨】在中，当时，，即对于 的每一
个可取的值，不是唯一的值与之对应，所以②中不是 的
函数.其余三个都满足函数定义，故选C.
返回
知识点3 函数的自变量
6. 一个容器中装有一定质量的糖，向容器中加入水，随着水
量的增加，糖水的浓度将降低，这个问题中自变量是( )
D
A. 糖水的浓度 B. 糖水的质量
C. 糖的质量 D. 水量
返回
易错点 对函数定义中“唯一确定的值与它对应”理解不
透彻而致错
7. 下列关于变量,的关系,其中不是 的函数的是( )
D
A. B. C. D.
返回
8. 某小区用户用电量与应缴电费之间的关系
如表，则下列叙述错误的是( )
用电量/（千瓦时） 1 2 3 4 …
应缴电费/元 0.55 1.10 1.65 2.20 …
D
A. 在这个变化过程中，自变量是用电量
B. 应缴电费随用电量的增加而增加
C. 用电量每增加1千瓦时，电费增加0.55元
D. 若应缴电费为2.75元，则用电量为6千瓦时
返回
9. 如图是某加油站
地下圆柱形储油罐示意图，已知储油罐长度
为，截面半径为（, 为常量），油面高
度为，油面宽度为，油量为
①④
（,,为变量），则下面四个结论：是的函数； 是
的函数；是的函数；是 的函数.其中正确结论的
序号是______.
返回
课堂小结
变量与常量的概念
我们把某一变化过程中保持不变的量叫作常量.而把某一变化过程中不断发生变化的量叫作变量.
自变量、函数、函数值的概念
设在一个变化过程中有两个变量 x，y，如果对于 x 在它允许取值范围内的每一个值，y 都有唯一确定的值与它对应，那么就说 y 是 x 的函数，其中 x 是自变量.当 x = a 时，y=b，则 b 叫作当自变量 x 取 a 时的函数值.
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