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【2025新教材】沪科版数学 八年级上册
第12章 函数与一次函数
12.1.3函数的表示法 图象法
1.会用图象法表示函数；
2.知道画图象的步骤，即列表、描点、连线；
3.经历用图象法表示函数的过程，提高作图能力，并培养学生数形结合的能力；
4.通过作图，提高学生解决问题的能力，同时加强学生对数学的认识.
12.1.3 函数的表示法 图象法 教学课件
一、教学基本信息
- 学科：初中数学
- 学段：八年级上册
- 课时：1课时（45分钟）
- 核心素养目标：
数学抽象：通过具体实例理解函数图象法的本质，抽象出图象与变量关系的对应特征。
- 直观想象：结合函数图象感知变量的变化趋势，建立数与形的联系，强化数形结合思想。
- 数学运算：能根据函数图象读取信息，计算函数值或自变量的值，提升运算与分析能力。
- 数学建模：能将简单函数关系用图象表示，或根据图象分析实际问题中的函数关系，初步形成建模能力。
教学重难点：
重点：理解函数图象的概念，掌握函数图象的画法，能根据图象读取函数信息。
难点：理解函数图象与函数解析式、列表之间的对应关系，根据实际问题的函数图象分析变量变化规律。
教学准备：多媒体课件、方格纸、直尺、铅笔、坐标纸。
二、教学过程设计
（一）复习回顾，引入新课（5分钟）
1. 旧知梳理：
提问1：“上节课我们学习了函数的哪两种表示方法？它们各自的特点是什么？”（引导学生回答：列表法——直观但有限；解析法——全面但需计算）提问2：“已知函数y=2x+1，当x=3时，函数值是多少？若用表格表示，当x取-1、0、1时，对应的y值分别是什么？”（学生计算回答：x=3时y=7；x=-1时y=-1，x=0时y=1，x=1时y=3）
2. 情境导入：
展示心电图、气温变化折线图、股票走势图的图片，提问：“这些图形能反映两个变量之间的关系吗？它们有什么共同特点？”学生观察后，教师小结：这些图形都是用图象来表示两个变量的关系，这种方法直观、形象，能清晰看出变量的变化趋势，这就是我们今天要学习的函数第三种表示法——图象法。引出课题：12.1.3 函数的表示法 图象法。
（二）探究新知：认识函数图象（10分钟）
活动1：函数图象的概念
1. 概念生成：
回顾平面直角坐标系的知识：平面直角坐标系中，任意一点都可以用一对有序实数（x,y）表示，其中x是横坐标，y是纵坐标。结合上节课的函数y=2x+1，对于自变量x的每一个确定值，都有唯一的y值与之对应，这样就得到了一系列有序实数对（x,y）。将这些有序实数对在平面直角坐标系中描出对应的点，然后把这些点按照自变量由小到大的顺序连接起来，得到的图形就是这个函数的图象。
2. 核心解读：
强调：函数图象上的每一个点的横坐标都是自变量的一个取值，纵坐标都是对应的函数值；反过来，以函数解析式中自变量x和对应的函数值y为坐标的点，一定在这个函数的图象上。即“点在图象上”与“点的坐标满足解析式”是等价的。
活动2：从图象读取信息
实例分析：课件出示函数y=2x+1的图象（提前绘制），完成以下问题：
1. 图象上横坐标为2的点，纵坐标是多少？对应的函数值是多少？（引导学生在图象上找到x=2对应的点，读出y=5，验证：y=2×2+1=5）
2. 图象上纵坐标为-3的点，横坐标是多少？对应的自变量值是多少？（学生找到y=-3对应的点，读出x=-2，验证：-3=2x+1→x=-2）
3. 当x从-2增大到2时，y的值如何变化？（学生观察图象发现：y随x的增大而增大）
小结：从函数图象上可以直接读取自变量与函数值的对应关系，还能直观看出函数值随自变量的变化趋势。
（三）探究新知：函数图象的画法（12分钟）
活动1：归纳画函数图象的步骤
以函数y=x -2x为例，讲解画函数图象的一般步骤：
1. 第一步：列表——确定自变量取值范围，选取合适的自变量值，计算对应函数值。
首先确定自变量x的取值范围：对于y=x -2x，x为全体实数，选取x=-1、0、1、2、3，计算对应的y值，列出表格：x-10123y=x -2x30-103强调：选取自变量值时，要兼顾正负和特殊值，使描出的点能反映图象的整体特征。
2. 第二步：描点——根据表格中的有序实数对，在平面直角坐标系中描出对应的点。
示范描点：如（-1,3），先在x轴上找到-1，在y轴上找到3，过这两个点分别作x轴、y轴的垂线，交点即为所求点；依次描出（0,0）、（1,-1）、（2,0）、（3,3）。提醒：描点时要准确，点可以用“·”表示，标注清楚坐标。
3. 第三步：连线——把描出的点按照自变量x由小到大的顺序，用平滑的曲线（或直线）连接起来。
示范连线：从（-1,3）开始，依次连接（0,0）、（1,-1）、（2,0）、（3,3），形成一条抛物线。强调：连线要平滑，不能画成折线；如果自变量取值范围是全体实数，图象要向两端适当延伸；如果是有限范围，要标注端点。
总结画函数图象的步骤：列表→描点→连线，简记为“一表二点三连线”。
活动2：学生实践画图
让学生在方格纸上画出函数y=-x+3的图象，步骤如下：
1. 列表：选取x=-1、0、1、2、3，计算y值；
2. 描点：在坐标系中描出对应点；
3. 连线：用直线连接各点。
教师巡视指导，纠正描点不准、连线不直等问题，选取优秀作品展示点评。
（四）应用新知：图象法的实际应用（10分钟）
类型1：根据图象分析实际问题
例1：小明从家出发，骑自行车去书店买书，停留一段时间后，步行回家。下图是他离家的距离s（米）与出发时间t（分钟）的函数图象，根据图象回答下列问题：
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1. 小明骑自行车的速度是多少？（分析：0-10分钟是骑自行车阶段，路程1000米，时间10分钟，速度=1000÷10=100米/分钟）
2. 小明在书店停留了多长时间？（分析：10-20分钟距离不变，停留时间=20-10=10分钟）
3. 小明步行回家的速度是多少？（分析：20-35分钟是步行回家阶段，路程1000米，时间15分钟，速度≈66.7米/分钟）
4. 出发25分钟后，小明离家的距离是多少？（分析：t=25时，对应s=500米）
师生共析：解决这类问题的关键是理解图象中“水平线段”表示变量不变（如停留），“上升线段”表示函数值随自变量增大而增大（如去书店），“下降线段”表示函数值随自变量增大而减小（如回家）。
类型2：判断点是否在函数图象上
例2：判断点A(2,5)、B(-1,-3)是否在函数y=2x+1的图象上。
1. 学生思考方法：将点的坐标代入函数解析式，若满足解析式，则点在图象上；否则不在。
2. 师生共解：
对于点A(2,5)：把x=2代入y=2x+1，得y=2×2+1=5，与点A的纵坐标相等，故点A在图象上；对于点B(-1,-3)：把x=-1代入y=2x+1，得y=2×(-1)+1=-1，与点B的纵坐标-3不相等，故点B不在图象上。
（五）对比总结：函数三种表示法的综合应用（3分钟）
表示方法
优点
缺点
适用场景
列表法
直观、直接读取对应值
仅能表示有限个值，无整体趋势
快速查询特定值（如价目表）
解析法
全面、精确，可计算任意值
抽象，需计算才能得对应值
精确计算、数学推理（如公式）
图象法
直观，易看出变化趋势
读数有误差，不够精确
分析变化规律（如走势图）
小结：三种表示法各有优势，实际问题中常常结合使用，如根据解析式列表，再根据表格描点画图，或根据图象分析规律后写出解析式。
（六）课堂小结：梳理知识，构建体系（2分钟）
1. 学生回顾：请学生总结函数图象的概念、画法及图象法的特点。
2. 教师梳理：
1. 函数图象：有序实数对（x,y）对应的点连接而成的图形；2. 画图步骤：列表→描点→连线；3. 核心思想：数形结合，图象与解析式、列表相互转化。
（七）布置作业：分层设计，学以致用（3分钟）
基础作业（必做）
1. 画出函数y=2x-3的图象，并根据图象回答：
当x=2时，y的值是多少？
2. 当y=1时，x的值是多少？
3. y随x的增大而如何变化？
4. 判断点P(3,4)、Q(-2,-7)是否在函数y=x+1的图象上。
拓展作业（选做）
1. 小红从家到学校，先匀速步行5分钟到达公交站，然后乘坐公交车匀速行驶10分钟到达学校，公交车的速度是步行速度的4倍。设步行速度为v米/分钟，小红离家的距离为s米，出发时间为t分钟，写出s与t的函数解析式，并画出大致图象。
2. 收集生活中一个用图象法表示函数关系的实例（如水电费缴费图、快递时效图等），分析图象中变量的变化规律，并尝试用语言描述。
三、板书设计
12.1.3 函数的表示法 图象法
一、函数图象的概念
有序实数对（x,y）对应的点连接而成的图形
点在图象上 坐标满足解析式
二、图象画法：列表→描点→连线
例：y=x -2x（列表→描点→连抛物线）
三、图象法的特点：直观、易看变化趋势
四、应用
1. 读图象：找对应值、分析变化
2. 判点：代入解析式验证
五、思想方法：数形结合
四、教学反思（课后填写）
- 学生在描点和连线时，是否存在点的坐标对应错误、连线不平滑的问题？如何强化规范操作？
- 对于根据实际问题图象分析变化规律，学生是否能准确解读“水平线段”“上升/下降线段”的意义？
- 三种表示法的综合应用环节，是否需要增加更多例题让学生体会转化思想？
表示函数的一般方法
还记得上节课研究的三个函数问题吗？
问题2：用电负荷曲线
问题1：用热气球探测高空气象
问题3：汽车刹车问题
列
表
法
图
象
法
解
析
法
回顾
函数三种表示方法的区别：
列表法
定义
优点
解析法
图象法
通过列出自变量的值，与对应函数值的表格来表示函数关系的方法
用数学式子表示函数关系的方法
具体反映了函数值随自变量的数值对应关系
准确地反映了函数值随自变量的数量关系
？
？
回顾
问题2：用电负荷曲线
合作
用表达式表示的函数关系，有时需画出图来表示，使函数关系更直观、形象.
较难用解析式表示出来
图象直观反映了变化规律
合作
下面以作函数 y=2x 的图为例来说明.
①列表：
x … 3 2 1 0 1 2 3 …
y … …
如何作函数的图呢？
②任意一个有序实数对(x，y)与坐标平面内一点 M(x，y)
成一一对应.
6
4
2
0
2
4
6
( 3， 6)
( 2， 4)
( 1， 2)
(0，0)
(1，2)
(2，4)
(3，6)
把这些点描在直角坐标系中.
合作
下面以作函数 y=2x 的图为例来说明.
如何作函数的图呢？
( 3， 6)
( 2， 4)
( 1， 2)
(0，0)
(1，2)
(2，4)
(3，6)
②把这些点描在直角坐标系中.
合作
下面以作函数 y=2x 的图为例来说明.
如何作函数的图呢？
③把点连接起来，无数个点组成了坐标系中的图形.
y=2x
归纳
一般地，对于一个函数，如果把自变量x与函数y的每对对应值分别作为点的横坐标与纵坐标，在坐标平面内描出相应的点，这些点所组成的图形，就是这个函数的图象.
用图象来表示两个变量间的函数关系的方法，叫作图像法.
归纳
函数三种表示方法的区别：
列表法
定义
优点
解析法
图象法
通过列出自变量的值，与对应函数值的表格来表示函数关系的方法
用数学式子表示函数关系的方法
具体反映了函数值随自变量的数值对应关系
准确地反映了函数值随自变量的数量关系
用图象来表示两个变量间的函数关系的方法
直观地反映了函数值随自变量的变化而变化的规律
归纳
1. 列表：列表给出自变量与函数的一些对应值.
由函数表达式画图象，一般按下列步骤进行：
3. 连线：按照自变量的大小顺序，把所描各点用平
滑曲线依次连接起来.
2. 描点：以表中各组对应值为坐标，在坐标平面内描出
相应的点.
描出的点越多，描绘的图象误差越小
典型例题
例 画出前面问题3中的函数 的图象.
解：(1) 列表：因为这里v≥0,我们分别取v =0，10，20， 30，40，求出它们对应的s值，列成表格： (近似值取小数点后一位)
v/(km.h-1) 0 10 20 30 40
s/m
0
0.4
1.6
3.5
6.3
(0，0)，(10，0.4)， (20，1.6)， (30，3.5)，(40，6.3).
典型例题
例 画出前面问题3中的函数 的图象.
描点：在坐标平面内描出(0，0)，(10，0.4)， (20，1.6)， (30，3.5)，(40，6.3)等点.
典型例题
例 画出前面问题3中的函数 的图象.
(3)连线：将以上各点按照自变量由小到大的顺序用平滑曲线连接，就得到了 的图象.
知识点1 函数的图象及画法
1. 下列曲线中不能表示是 的函数的是( )
C
A. B. C. D.
返回
2. 如图是 市某一天的气温随时间
变化的情况，则这天的温差
（最高气温与最低气温的差）是
( )
C
A. B.
C. D.
返回
3. 在如图所示的平面直角坐标系中画出函数
的图象并回答问题.
（1）列表:
… 0 1 …
… …
1
（2）描点并连线:
【解】如图所示.
（3）判断点， ，
是否在函数 的图象上.
当 时，
；
当时， ；
当时， .
所以点,不在函数 的图象
上，点 在其图象上.
返回
知识点2 用函数图象表示实际情境
4. ［2024江西］将常温中的温度计插入一杯 的热水
（恒温）中，温度计的读数与时间 的关系用图象
可近似表示为( )
C
A. B. C. D.
返回
5. ［2024武汉］如图，一个圆柱体水槽底部叠放两个底面半
径不等的实心圆柱体，向水槽匀速注水.下列图象能大致反映
水槽中水的深度与注水时间 的函数关系的是( )
D
A. B. C. D.
返回
6. ［2024南通］甲、乙两人沿相同路线由
地到 地匀速前进，两地之间的路程为
.两人前进路程（单位： ）与甲的
前进时间（单位： ）之间的对应关系如图
所示.根据图象信息，下列说法正确的是
( )
D
A. 甲比乙晚出发 B. 乙全程共用
C. 乙比甲早到地 D. 甲的速度是
函数的表示方法2
1. 列表：列表给出自变量与函数的一些对应值.
由函数表达式画图象，一般按下列步骤进行：
3. 连线：按照自变量的大小顺序，把所描各点用平
滑曲线依次连接起来.
2. 描点：以表中各组对应值为坐标，在坐标平面内描出
相应的点.
函数的表示方法2
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