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【2025新教材】沪科版数学 八年级上册
第12章 函数与一次函数
12.2.3一次函数表达式的求法
1
2
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通过观察一次函数图象，掌握一次函数的性质；
能灵活运用一次函数的图象与性质解答有关问题；
通过类比对正比例函数性质的探究，归纳出一次函数的性质，提高类比、概括能力.
12.2.3 一次函数表达式的求法 教学课件
一、教学基本信息
- 学科：初中数学
- 学段：八年级上册
- 课时：1课时（45分钟）
- 核心素养目标：
数学抽象：通过实例理解“待定系数法”的本质，抽象出求一次函数表达式的一般步骤。
- 数学运算：能运用待定系数法，根据不同条件（两点坐标、图象信息、实际情境）求出一次函数表达式，提升代数运算能力。
- 直观想象：结合一次函数图象特征，将图象信息转化为代数条件，深化数形结合思想。
- 数学建模：能从实际问题中提取一次函数关系，通过求表达式解决问题，强化建模意识。
教学重难点：
重点：掌握用“待定系数法”求一次函数表达式的一般步骤，能根据两点坐标求函数表达式。
难点：根据图象信息（如与坐标轴交点、平移关系）或实际情境提炼出求表达式所需的条件，灵活运用待定系数法。
教学准备：多媒体课件、方格纸、直尺、一次函数图象卡片。
二、教学过程设计
（一）复习回顾，情境导入（5分钟）
1. 旧知梳理：
提问1：“一次函数的一般形式是什么？”（引导学生回答：y=kx+b，其中k、b为常数，k≠0）提问2：“确定一个正比例函数y=kx（k≠0）的表达式，需要几个条件？”（学生回答：1个条件，如一个点的坐标）追问：“那确定一个一次函数y=kx+b（k≠0）的表达式，需要几个条件呢？”（引发思考，引出课题）
2. 情境激趣：
课件展示：某奶茶店推出新品，购买1杯奶茶需12元，购买3杯奶茶需32元（含打包费）。若购买x杯奶茶的总费用为y元，y是x的一次函数，你能写出y与x的函数表达式吗？学生困惑后，教师引导：“要确定y=kx+b，关键是找到k和b的值，这就需要用到今天我们要学习的方法——待定系数法。”引出课题：12.2.3 一次函数表达式的求法。
（二）探究新知：待定系数法的概念与步骤（10分钟）
活动1：理解待定系数法的本质
以“已知一次函数y=kx+b经过点(1,3)和(2,5)，求表达式”为例，引导学生思考：
1. 问题1：点在函数图象上，意味着什么？（点的坐标满足函数表达式，即当x=1时y=3，x=2时y=5）
2. 问题2：如何求出k和b的值？（将两个点的坐标代入表达式，得到关于k、b的二元一次方程组，解方程组即可）
教师总结：这种先设出函数表达式（含待定系数k、b），再根据已知条件列出方程（组），求出待定系数的方法，叫做待定系数法。
活动2：归纳待定系数法的步骤
结合上述实例，师生共同梳理用待定系数法求一次函数表达式的一般步骤：
1. 第一步：设——设出一次函数的一般表达式：y=kx+b（k≠0）；
2. 第二步：代——将已知条件（如点的坐标）代入表达式，得到关于k、b的二元一次方程组；
3. 第三步：解——解方程组，求出k、b的值；
4. 第四步：写——将k、b的值代入所设表达式，写出一次函数的具体表达式。
简记步骤：设→代→解→写，核心是通过“两个条件”列“二元一次方程组”，求出k和b。
（三）应用新知：不同情境下求一次函数表达式（20分钟）
类型1：已知两点坐标，求一次函数表达式（基础题型）
例1：已知一次函数的图象经过点A(-1,2)和点B(3,-2)，求该一次函数的表达式。
1. 师生共解，规范步骤：
① 设：设该一次函数的表达式为y=kx+b（k≠0）；② 代：将A(-1,2)、B(3,-2)代入表达式，得：
{-k + b = 2
3k + b = -2③ 解：用减法消元，第二个方程减第一个方程：4k = -4 → k = -1；将k=-1代入-k + b = 2，得1 + b = 2 → b = 1；④ 写：该一次函数的表达式为y=-x+1。
2. 即时练习：已知一次函数经过(0,4)和(2,1)，求其表达式。（学生独立完成，教师巡视指导，集体订正）
类型2：已知图象信息，求一次函数表达式（数形结合）
例2：如图，一次函数的图象与x轴交于点A(3,0)，与y轴交于点B(0,-3)，求该函数的表达式。
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1. 分析：图象与坐标轴的交点坐标就是函数经过的点，直接代入即可。
2. 学生解答：设y=kx+b，代入(3,0)和(0,-3)，得{3k + b = 0, b = -3}，解得k=1，b=-3，表达式为y=x-3。
例3：已知一次函数的图象与直线y=2x+1平行，且经过点(1,4)，求该一次函数的表达式。
1. 关键提示：两直线平行，k值相等（回顾上节课性质）。
2. 师生共解：
① 设：∵ 图象与y=2x+1平行，∴ k=2，设表达式为y=2x+b；② 代：将(1,4)代入，得2×1 + b = 4 → b=2；③ 写：表达式为y=2x+2。
类型3：已知实际情境，求一次函数表达式（建模应用）
例4：回归导入问题：某奶茶店购买1杯奶茶需12元，购买3杯奶茶需32元（含打包费）。设购买x杯奶茶的总费用为y元，y是x的一次函数，求y与x的函数表达式，并计算购买5杯奶茶的总费用。
1. 分析：“购买1杯需12元”即x=1时y=12；“购买3杯需32元”即x=3时y=32，转化为两点坐标(1,12)和(3,32)。
2. 学生独立解答：
设y=kx+b，代入得{k + b = 12, 3k + b = 32}，解得k=10，b=2，表达式为y=10x+2；当x=5时，y=10×5+2=52（元）。
3. 追问：b=2的实际意义是什么？（引导学生回答：打包费2元，k=10是每杯奶茶的单价）
类型4：已知增减性与一个条件，求一次函数表达式（综合应用）
例5：已知一次函数y=kx+b（k≠0），y随x的增大而减小，且经过点(0,5)和(m,3)，其中m>0，求该函数表达式（用含m的式子表示），并写出k的取值范围。
1. 分析：过(0,5)得b=5；y随x增大而减小得k<0；代入(m,3)求k。
2. 解答：代入(0,5)得b=5，表达式为y=kx+5；代入(m,3)得km+5=3 → k=-2/m；∵ m>0，∴ k=-2/m<0，符合条件，故表达式为y=(-2/m)x+5，k<0。
（四）易错点辨析与方法总结（5分钟）
1. 易错点提醒
- 忘记“k≠0”的前提：如求出k=0时，需说明不是一次函数；
- 代入点的坐标时符号错误：如将(-1,2)代入时写成“-1k + 2 = b”，混淆x和y的对应关系；
- 解方程组计算失误：加减消元或代入消元时粗心，导致k、b值错误；
- 忽略实际情境中自变量的取值范围：如人数、重量等不能为负数。
2. 方法总结
求一次函数表达式的核心是“找两个独立条件”，不同情境条件的转化方式：
情境类型
条件转化方式
已知两点
直接将两点坐标代入y=kx+b
已知图象
提取图象上两个点的坐标（如与坐标轴交点）
已知与某直线平行
平行→k值相等，再结合一个点的坐标
实际情境
将“数量关系”转化为“x、y的对应值”（即点的坐标）
（五）课堂小结：梳理知识，深化理解（2分钟）
1. 学生总结：请学生用自己的话说说待定系数法的步骤及应用时的注意事项。
2. 教师梳理：
1. 核心方法：待定系数法（设→代→解→写）；2. 关键条件：两个独立条件确定一次函数（k、b两个未知数）；3. 思想核心：数形结合（图象→坐标→表达式）、建模思想（实际问题→函数关系）。
（六）布置作业：分层设计，学以致用（3分钟）
基础作业（必做）
1. 已知一次函数经过点(2,7)和(-1,1)，求其表达式。
2. 一次函数的图象过点(0,-4)，且与直线y=3x平行，求该函数表达式。
3. 某出租车的收费标准：起步价8元（行驶距离不超过3千米），超过3千米后，每千米收费2元（不足1千米按1千米计算）。设行驶距离为x千米，车费为y元，写出y与x的函数表达式（x≥0）。
拓展作业（选做）
1. 已知一次函数y=kx+b的图象与x轴交于(4,0)，且当x=2时y=6，求该函数表达式，并判断点(1,9)是否在该函数图象上。
2. 某工厂生产一种零件，固定成本为2000元，每个零件的生产成本为3元，每个零件的售价为5元，设生产并销售x个零件的利润为y元，求y与x的函数表达式，并计算当利润为1000元时生产的零件数量。
三、板书设计
12.2.3 一次函数表达式的求法
一、核心方法：待定系数法
步骤：设→代→解→写
1. 设：y=kx+b（k≠0）
2. 代：代入两点坐标→方程组
3. 解：解方程组求k、b
4. 写：写出表达式
二、常见情境与条件转化
1. 已知两点→直接代坐标
2. 图象信息→找交点坐标
3. 与直线平行→k值相等
4. 实际情境→转x、y对应值
三、例题示范
例1：过A(-1,2)、B(3,-2)
解：设y=kx+b → {-k+b=2, 3k+b=-2} → k=-1,b=1 → y=-x+1
四、易错点：符号、k≠0、计算准确
四、教学反思（课后填写）
- 学生对“两个独立条件确定一次函数”的理解是否到位？是否能在不同情境中准确找到条件？
- 在解二元一次方程组时，学生的计算准确率如何？是否需要额外强化消元法的练习？
- 对于实际情境问题，学生是否能顺利将“文字描述”转化为“x、y的对应关系”？
我们在正比例函数的学习中，由函数解析式y=kx(k为常数，且k≠0)得到了它的哪些性质？
y=kx 图象 经过象限 增减性
k＞0
k＜0
y 随x 的增大而增大
y 随x 的增大而减小
思考：一次函数是否也有这种性质呢？
第一、三象限
第二、四象限
推进新课
已知一次函数y=3x+1，y=2x－3，y= x+4.
探究1：
(1)列出x，y的对应值表，当自变量x的值增大时，函数值y是增大还是减小？
x … 0 1 …
y=3x+1 … 1 4 …
y=2x－3 … －3 －1 …
y= x+4 … 4 …
当k>0时，自变量x逐渐增大时，y的值也随着逐渐增大.
x … 0 1 …
y=3x+1 … 1 4 …
y=2x－3 … －3 －1 …
y= x+4 … 4 …
(2) 画出图象，从图象上看，直线从左到右是上升还是下降？
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y 3x+1
y 2x－3
y= x+4
当k＞0时，y随x的增大而增大（图象是自左向右上升的）
图象从左向右呈上升趋势
用类似的方法，观察函数函数y=－3x－1，y=－2x+3，y= －x－4图象的变化趋势，你有什么发现？
探究2：
x … 0 1 …
y=－3x－1 … －1 －4 …
y=－2x+3 … 3 1 …
y= －x－4 … －4 － …
O
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y －3x－1
y －2x+3
y=－x－4
当k＜0时，y随x的增大而减小（图象是自左向右下降的）
|k|的大小对一次函数y=kx+b(k，b为常数，且k≠0)的图象有什么影响？
探究3：
|k|越大，y随x的增大而增大(或减小)的速度越快.
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y 3x+1
y 2x－3
y= x+4
y －3x－1
y －2x+3
y=－x－4
归纳：
当k>0时，y随x的增大而增大(图象是自左向右上升的)；
当k<0时，y随x的增大而减小(图象是自左向右下降的)；
|k|越大，y随x的增大而增大(或减小)的速度越快.
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y 3x+1
y 2x－3
y= x+4
y －3x－1
y －2x+3
y=－x－4
一次函数y=kx+b(k，b为常数，且k≠0）的图象与k，b的取值有什么关系？
思考：
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y 3x+1
y 2x－3
y= x+4
当k＞0时，y随x的增大而增大，图象自左向右上升，经过的象限中必有第一、三象限；
k＞0
一次函数y=kx+b(k，b为常数，且k≠0）的图象与k，b的取值有什么关系？
思考：
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y －3x－1
y －2x+3
y=－x－4
当k＜0时，y随x的增大而减小，图象自左向右下降，经过的象限中必有第二、四象限；
k＜0
一次函数y=kx+b(k，b为常数，且k≠0）的图象与k，b的取值有什么关系？
思考：
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y 3x+1
y= x+4
y －2x+3
当b＞0时，图象与y轴正半轴相交；
b＞0
一次函数y=kx+b(k，b为常数，且k≠0）的图象与k，b的取值有什么关系？
思考：
O
x
y
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y 2x－3
y －3x－1
y=－x－4
当b＜0时，图象与y轴负半轴相交.
b＜0
归纳：
一次函数y=kx+b k＞0 b＞0 b＜0 b=0
图象
与y轴交点位置
经过的象限
性质 正半轴
负半轴
原点
第一、二、三象限
第一、三、四象限
第一、三象限
y的值随着x值的增大而增大
一次函数的图象与性质
归纳：
一次函数y=kx+b k＜0 b＞0 b＜0 b=0
图象
与y轴交点位置
经过的象限
性质 正半轴
负半轴
原点
第一、二、四象限
第二、三、四象限
第二、四象限
y的值随着x值的增大而减小
一次函数的图象与性质
练一练
已知一次函数 y=(1－2m)x+m－1，求满足条件的m的值：
(1) 函数值y 随x的增大而增大；
(2)函数图象与y 轴的负半轴相交；
(3)函数的图象过第二、三、四象限.
k>0
k≠0，b<0
k<0，b<0
解：(1)由题意得1－2m>0，解得m<.
(2)由题意得1－2m≠0且m－1<0，即m<1，m≠.
(3)由题意得1－2m<0且m－1<0，解得随堂练习
【教材P41 练习 T1】
1. 填空：
(1)对于函数у=7x，y随x的增大而______；
(2)对于函数у=一2x+3，y随x的增大而______.
增大
减小
【教材P41 练习 T2】
2.已知一次函数y=(2m+1)x+5(m为常数)，若y随x的增大而增大，求m的取值范围.
解：由题意得2m+1＞0，解得m＞－.
【教材P41 练习 T3】
3.直线y=－2x+3经过点A(x1，y1)和B(x2，y2)，当x1＞ x2时， y1与y2哪个大？
解：对于函数y=－2x+3，y随x的增大而减小，当x1＞ x2时， y1＜y2.
知识点1 用待定系数法求一次函数的表达式
（第1题）
1. ［2025六安校级期末］一次函数
的图象如图所示，则这个函数的
表达式为( )
C
A. B.
C. D.
返回
（第2题）
2. 象棋起源于中国，
中国象棋文化历史悠久.如图所示是某
次对弈的残图，如果建立平面直角坐
标系，使棋子“帅”位于点 的
位置，则在同一坐标系下，图象经过
A
A. B.
C. D.
棋子“帅”和“马”所在的点的一次函数表达式为( )
返回
知识点2 利用图象变换求一次函数的表达式
3. 若三点，，在同一直线上，则 的值等于
( )
C
A. B. 0 C. 3 D. 4
返回
4. 生物学研究表明，某种蛇在一定生长
阶段，其体长是尾长 的一次函数，部分数据如下
表所示，则与 之间的关系式为( )
尾长 6 8 10
体长 45.5 60.5 75.5
A
A. B.
C. D.
返回
5. 在弹性限度内，弹簧的长度 是所挂物
体质量的一次函数.一根弹簧不挂物体时长 ，当
所挂物体的质量为时，弹簧长 .当所挂物体的质量
为时，弹簧的长度为____ .
15
【点拨】设与的函数表达式为 ，由题意，
得解得故与 之间的表达式为
，所以当时， .
返回
6. 一次函数的图象经过点，每当 增加1个
单位长度时， 增加3个单位长度，则此函数图象向上平移2
个单位长度得到的图象对应的函数表达式是( )
D
A. B.
C. D.
返回
7. ［2025西安高新一中月考］在平面直角坐标系中有两条直
线，，直线所对应的函数表达式为 ，如果将
坐标纸折叠，使与重合，此时点与点 也重合，
则直线 所对应的函数表达式为( )
C
A. B.
C. D.
返回
课堂小结
一次函数y=kx+b k＞0 b＞0 b＜0 b=0
图象
与y轴交点位置
经过的象限
性质 正半轴
负半轴
原点
第一、二、三象限
第一、三、四象限
第一、三象限
y的值随着x值的增大而增大
课堂小结
一次函数y=kx+b k＜0 b＞0 b＜0 b=0
图象
与y轴交点位置
经过的象限
性质 正半轴
负半轴
原点
第一、二、四象限
第二、三、四象限
第二、四象限
y的值随着x值的增大而减小
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