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【2025新教材】沪科版数学 八年级上册
第12章 函数与一次函数
12.2.4待定系数法确定一次函数
1
2
3
认识待定系数法，了解待定系数法求函数解析式的一般步骤；
能够结合一次函数的性质及图象，灵活运用待定系数法求出一次函数解析式；
通过一次函数图象和性质的研究，体会数形结合在解决问题中的作用.
12.2.4 待定系数法确定一次函数 教学课件
一、教学基本信息
- 学科：初中数学
- 学段：八年级上册
- 课时：1课时（45分钟）
- 核心素养目标：
数学抽象：通过实例理解“待定系数法”的本质，抽象出求一次函数表达式的一般步骤。
- 数学运算：能运用待定系数法，根据不同条件（两点坐标、图象信息、实际情境）求出一次函数表达式，提升代数运算能力。
- 直观想象：结合一次函数图象特征，将图象信息转化为代数条件，深化数形结合思想。
- 数学建模：能从实际问题中提取一次函数关系，通过求表达式解决问题，强化建模意识。
教学重难点：
重点：掌握用“待定系数法”求一次函数表达式的一般步骤，能根据两点坐标求函数表达式。
难点：根据图象信息（如与坐标轴交点、平移关系）或实际情境提炼出求表达式所需的条件，灵活运用待定系数法。
教学准备：多媒体课件、方格纸、直尺、一次函数图象卡片。
二、教学过程设计
（一）复习回顾，情境导入（5分钟）
1. 旧知梳理：
提问1：“一次函数的一般形式是什么？”（引导学生回答：y=kx+b，其中k、b为常数，k≠0）提问2：“确定一个正比例函数y=kx（k≠0）的表达式，需要几个条件？”（学生回答：1个条件，如一个点的坐标）追问：“那确定一个一次函数y=kx+b（k≠0）的表达式，需要几个条件呢？”（引发思考，引出课题）
2. 情境激趣：
课件展示：某奶茶店推出新品，购买1杯奶茶需12元，购买3杯奶茶需32元（含打包费）。若购买x杯奶茶的总费用为y元，y是x的一次函数，你能写出y与x的函数表达式吗？学生困惑后，教师引导：“要确定y=kx+b，关键是找到k和b的值，这就需要用到今天我们的核心内容——待定系数法确定一次函数。”引出课题：12.2.4 待定系数法确定一次函数。
（二）核心探究：待定系数法的原理与步骤（10分钟）
活动1：剖析待定系数法的核心原理
以“已知一次函数y=kx+b经过点(1,3)和(2,5)，求表达式”为例，引导学生思考：
1. 问题1：点在函数图象上，意味着什么？（点的坐标满足函数表达式，即当x=1时y=3，x=2时y=5）
2. 问题2：如何求出k和b的值？（将两个点的坐标代入表达式，得到关于k、b的二元一次方程组，解方程组即可）
教师总结：这种先设出一次函数的一般形式（含待定系数k、b），再根据已知条件列出方程（组），求出待定系数的方法，就是我们确定一次函数的核心方法——待定系数法。其本质是“用方程思想解决函数系数求解问题”，因为一次函数有两个待定系数，所以需要两个独立条件建立方程组。
活动2：提炼待定系数法确定一次函数的步骤
结合上述实例，师生共同梳理用待定系数法求一次函数表达式的一般步骤：
1. 第一步：设——设出一次函数的一般表达式：y=kx+b（k≠0）；
2. 第二步：代——将已知条件（如点的坐标）代入表达式，得到关于k、b的二元一次方程组；
3. 第三步：解——解方程组，求出k、b的值；
4. 第四步：写——将k、b的值代入所设表达式，写出一次函数的具体表达式。
简记步骤：设→代→解→写，核心是通过“两个条件”列“二元一次方程组”，求出k和b。
（三）实践应用：待定系数法的多样场景（20分钟）
类型1：已知两点坐标，求一次函数表达式（基础题型）
例1：已知一次函数的图象经过点A(-1,2)和点B(3,-2)，求该一次函数的表达式。
1. 师生共解，规范步骤：
① 设：设该一次函数的表达式为y=kx+b（k≠0）；② 代：将A(-1,2)、B(3,-2)代入表达式，得：
{-k + b = 2
3k + b = -2③ 解：用减法消元，第二个方程减第一个方程：4k = -4 → k = -1；将k=-1代入-k + b = 2，得1 + b = 2 → b = 1；④ 写：该一次函数的表达式为y=-x+1。
2. 即时练习：已知一次函数经过(0,4)和(2,1)，求其表达式。（学生独立完成，教师巡视指导，集体订正）
类型2：已知图象信息，求一次函数表达式（数形结合）
例2：如图，一次函数的图象与x轴交于点A(3,0)，与y轴交于点B(0,-3)，求该函数的表达式。
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1. 分析：图象与坐标轴的交点坐标就是函数经过的点，直接代入即可。
2. 学生解答：设y=kx+b，代入(3,0)和(0,-3)，得{3k + b = 0, b = -3}，解得k=1，b=-3，表达式为y=x-3。
例3：已知一次函数的图象与直线y=2x+1平行，且经过点(1,4)，求该一次函数的表达式。
1. 关键提示：两直线平行，k值相等（回顾上节课性质）。
2. 师生共解：
① 设：∵ 图象与y=2x+1平行，∴ k=2，设表达式为y=2x+b；② 代：将(1,4)代入，得2×1 + b = 4 → b=2；③ 写：表达式为y=2x+2。
类型3：已知实际情境，求一次函数表达式（建模应用）
例4：回归导入问题：某奶茶店购买1杯奶茶需12元，购买3杯奶茶需32元（含打包费）。设购买x杯奶茶的总费用为y元，y是x的一次函数，求y与x的函数表达式，并计算购买5杯奶茶的总费用。
1. 分析：“购买1杯需12元”即x=1时y=12；“购买3杯需32元”即x=3时y=32，转化为两点坐标(1,12)和(3,32)。
2. 学生独立解答：
设y=kx+b，代入得{k + b = 12, 3k + b = 32}，解得k=10，b=2，表达式为y=10x+2；当x=5时，y=10×5+2=52（元）。
3. 追问：b=2的实际意义是什么？（引导学生回答：打包费2元，k=10是每杯奶茶的单价）
类型4：已知增减性与一个条件，求一次函数表达式（综合应用）
例5：已知一次函数y=kx+b（k≠0），y随x的增大而减小，且经过点(0,5)和(m,3)，其中m>0，求该函数表达式（用含m的式子表示），并写出k的取值范围。
1. 分析：过(0,5)得b=5；y随x增大而减小得k<0；代入(m,3)求k。
2. 解答：代入(0,5)得b=5，表达式为y=kx+5；代入(m,3)得km+5=3 → k=-2/m；∵ m>0，∴ k=-2/m<0，符合条件，故表达式为y=(-2/m)x+5，k<0。
（四）归纳提升：易错点与方法体系（5分钟）
1. 易错点提醒
- 忘记“k≠0”的前提：如求出k=0时，需说明不是一次函数；
- 代入点的坐标时符号错误：如将(-1,2)代入时写成“-1k + 2 = b”，混淆x和y的对应关系；
- 解方程组计算失误：加减消元或代入消元时粗心，导致k、b值错误；
- 忽略实际情境中自变量的取值范围：如人数、重量等不能为负数。
2. 待定系数法确定一次函数的方法体系
求一次函数表达式的核心是“找两个独立条件”，不同情境条件的转化方式：
情境类型
条件转化方式
已知两点
直接将两点坐标代入y=kx+b
已知图象
提取图象上两个点的坐标（如与坐标轴交点）
已知与某直线平行
平行→k值相等，再结合一个点的坐标
实际情境
将“数量关系”转化为“x、y的对应值”（即点的坐标）
（五）课堂小结：梳理知识，深化理解（2分钟）
1. 学生总结：请学生用自己的话说说待定系数法的步骤及应用时的注意事项。
2. 教师梳理：
1. 核心方法：待定系数法（设→代→解→写）；2. 关键条件：两个独立条件确定一次函数（k、b两个未知数）；3. 思想核心：数形结合（图象→坐标→表达式）、建模思想（实际问题→函数关系）。
（六）布置作业：分层设计，学以致用（3分钟）
基础作业（必做）
1. 已知一次函数经过点(2,7)和(-1,1)，求其表达式。
2. 一次函数的图象过点(0,-4)，且与直线y=3x平行，求该函数表达式。
3. 某出租车的收费标准：起步价8元（行驶距离不超过3千米），超过3千米后，每千米收费2元（不足1千米按1千米计算）。设行驶距离为x千米，车费为y元，写出y与x的函数表达式（x≥0）。
拓展作业（选做）
1. 已知一次函数y=kx+b的图象与x轴交于(4,0)，且当x=2时y=6，求该函数表达式，并判断点(1,9)是否在该函数图象上。
2. 某工厂生产一种零件，固定成本为2000元，每个零件的生产成本为3元，每个零件的售价为5元，设生产并销售x个零件的利润为y元，求y与x的函数表达式，并计算当利润为1000元时生产的零件数量。
三、板书设计
12.2.4 待定系数法确定一次函数
一、核心方法：待定系数法
原理：两待定系数（k、b）→ 需两个独立条件→ 列方程组求解
步骤：设→代→解→写
1. 设：y=kx+b（k≠0，明确一次函数前提）
2. 代：代入条件→建立关于k、b的方程组
3. 解：用消元法求解方程组
4. 写：代入k、b得一次函数表达式
二、条件转化场景（核心：找两个独立条件）
1. 已知两点坐标→直接代坐标
2. 已知函数图象→提取交点坐标
3. 已知平行关系→k值相等+一个点坐标
4. 实际问题→数量关系转化为x、y对应值
三、例题示范（规范步骤）
例1：过A(-1,2)、B(3,-2)
解：①设：y=kx+b（k≠0）
②代：{-k+b=2, 3k+b=-2}
③解：两式相减得4k=-4→k=-1，代入得b=1
④写：y=-x+1
四、关键提醒：k≠0、符号准确、计算无误
四、教学反思（课后填写）
- 学生对“两个独立条件确定一次函数”的理解是否到位？是否能在不同情境中准确找到条件？
- 在解二元一次方程组时，学生的计算准确率如何？是否需要额外强化消元法的练习？
- 对于实际情境问题，学生是否能顺利将“文字描述”转化为“x、y的对应关系”？
前面我们学习了一次函数及其图象和性质，你能写出一个具体的一次函数解析式吗？如何画出它的图象？
y = x+2
“两点法”
y= x+2
函数解析式y=kx+b
满足条件的两定点(x1，y1)与(x2，y2)
一次函数的图象直线l
前面我们学习了一次函数及其图象和性质，你能写出一个具体的一次函数解析式吗？如何画出它的图象？
选取
画出
思考：
反过来，已知一个一次函数的图象经过两个具体的点，你能求出它的解析式吗？
推进新课
例4 已知某一次函数，当自变量x=4时，函数值у=5；当自变量x=5时，函数值y=2．求出该函数的表达式，并画出它的图象.
关键：根据已知条件确定表达式y=kx+b中的系数k和b的值.
因为当x=4时，y=5；当x=5时，y=2；
所以(4，5)与(5，2)这两点的坐标必适合解析式.
例4 已知某一次函数，当自变量x=4时，函数值у=5；当自变量x=5时，函数值y=2．求出该函数的表达式，并画出它的图象.
解：因为 y 是 x 的一次函数，所以设其表达式为 y = kx + b (k，b为常数，且b≠0) .
由题意得，
4k+b=5，
5k+b=2.
解方程组得
k=－3，
b=17.
所以该函数的表达式为 y=－3x+17.
其图象如图所示.
(4，5)
(5，2)
给两点可以确定一次函数的解析式，一点可以吗？更多点呢？
思考：
从几何角度来看：
一点不够，因为两点确定一条直线.
两个及以上都可以，但是两点足够.
从代数角度来看：
一次函数的解析式中含有k，b两个待定系数，因此需要两个点的坐标，列两个方程，即得二元一次方程组.
待定系数法
先设所求的一次函数表达式为y=kx+b(k，b是待确定的系数)，再根据已知条件列出关于k，b的方程组，求得k，b的值，这种确定表达式中系数的方法，叫作待定系数法.
用待定系数法求一次函数解析式的步骤：
1
2
3
4
设：
设一次函数的一般形式 ；
y=kx+b(k≠0)
代：
将图象上的点(x1，y1)，(x2，y2)代入一次函数的解析式，组成关于系数k，b的 方程组；
二元一次
解：
解二元一次方程组得k，b；
写：
把k，b代入所设解析式中，写出解析式.
通过前面的学习，我们知道了函数解析式和图象可以相互转化.
函数解析式y=kx+b
满足条件的两定点(x1，y1)与(x2，y2)
一次函数的图象直线l
选取
画出
选取
解出
从数到形
从形到数
数学的基本思想方法：
数形结合
练一练
1.已知一次函数 y = kx + 5 的图象经过点 (-1，2)，
则 k =______.
2.已知函数 y = 2x + b 的图像经过点 (a，7)和 (-2，a)，则这个函数的表达式为__________.
3
y = 2x + 5
－1×k+5=2
2a+b=7
2×(－2)+b=a
a=1
b=5
3.已知一次函数，当1≤x≤4时， 2≤y≤1，求这个一次函数的解析式.
分析：由于函数的增减情况未知，此题需分两种情况讨论.
解：(1)当k＞0时，即x=1时，y=－2；x=4时，y=1.
解得k=1，b=－3. 所以 y=x－3.
综上：这个一次函数的解析式为y=x－3或y=－x+2.
由题意得，
k+b=－2，
4k+b=1.
(2)当k＜0时，即x=1时，y=1；x=4时，y=－2.
由题意得，
k+b=1，
4k+b=－2.
解得k=－1，b=2. 所以 y=－x+2.
随堂练习
【教材P42 练习 T1】
1.已知函数y=ax+b(a，b为常数)，当x=－2时，y=2；当x=2时，y=6. 求a和b的值.
解：将x=－2，y=2和x=2，y=6分别代入y=ax+b得
－2a+b=2，
2a+b=6.
解方程组得
a=1，
b=4.
【教材P42 练习 T2】
2.已知一次函数的图象如图所示，根据图象求此一次函数的表达式。
解：因为 y 是 x 的一次函数，所以设其表达式为 y = kx + b (k，b为常数，且b≠0) .
即
b=－1，
－2k+b=0.
解方程组得
k=－，
b=－1.
所以该函数的表达式为 y=－ x－1.
由图像可知，当x=0时，y=－1；x=－2时，y=0.
【教材P42 练习 T3】
3.已知一次函数的图象经过点P(－2，3)，且与直线у=－x平行，求这个函数的表达式.
解：因为 y 是 x 的一次函数，所以设其表达式为 y = kx + b (k，b为常数，且b≠0) .
由题意可得k=－，所以y=－x+b.
又因为直线y=－x+b经过点P(－2，3)，
所以3=－×(－2)+b，解得b=2.
所以该函数的表达式为 y=－ x+2.
3. 西递宏村位于安徽省黄山市黟县，是
世界文化遗产，也是国家 级旅游景区.刘师傅驾车从家到西
递宏村游玩，汽车出发前油箱中有油 ，行驶若干小时后，
途中在加油站加油若干升.刘师傅出发后，油箱中剩余油量
与行驶时间 之间的关系如图所示，则下列说法不正
确的是 ( )
D
（第3题）
A. 点表示的实际意义是汽车行驶 后，油箱
中剩余油量为
B. 刘师傅驾车途中在加油站加油
C. 加油前油箱中剩余油量与行驶时间 之间的
函数关系式为
D. 若家距目的地 ，汽车行驶的平均速度
为 ，则油箱中的油足够汽车到达目的地
返回
4. ［2024淄博］某日，甲、乙两人相约在一
条笔直的健身道路上锻炼.两人都从A地匀速
出发，甲健步走向B地.途中偶遇一位朋友，
①甲、乙两人第一次相遇时，乙的锻炼用时为 ；②甲
出发时，甲、乙两人之间的距离达到最大值 ；
③甲、乙两人第二次相遇的时间是在甲出发后； ，
B两地之间的距离是 .其中正确的结论有 ( )
B
A. ①②③ B. ①②④ C. ①③④ D. ②③④
驻足交流 后，继续以原速步行前进；
乙因故比甲晚出发 ，跑步到达B地后立
刻以原速返回，在返回途中与甲第二次相遇.
下图表示甲、乙两人之间的距离 与甲出
发的时间 之间的函数关系，那么以下
结论：
【点拨】由题图可知，当 时，
，即甲出发 时，甲、乙两人
第一次相遇，乙的锻炼用时为
.故①正确；
由题图可知，当时，取得最大值 ，即甲出发
时，两人之间的距离达到最大值 .故②正确；
因为两人第一次相遇时，甲用时，乙用时 ，
所以乙的速度是甲的速度的2倍.
设甲的速度为 ，则乙的速度为
.
由题图，得 .解
得 .
所以甲、乙两人第二次相遇的时间是在甲
出发后 .故③错误；
A,B两地之间的距离为
.
故④正确.故选B.
返回
5.兄妹俩放学后沿图①中的马路从学校出发,到书吧看书后回
家，哥哥步行先出发，途中速度保持不变；妹妹骑车，到书
吧前的速度为200米/分，图②中的图象分别表示两人离学校
的路程（米）与哥哥离开学校的时间 （分）的函数关系.
（1）求哥哥的速度.
【解】哥哥的速度为 （米/分） .
（2）已知妹妹比哥哥迟2分到书吧.
①图中 的值为___.
【点拨】因为妹妹骑车到书吧前的速度为200米/分，
所以妹妹从出发到书吧所用时间为 （分）.
因为妹妹比哥哥迟2分到书吧，所以 .
②妹妹在书吧待了10分后回家,速度是哥哥的1.6倍,能否在哥
哥到家前追上哥哥 若能，求追上时兄妹俩离家还有多远;若
不能,请说明理由．
能，由（1）可知哥哥的速度为100米/分,
所以设所在直线的表达式为，将 的
坐标代入得，解得.所以 所在
直线的表达式为 .
当时， .
因为回家时妹妹的速度是哥哥的1.6倍，所以妹妹的速度是
160米/分.所以设妹妹回家时与 对应的函数表达式为
，根据题意得的坐标为.将
的坐标代入,得 ，解得
,所以 .
令,解得 ,
所以妹妹能在哥哥到家前追上哥哥，
此时哥哥离学校的路程为
（米）.
兄妹俩离家还有 （米）.
返回
课堂小结
用待定系数法求一次函数解析式的步骤：
①设:设一次函数的一般形式 y=kx+b (k≠0) ；　
②代：将图象上的点(x1，y1)，(x2，y2)代入一次函数的解析式，组成关于系数k，b的二元一次方程组；
③解：解二元一次方程组得k，b；　
④写：把k，b代入所设解析式中，写出解析式.
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