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(共23张PPT)
【2025新教材】沪科版数学 八年级上册
第12章 函数与一次函数
12.2.5分段函数
1.了解简单的分段函数，并能运用分段函数求函数值的问题.
2.能作出分段函数的图象，利用它解决生活中的简单应用问题.
3.经历在分析、思考的基础上，让学生通过观察、感悟分段函数的意义过程，加深对分段函数概念、图象的认识，提高分析、解决问题的能力.
4.通过从实际问题中得到函数关系式这一过程，提升学生的数学应用能力，使学生在探索过程中体验成功的喜悦，树立学习的自信心.
一、教学基本信息
授课对象：高一学生（已掌握函数基本概念、表示法及一次函数性质）
核心目标：1. 理解分段函数的定义，明确其“一个函数”的本质；2. 会写简单分段函数解析式、画图像、求函数值；3. 体会分类讨论与数形结合思想，提升数学建模能力。
教学重难点：重点为分段函数的概念及图像绘制；难点为从实际问题中抽象分段函数解析式。
教学准备：PPT课件、几何画板、学生课前收集的电费/出租车费缴费单。
二、教学过程设计（45分钟）
环节一：情境导入，感知“分段”（5分钟）
1. 生活实例分享：请2-3名学生展示课前收集的电费单，提问“电费金额与用电量的关系是怎样的？为什么有的月份电费单价好像不一样？”引导学生发现“用电量不同，计费标准不同”的规律。
2. 问题聚焦：呈现具体问题——某地出租车收费标准：3km内（含3km）收费10元；超过3km，每增加1km收费2元（不足1km按1km计）。设行驶路程为x km，收费为y元。
当x=2km时，y=？当x=5km时，y=？
3. 能用一个统一的解析式表示y与x的关系吗？
4. 引出课题：通过学生回答，明确“自变量不同范围对应不同解析式”的特征，引出本节课主题——分段函数。
设计意图：从学生熟悉的生活场景切入，打破“函数只有单一解析式”的思维定式，激发探究兴趣，为概念构建铺垫。
环节二：探究归纳，构建概念（10分钟）
1. 解析式推导：带领学生分组讨论出租车收费问题的解析式：
当02. 当x>3时，y=10+2(x-3)=2x+4（x取正实数，不足1km按1km计）。
3. 概念抽象：结合出租车问题与电费问题，引导学生归纳：“在自变量的不同取值范围内，函数由不同解析式给出，这种函数称为分段函数”。强调核心：分段函数是一个函数，而非多个函数，各段共同构成完整的函数关系。
4. 要素分析：以出租车收费函数为例，提问：
该函数的定义域是什么？（各段自变量取值范围的并集：x>0）
5. 值域呢？（当03时，y>10，故值域为y≥10）
6. 经典实例补充：介绍数学中常见的分段函数，用PPT展示：
绝对值函数：y=|x| = { x, x≥0；-x, x<0 }
7. 符号函数：y=sgnx = { 1, x>0；0, x=0；-1, x<0 }
设计意图：从具体问题到抽象概念，再到经典实例，层层递进，帮助学生精准把握分段函数的本质，突破“多个解析式=多个函数”的认知误区。
环节三：技能突破，深化理解（15分钟）
本环节通过“例题示范+学生实践”结合，聚焦三个核心技能：求函数值、画图像、写解析式。
1. 技能1：求分段函数值——“先判断范围，再代入计算”
例题1：已知分段函数f(x) = { 2x-1, x≤0；x +1, x>0 }，求f(-2)、f(0)、f(3)的值。
- 教师示范：求解f(-2)——先判断-2∈x≤0范围，代入2x-1得2×(-2)-1=-5；
- 学生独立完成：f(0)与f(3)的求解，指名板演，教师点评纠错，强调“先定位范围”的关键步骤。
2. 技能2：画分段函数图像——“分段作图，标注端点”
例题2：画出例题1中函数f(x)的图像。
1. 教师引导：明确画图步骤——①确定各段定义域；②画出每段对应的函数图像（一次函数/二次函数）；③标注端点：定义域内的端点画实心点，不属于定义域的画空心点。
2. 几何画板演示：分步画出x≤0时的直线2x-1（端点(0,-1)实心）和x>0时的抛物线x +1（端点(0,1)空心），让学生直观观察图像的“分段”特征。
3. 学生实践：在练习本上画出绝对值函数y=|x|的图像，同桌互查端点标注是否正确。
3. 技能3：实际问题建模——“找准分段点，写清对应关系”
例题3：回归电费问题，给出完整收费标准：每月用电量不超过100kW·h，按0.57元/kW·h计费；超过100kW·h，其中100kW·h按0.57元计费，超过部分按1.5元/kW·h计费。设用电量为x kW·h，电费为y元，写出y关于x的函数解析式。
- 小组讨论：重点分析“分段点”（x=100kW·h），分别推导x≤100和x>100时的解析式。
- 成果展示：指名小组板书，教师补充规范：
y = { 0.57x, 0≤x≤100；0.57×100 + 1.5(x-100), x>100 }，化简后为y = { 0.57x, 0≤x≤100；1.5x - 93, x>100 }
设计意图：技能训练层层递进，从基础计算到图像绘制，再到实际建模，逐步突破重点，通过师生互动与技术辅助，化解抽象难点。
环节四：应用提升，巩固拓展（12分钟）
1. 基础巩固（6分钟）：学生独立完成练习，教师巡视答疑。
已知f(x) = { x+3, x<1；5-x, x≥1 }，则f(2)=？f(-1)=？
新课导入
小明从家里出发去菜地浇水，又去玉米地锄草，然后回家，其中 x 表示时间，y 表示小明离他家的距离．
该图表示的函数是正比例函数吗？是一次函数吗？你是怎样认为的？
在0~15分是正比例函数，在25~37分是一次函数，在55~80分是一次函数.
(1)求y与x之间的函数表达式；
例5 为节约用水，某城市对居民用水制定以下收费标准：一户的水费由使用费和污水处理费组成，每月用水量不超过16m3时，使用费为每立方米1.3元；超过16m3时，超过部分的使用费为每立方米2.0元；污水处理费为每立方米1.2元，设一户每月用水量为x m3，应缴水费为y元.
分析：用水量以16m3为界，分成两段，收费标准不一样：
当0≤ x ≤16时，每立方米收费(1.3+1.2)元；
当x＞16时，超过部分每立方米收费(2.0+1.2)元.
(1)求y与x之间的函数表达式；
例5 为节约用水，某城市对居民用水制定以下收费标准：一户的水费由使用费和污水处理费组成，每月用水量不超过16m3时，使用费为每立方米1.3元；超过16m3时，超过部分的使用费为每立方米2.0元；污水处理费为每立方米1.2元，设一户每月用水量为x m3，应缴水费为y元.
解 (1)当 0≤ x ≤16 时，y = (1.3+1.2)x = 2.5x.
当 x＞16 时， y = (1.3+1.2)×16+(2.0+1.2)(x－16)
= 3.2x－11.2 .
y 与 х 的函数表达式可表示为：
2.5x， 0≤x≤16，
3.2x－11.2， x＞16.
y =
2.5x， 0≤x≤16，
3.2x－11.2， x＞16.
y =
(2)画出上述函数的图象；
x/m3
y/元
如图，函数图象是一段折线.
(3)某两户某月用水量分别为 10 m3 和 20 m3 时，求这两户该月应缴的水费；
(3) 当 x = 10 时，y = 2.5×10 = 25 .
当 x = 20 时，y = 3.2×20－11.2 = 52.8 .
答：这两户该月应缴的水费分别为 25 元、52.8 元.
先确定要求值的自变量属于哪一段范围；
然后代入该段的解析式求值.
(4)某一户某月缴水费59.2元，求该户这个月的用水量；
2.5x， 0≤x≤16，
3.2x－11.2， x＞16.
y =
(4)因为59.2＞2.5×16，
所以该户这个月用水超过 16 m3.
因此，3.2x－11.2 = 59.2.
解得 х = 22.
答：该户这个月的用水量为 22 m3.
把对应y的值代入函数解析式
分段函数
自变量在不同取值范围内表示函数关系的表达式有不同的形式，这样的函数称为分段函数.
注意:
1.分段函数是一个整体，这个整体是一个函数.
2.每一段函数后面必须加上自变量的取值范围.
x/m3
y/元
2.5x， 0≤x≤16，
3.2x－11.2， x＞16.
y =
练一练
为了鼓励居民节约用电，某电力公司按月用电量分段收费，居民每月应缴电费y元与月用电量 x kW·h的函数图象是一条折线(如图所示). 根据图象解答下列问题：
(1)求出y与x之间的函数表达式；
解：(1) 当0≤ x ≤100时，设y=k1x.
把(100，65)代入，得100k1=65，
解得k1=0.65，
所以y=0.65x.
当x >100时，设y=k2x+b.
把(100，65)，(130，89)分别代入，
得
100k2+b=65，
130k2+b=89.
解得
k2=0.8，
b=－15.
所以y =0.8x－15.
所以y 与x之间的函数表达式为
0.65x，(0≤x≤100)，
0.8x－15，(x＞100).
y =
(2)若某用户某月应缴电费105元，则该用户当月用了多少电？
(2) 因为105>65，所以x>100.
将у=105代入y=0.8x－15，
得0.8x－15=105，
解得x=150.
所以该用户当月用了150kW·h电.
①定类型：根据自变量在不同范围内的图象的特点，
先确定函数的类型；
②设函数式：设出函数的解析式；
③列方程(组)：根据图象中的已知点，列出方程(组)，
求出该段内的解析式；
④下结论：最后用“{”表示出各段解析式，注意自变
量的取值范围.
由分段函数的图象确定函数解析式的方法：
随堂练习
【教材P43 练习 T1】
1.由甲地寄往乙地的每件包裹按下面的计费标准收取快递费用：1kg及以内12元；1~2kg 18元；2~3kg 24元……以此类推，包裹质量每增加1kg(不足1kg以1kg计算)，快递费增加6元.设某件包裹的质量为x kg，所需快递费为y 元. y与x之间的函数图象如下：
(1)若要由甲地寄一件质量为1.8kg的包裹去乙地，快递费是多少元？
(2)从甲地寄往乙地两件包裹(分开寄)，若快递总费用为30元，则这两件包裹的质量分别在什么范围内？
解：(1)18元.
(2)其中一件包裹的质量在1kg以内(含1kg)，另一件包裹的质量在1～2kg之间(含2kg不含1 kg).
【教材P44 练习 T2】
2.某地实行阶梯电价，用户每月应缴电费y元与用电量x kW·h的关系如图所示.求出y与x之间的函数表达式.
解：(1) 当0≤ x ≤50时，设y=k1x.
把(50，25)代入，得50k1=25，
解得k1=0.5，所以y=0.5x.
当x >50时，设y=k2x+b.
把(50，25)，(100，75)分别代入，
得
50k2+b=25，
100k2+b=75.
解得
k2=1，
b=－25.
所以y =x－25.
所以y 与x之间的函数表达式为
0.5x，(0≤x≤50)，
x－25， (x＞50).
y =
5.兄妹俩放学后沿图①中的马路从学校出发,到书吧看书后回
家，哥哥步行先出发，途中速度保持不变；妹妹骑车，到书
吧前的速度为200米/分，图②中的图象分别表示两人离学校
的路程（米）与哥哥离开学校的时间 （分）的函数关系.
（1）求哥哥的速度.
【解】哥哥的速度为 （米/分） .
（2）已知妹妹比哥哥迟2分到书吧.
①图中 的值为___.
【点拨】因为妹妹骑车到书吧前的速度为200米/分，
所以妹妹从出发到书吧所用时间为 （分）.
因为妹妹比哥哥迟2分到书吧，所以 .
②妹妹在书吧待了10分后回家,速度是哥哥的1.6倍,能否在哥
哥到家前追上哥哥 若能，求追上时兄妹俩离家还有多远;若
不能,请说明理由．
能，由（1）可知哥哥的速度为100米/分,
所以设所在直线的表达式为，将 的
坐标代入得，解得.所以 所在
直线的表达式为 .
当时， .
因为回家时妹妹的速度是哥哥的1.6倍，所以妹妹的速度是
160米/分.所以设妹妹回家时与 对应的函数表达式为
，根据题意得的坐标为.将
的坐标代入,得 ，解得
,所以 .
令,解得 ,
所以妹妹能在哥哥到家前追上哥哥，
此时哥哥离学校的路程为
（米）.
兄妹俩离家还有 （米）.
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课堂小结
分段函数
定义
图象
注意
它是一个函数；要写明自变量取值范围
分段函数求值
①先确定要求值的自变量属于哪一段范围
②代入该段的解析式求值
由图象求解析式
①定类型、②设函数式、③列方程(组)、④下结论
谢谢观看！

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