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(共30张PPT)
【2025新教材】沪科版数学 八年级上册
第12章 函数与一次函数
12.2.6一次函数与方程、不等式
1
2
3
理解一次函数与一元一次方程、不等式的关系；
根据一次函数的图象求一元一次方程的解和一元一次不等式的解集，进一步发展数形结合的意识；
通过对一次函数与一元一次方程、不等式关系的探究，认识事物部分与整体的辩证统一关系.
12.2.6 一次函数与方程、不等式 教学课件
一、教学基本信息
授课对象：高一学生（已掌握一次函数定义、图像性质，及一元一次方程、一元一次不等式解法）
核心目标：1. 理解一次函数与一元一次方程、一元一次不等式的内在联系；2. 能利用一次函数图像求解一元一次方程和不等式，掌握“以形助数”的方法；3. 提升数形结合思想应用能力，培养数学转化意识。
教学重难点：重点为一次函数与方程、不等式的关联及应用；难点为从函数视角解释方程解与不等式解集的几何意义。
教学准备：PPT课件、几何画板、学生自备直角坐标系绘图工具。
二、教学过程设计（45分钟）
环节一：知识回顾，铺垫关联（5分钟）
1. 基础提问：
一次函数的一般形式是什么？（y=kx+b，k≠0）
2. 解一元一次方程：2x+4=0 的步骤是什么？解为多少？（移项得2x=-4，系数化为1得x=-2）
3. 解一元一次不等式：2x+4>0 和 2x+4<0 的解集分别是什么？（x>-2；x<-2）
4. 悬念导入：教师板书一次函数y=2x+4，提问：“这个函数与刚才的方程2x+4=0、不等式2x+4>0有什么关系？能不能通过函数图像直接看出方程的解和不等式的解集？”引出本节课主题。
设计意图：通过基础回顾唤醒学生已有知识，以悬念激发探究欲，为建立“函数—方程—不等式”的关联做好铺垫。
环节二：探究新知，建立关联（15分钟）
本环节以具体一次函数y=2x+4为例，分三层探究关联，逐步突破难点。
1. 一次函数与一元一次方程的关联——“函数值为0时的自变量值”
1. 问题引导：对于函数y=2x+4，当y=0时，x的值是多少？（学生计算得x=-2）这个x值与方程2x+4=0的解有什么关系？（完全相等）
2. 图像解读：教师用几何画板画出y=2x+4的图像，标注直线与x轴的交点坐标(-2, 0)，引导学生观察：“直线y=2x+4与x轴的交点横坐标，就是方程2x+4=0的解”。
3. 归纳升华：推广到一般情况——对于一次函数y=kx+b（k≠0），方程kx+b=0的解，就是使函数值y=0的自变量x的值，几何意义是直线y=kx+b与x轴交点的横坐标。
2. 一次函数与一元一次不等式的关联——“函数值正负对应的自变量范围”
1. 探究y>0的情况：
代数角度：函数y=2x+4>0，解得x>-2；
2. 几何角度：在y=2x+4的图像上，找出y>0（即直线在x轴上方）的部分，观察对应x的取值范围——x>-2。
3. 探究y<0的情况：
学生自主完成：代数求解2x+4<0得x<-2；
4. 图像验证：找出直线y=2x+4在x轴下方的部分，对应x取值范围为x<-2。
5. 一般规律总结：对于一次函数y=kx+b（k≠0）：
当k>0时，y>0对应x>-b/k，y<0对应x<-b/k（直线从左到右上升，上方x大，下方x小）；
6. 当k<0时，y>0对应x<-b/k，y<0对应x>-b/k（直线从左到右下降，上方x小，下方x大）。
3. 即时验证——“换函数巩固关联”
给出一次函数y=-x+3，让学生分组完成：
- 求方程-x+3=0的解（结合函数图像，找直线与x轴交点横坐标）；
- 求不等式-x+3>0和-x+3<0的解集（结合图像，找直线在x轴上、下方对应的x范围）。
小组展示成果，教师点评纠错，强化“以形助数”的认知。
设计意图：从具体函数到一般规律，从代数求解到图像解读，层层递进，帮助学生精准建立三者关联，突破“几何意义理解”的难点。
环节三：技能应用，深化理解（15分钟）
本环节分“基础应用—综合提升”两级，强化“以形助数”和“以数解形”的双向应用能力。
1. 基础应用：用函数图像求解方程与不等式（8分钟）
例题1：已知一次函数y=3x-6的图像如图所示（PPT展示图像），回答下列问题：
- 方程3x-6=0的解是______；（学生观察图像得x=2）
- 不等式3x-6≥0的解集是______；（直线在x轴上方及交点处，x≥2）
- 当x______时，y<0；（直线在x轴下方，x<2）
- 当x=3时，y=______；当y=3时，x=______。（代数计算验证：y=3×3-6=3；3=3x-6得x=3）
教师强调：“既可以用图像直观找答案，也可以用代数方法验证，两者结合更准确”。
2. 综合提升：结合实际问题的应用（7分钟）
例题2：某书店推出会员卡服务，办卡费用30元，持卡购书可享受8折优惠；无卡购书不打折。设购书金额为x元，持卡购书费用为y 元，无卡购书费用为y 元。
1. 分别写出y 、y 关于x的函数解析式；（y =0.8x+30，y =x）
2. 画出两个函数的大致图像（学生在练习本绘制，教师用几何画板展示标准图像）；
3. 结合图像说明：购书金额为多少时，持卡购书更划算？（即求y 150，故购书超过150元时持卡划算）
设计意图：基础题巩固核心关联，综合题将知识与实际结合，让学生体会数学应用价值，同时强化数形结合的实战能力。
环节四：总结提升，拓展延伸（7分钟）
1. 知识梳理：引导学生用表格总结三者关联：
数学对象代数关系几何意义（针对y=kx+b，k≠0）一元一次方程kx+b=0y=0时的x值直线与x轴交点的横坐标一元一次不等式kx+b>0y>0时的x范围直线在x轴上方对应的x范围一元一次不等式kx+b<0y<0时的x范围直线在x轴下方对应的x范围
2. 思想提炼：强调“数形结合”是本节课核心思想——“以形助数”可将方程解、不等式解集直观化，“以数解形”可精确描述函数图像特征，两者相辅相成。
3. 拓展思考：提问“若有两个一次函数y =k x+b 和y =k x+b ，如何用图像求不等式k x+b >k x+b 的解集？”为后续学习埋下伏笔。
4. 课后任务：
必做：教材对应习题，用“代数求解+图像验证”两种方法完成；
5. 选做：调查本地手机话费套餐（如A套餐：月租20元，通话0.1元/分钟；B套餐：无月租，通话0.2元/分钟），建立函数模型，分析哪种套餐更划算。
三、板书设计
12.2.6 一次函数与方程、不等式
一、核心关联（以y=kx+b，k≠0为例）
1. 与方程kx+b=0：
解 → y=0时的x值 → 直线与x轴交点横坐标
2. 与不等式kx+b>0（<0）：
解集 → y>0（<0）时的x范围 → 直线在x轴上（下）方的x范围
二、思想方法：数形结合（以形助数、以数解形）
三、示例：y=2x+4
方程2x+4=0解：x=-2（交点(-2,0)）
不等式2x+4>0解集：x>-2（直线上方）
不等式2x+4<0解集：x<-2（直线下方）
四、教学反思（课后填写）
1. 学生对“几何意义”的理解是否到位？是否能主动用图像辅助解题？
2. 综合应用环节，学生建立函数模型时是否存在困难？如何优化引导方式？
3. 数形结合思想的渗透是否自然？学生是否能体会其价值？
我们学面直角坐标系，请同学们回顾一下：对点P(x，y)，当y=0、y>0、y<0时，点P位于坐标平面内什么位置？
y＞0
y = 0
y＜0
x
y
O
①当y=0时，点P在x轴上；
②当y＞0时，点P在x轴上方；
③当y＜0时，点P在x轴下方.
推进新课
探索1
一次函数与一元一次方程
(1)解方程： 2x + 6 = 0；
(2)已知一次函数 y = 2x + 6，x 取何值时，y = 0？
思考①：这两个问题有什么关系？
(2) 当 y = 0 时 ，即
2x + 6 = 0
2x =－6
x =－3
解：(1) 2x + 6 = 0
2x =－ 6
x =－3
从“函数值”的角度看：
求一元一次方程2x+6=0的解，可转化为求一次函数y=2x+6中y=0时x的值.
思考②：方程2x+6=0的解(x=－3)与一次函数y=2x+6的图象又有什么关系？
直线 y=2x +6 与 x 轴交点坐标为(___，___)，这说明方程 2x＋6＝0 的解是 x＝_____.
-3
0
-3
从“函数图象”的角度看：
求一元一次方程2x+6=0的解，就是求直线y=2x+6与x轴交点的横坐标.
小结：
任何一个一元一次方程都可以转化为kx+b=0(k，b为常数，且k≠0)的形式，因此：
求一元一次方程 kx + b = 0 的解
一次函数 y = kx + b中，y = 0 时 x 的值
求直线 y = kx + b与 x 轴交点的横坐标
从“函数图象”看
从“函数值”看
练一练
直线y=2x+b与x轴的交点坐标是(2，0)，则关于x的方程2x+b=0的解是x=_____.
解析：直线y=2x+b与x轴的交点坐标是(2，0)，
则x=2时，y=0，关于x的方程2x+b=0的解是x=2.
方法总结：直线y=kx+b与x轴交点的横坐标就是方程kx+b=0的解，反之亦然. 所以在解题时，常需作出一次函数的草图，结合图形分析更加直观、方便.
2
下面3个方程有什么共同特点？你能从函数的角度对解这3个方程进行解释吗？
(1)2x + 1 = 3；(2)2x + 1 = 0；(3)2x + 1 = -1
3
2
1
2
1
-2
O
x
y
-1
-1
3
2x+1 = 3 的解
y = 2x + 1
2x+1 = 0 的解
2x+1 =－1 的解
★从函数值看：
解这3个方程 一次函数y=2x+1，当y分别为3，0，－1时，求自变量x的值.
★从函数图象看：
在直线y=2x+1上取纵坐标分别为3，0，－1的点的横坐标.
你能把得到的结论推广到一般情况吗？
归纳：
一般地，一元一次方程ax+b=c(a、b、c为常数，a≠0)的解就是当函数 的函数值为 时的自变量 的值.
y=ax+b
c
x
探索2
一次函数与一元一次不等式
根据一次函数y=2x+6的图象，你能分别说出一元一次不等式2x+6>0和2x+6<0的解集吗？
2x+6>0，就是函数y=2x+6中函数值y>0.
直线y=2x+6在x轴上方时，它上面的点的纵坐标y>0.
故2x+6>0的解集为x>－3.
探索2
一次函数与一元一次不等式
根据一次函数y=2x+6的图象，你能分别说出一元一次不等式2x+6>0和2x+6<0的解集吗？
2x+6<0，就是函数y=2x+6中函数值y<0.
直线y=2x+6在x轴下方时，它上面的点的纵坐标y<0.
故2x+6<0的解集为x<－3.
练一练
已知方程的解是 ，下列各项中为函数
的图象的是( )
A. B. C. D.
C
小结：
任何一个一元一次不等式都可以转化为kx+b＞0或kx+b＜0(k，b为常数，且k≠0)的形式，因此：
求 kx + b＞0 (或＜0)(k ≠ 0)的解集
y = kx + b 的值大于(或小于) 0 时，x 的取值范围
确定直线 y = kx + b在 x 轴上方(或下方)的图象所对应的 x取值范围
从“函数图象”看
从“函数值”看
下面三个不等式有什么共同特点？你能从函数的角度对解这三个不等式进行解释吗？
(1)3x + 2＞2；(2)3x + 2＜0；(3)3x + 2 ＜ -1
★从函数值看：
解这3个不等式 在一次函数 y = 3x + 2的函数值分别大于2、小于0、小于－1时，求自变量 x 的取值范围.
3
2
1
2
1
-2
O
x
y
-1
-1
3
y = 3x + 2
y = 2
(1)3x + 2＞2；(2)3x + 2＜0；(3)3x + 2 ＜ -1
y = 0
y = -1
★从函数图象看：
解这 3 个不等式 在直线
y = 3x + 2 上取纵坐标分别满足大于 2、小于 0、小于－1的点，看它们的横坐标分别满足什么条件.
y＞2
x＞0
y＜0
x＜-
y＜-1
x＜-1
你能总结出利用图象求一元一次不等式kx+b c或kx+b c的解集方法吗？
在同一直角坐标系中作出直线y= kx+b 和直线y=c；
直线y= kx+b在直线y=c下方的部分所对应的x的取值范围就是一元一次不等式kx+b c 的解集；
直线y= kx+b在直线y=c上方的部分所对应的x的取值范围就是一元一次不等式kx+b c 的解集.
例6 画出函数 y = -3x + 6 的图象，并结合图象求：
(1) 方程 -3x + 6 = 0 的解；
(2) 不等式 -3x + 6＞0 和 -3x + 6＜0 的解集.
解：如图，画出函数у=－3x+6的图象.
(1)由图象可知，图象与x轴交点的坐标为(2，0).所以，方程－3x+6=0的解为x =2.
(2)由图象可知，y>0时x的取值范围是 x<2；
y<0时x的取值范围是 x>2.
所以，不等式－3x+6>0的解集是 x<2；
不等式－3x+6<0的解集是 x>2.
练一练
根据图象(如图)，可得关于 的不等式 的解集是( )
A. x<2 B. x>2
C. x<1 D. x>1
D
随堂练习
【教材P45 练习 T1】
1.画出一次函数y=－2x－6的图象，并结合图象填空：
(1) x 时，y=0；
(2) x 时，y>0；
(3) x 时，y<0；
(4) x 时，y>6.
=－3
<－3
>－3
<－6
O
x
y
1
2
3
4
5
6
-3
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
6
7
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
y －2x－6
【教材P46 练习 T2】
2.画出函数y=3x一9的图象，并结合图象回答下列问题：
(1)求方程3x－9=0的解；
(2)求不等式3x－9≤0的解集；
(3)当y=3时，求x的值；
(4)当у>3时，求x的取值范围.
O
x
y
1
2
3
4
5
6
-3
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
6
7
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
y 3x－9
解：(1) x =3.
(2) x ≤3.
(3) x =4.
(4) x >4.
知识点1 一次函数与一元一次方程
（第1题）
1. ［2025西安新城区联考］如图，直线
过点和点 ，则方程
的解是( )
C
A. B.
C. D.
返回
2. 已知方程的解是 ，下列各项中为函数
的图象的是( )
C
A. B. C. D.
返回
（第3题）
3.［2024扬州］如图，已知一次函数
的图象分别与， 轴
交于，两点，若， ，
则关于的方程 的解为_____
____.
返回
知识点2 一次函数与一元一次不等式
4. ［2024广东］已知不等式的解集是 ，则一
次函数 的图象大致是( )
B
A. B. C. D.
返回
5. 根据图象（如图），可得关于 的不等式
的解集是( )
D
A. B. C. D.
返回
知识点3 一次函数与一元一次方程（不等式）间的关系
的应用
6. 我国航天事业发展迅速，2024年10月30日4时
27分，神舟十九号载人飞船成功发射.某玩具店抓住商机，先
购进了1 000件相关航天模型玩具进行试销，进价为50元/件.
（1）设玩具售价为元/件，全部售完的利润为 元，求利润
（元）关于售价 （元/件）的函数表达式.
【解】函数表达式为 .
（2）当售价定为60元/件时，该玩具销售火爆，该店继续购
进一批该种航天模型玩具，并从中拿出这两批玩具销售利润
的 用于支持某航模兴趣组开展活动，在成功销售完毕后，
资助经费恰好为10 000元，请问该店继续购进了多少件航天
模型玩具？
设该店继续购进了 件航天模型玩具，根据题意，得
，解得 .
答：该店继续购进了4 000件航天模型玩具.
返回
一次函数与一元一次方程、不等式
解一元一次方程可以转化为：当某个一次函数的值为 0 时，求相应的自变量的值，即一次函数与 x 轴交点的横坐标
解一元一次不等式可以看作：当一次函数的函数值大(小)于 0 时，求自变量相应的取值范围
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