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(共26张PPT)
【2025新教材】沪科版数学 八年级上册
第12章 函数与一次函数
12.3.1一次函数与二元一次方程
1
2
3
会用等量代换，把二元一次方程转化成一次函数；
知道一次函数上的点对应二元一次方程的解；
能判断点的坐标是否为二元一次方程的解.
12.3.1 一次函数与二元一次方程 教学课件
一、教学基本信息
授课对象：高一学生（已掌握一次函数图像性质、二元一次方程解的概念及求解方法）
核心目标：1. 理解二元一次方程与一次函数的内在联系，明确二元一次方程的解与一次函数图像上点的坐标对应关系；2. 能将二元一次方程转化为一次函数解析式，或根据一次函数解析式写出对应的二元一次方程；3. 提升数形结合思想应用能力，培养数学转化与建模意识。
教学重难点：重点为二元一次方程与一次函数的关联及相互转化；难点为从函数图像视角理解二元一次方程无数解的几何意义。
教学准备：PPT课件、几何画板、学生自备直角坐标系绘图工具及表格模板。
二、教学过程设计（45分钟）
环节一：情境衔接，引出关联（5分钟）
1. 旧知唤醒：
提问：一次函数的一般形式是什么？（y=kx+b，k≠0）请写出一个一次函数解析式，并说出其图像形状（直线）。
2. 回顾：二元一次方程的定义是什么？请写出一个二元一次方程，如2x - y = 3，并找出它的3个解，填写在表格中（PPT展示表格模板）。
3. 情境设问：教师将学生回答的二元一次方程2x - y = 3变形为y = 2x - 3，提问：“这个式子既像二元一次方程，又像一次函数解析式，它们之间到底是什么关系？方程的解和函数图像有联系吗？”引出本节课主题——一次函数与二元一次方程。
设计意图：通过旧知回顾搭建知识桥梁，以“一式两用”的矛盾点激发探究兴趣，为建立两者关联做好铺垫。
环节二：探究新知，揭示本质（18分钟）
本环节以具体二元一次方程2x - y = 3和对应的一次函数y = 2x - 3为例，从“代数转化—解与坐标对应—几何意义”三层递进探究。
1. 第一层：代数转化——“二元一次方程与一次函数的互化”
1. 方程转函数：以2x - y = 3为例，教师引导学生通过移项将其变形为y = 2x - 3，强调“将二元一次方程中含y的项移到左边，其他项移到右边，系数化为1，即可转化为一次函数的斜截式”。
2. 函数转方程：反过来，给出一次函数y = -x + 5，让学生将其转化为二元一次方程（移项得x + y - 5 = 0或x + y = 5），说明“一次函数解析式通过移项变形，均可转化为ax + by + c = 0（a、b不同时为0）形式的二元一次方程”。
3. 即时练习：学生分组完成互化任务——①将3x + 2y = 6转化为一次函数解析式；②将y = 4x - 7转化为二元一次方程，小组展示成果，教师点评规范步骤。
2. 第二层：对应关系——“方程的解与函数图像上点的坐标”
1. 表格对比：让学生取出课前填写的二元一次方程2x - y = 3的解（如(0,-3)、(1,-1)、(2,1)、(3,3)），再计算一次函数y = 2x - 3在对应x值下的y值，填写表格：
x值方程2x - y = 3的解（x,y）函数y=2x-3的函数值y函数图像上的点（x,y）0(0,-3)-3(0,-3)1(1,-1)-1(1,-1)2(2,1)1(2,1)
引导学生发现：方程的解（x,y）与函数图像上点的坐标（x,y）完全一致。
2. 反向验证：教师用几何画板画出y = 2x - 3的直线，在直线上任意取3个点（如(-1,-5)、(1.5,-0)、(4,5)），让学生验证这些点的坐标是否满足方程2x - y = 3（计算得2×(-1) - (-5)=3，2×1.5 - 0=3，2×4 - 5=3，均满足）。
3. 结论总结：二元一次方程的每一组解，都是对应一次函数图像上某个点的坐标；反过来，一次函数图像上每一个点的坐标，都满足对应的二元一次方程。
3. 第三层：几何意义——“方程的无数解与直线上的无数点”
1. 问题引导：二元一次方程2x - y = 3有多少组解？（无数组）一次函数y = 2x - 3的图像上有多少个点？（无数个）这两者之间有什么关联？
2. 图像解读：教师用几何画板动态演示直线y = 2x - 3的延伸过程，说明“直线由无数个点组成，每个点的坐标都是方程的解，因此二元一次方程有无数组解，其所有解对应的点共同构成了一次函数的图像——直线”。
3. 一般规律：对于二元一次方程ax + by + c = 0（a、b不同时为0），将其转化为一次函数y = (-a/b)x - c/b（b≠0）后，该方程的所有解对应的点组成的图形，就是一次函数的图像——一条直线，反之亦然。
设计意图：从代数转化到坐标对应，再到几何意义，层层深入，帮助学生突破“无数解”与“无数点”关联的理解难点，精准把握两者本质联系。
环节三：技能应用，巩固提升（15分钟）
本环节分“基础应用—综合拓展”两级，强化知识应用与思想渗透。
1. 基础应用：解与坐标的互判及图像应用（8分钟）
例题1：已知二元一次方程3x + y = 7，完成下列问题：
- 将其转化为一次函数解析式：______（y = -3x + 7）；
- 判断点(2,1)、(3,-2)是否为该方程的解，并说明理由（代入验证：3×2+1=7，是；3×3+(-2)=7，是）；
- 若点(a,4)在该方程对应的一次函数图像上，求a的值（将(a,4)代入y=-3x+7得4=-3a+7→a=1）；
- 在直角坐标系中画出该一次函数的图像，结合图像说出方程3x + y = 7的两组正整数解（图像上x、y均为正整数的点，如(1,4)、(2,1)）。
教师巡视指导，重点关注学生“图像找点”的准确性，强调“正整数解对应图像在第一象限的格点”。
2. 综合拓展：结合实际问题的建模应用（7分钟）
例题2：某文具店售卖笔记本和钢笔，已知买2本笔记本和1支钢笔共需10元，设笔记本单价为x元，钢笔单价为y元。
1. 列出关于x、y的二元一次方程：______（2x + y = 10）；
2. 将其转化为一次函数解析式，并解释解析式中x、y的实际意义（y = -2x + 10，x表示笔记本单价，y表示钢笔单价）；
3. 若笔记本单价为3元，求钢笔单价（代入得y = -2×3 + 10 = 4元）；若钢笔单价为6元，求笔记本单价（代入得6 = -2x + 10→x=2元）；
4. 结合实际意义，写出该方程的所有正整数解（x、y为正整数，即x=1时y=8；x=2时y=6；x=3时y=4；x=4时y=2），并说明其实际含义（对应不同单价组合）。
设计意图：基础题巩固核心关联与基本技能，综合题将知识与实际结合，让学生体会“方程建模—函数转化—实际应用”的完整过程，强化数学应用意识。
环节四：总结升华，拓展延伸（7分钟）
1. 知识梳理：引导学生用思维导图总结核心内容：
转化关系：二元一次方程 一次函数（移项变形）；
2. 对应关系：方程的解 函数图像上的点坐标；
3. 几何意义：方程的所有解 函数的直线图像。
4. 思想提炼：强调本节课核心思想——数形结合，“以数解形”可通过方程解确定函数图像上的点，“以形助数”可通过函数图像直观呈现方程的无数组解及特殊解（如正整数解）。
5. 拓展思考：提问“若有两个二元一次方程，它们对应的两条直线会有什么位置关系？这与方程组的解有什么联系？”为下一节“一次函数与二元一次方程组”埋下伏笔。
6. 课后任务：
必做：教材对应习题，完成“方程转函数—找点验证—图像应用”的完整步骤；
7. 选做：调查本地水果摊两种水果的价格关系（如3斤苹果和2斤香蕉共20元），建立二元一次方程与一次函数模型，写出3组符合实际的价格组合。
三、板书设计
12.3.1 一次函数与二元一次方程
一、核心转化：二元一次方程 一次函数
例：2x - y = 3 y = 2x - 3
方法：移项变形，y的系数化为1
二、关键对应：
方程的每一组解 函数图像上的一个点坐标
方程的所有解 函数的直线图像（无数点）
三、几何意义：
二元一次方程的解集中的点，构成对应一次函数的直线
一次函数直线上的点，均为对应二元一次方程的解
四、思想方法：数形结合（以数解形、以形助数）
四、教学反思（课后填写）
1. 学生对“方程解与点坐标”的对应关系是否理解透彻？是否存在“混淆解的顺序”的问题？
综合应用环节，学生从实际问题中提炼二元一次方程的能力如何？需要加强哪些引导？
3. 数形结合思想的渗透是否到位？学生是否能主动用图像辅助解决方程的特殊解问题？
今天数学王国搞了个家庭 Party，各个成员按照自己所在的集合就坐，这时来了“x + y = 5”.
x + y = 5
x + y = 5 应该坐在哪里呢？
一次函数
二元一次方程
你能把二元一次方程2x－y－3=0转化为一次函数的形式？
2x－y－3=0
y=2x－3
二元一次方程
一次函数
移项
移项
从形式上看，通过移项，二元一次方程可以化为一次函数的形式；一次函数可以化成二元一次方程的形式.
活动：小组合作，完成下列问题.
(1) 方程 3x + 2y = 6 的解有多少个？写出其中的几个.
无数个
(2) 等式 3x + 2y = 6 还可以看成一个一次函数，把它变成 y = kx + b 的形式是_____________.
y = - x + 3
(3) 画出 y = - x + 3 的图象.
x … -3 -2 -1 0 1 2 3 …
y = -x + 3 … 7.5 6 4.5 3 1.5 0 -1.5 …
追问① 表中每一对x，y的值代入到方程3x+2y=6中，都成立吗？
(3) 画出 y = - x + 3 的图象.
都成立
可见，每组有序数对都是方程3x+2y=6的解，且有无数多组解. 解的全体叫作二元一次方程的解集.
追问②以方程 3x + 2y = 6 的解为坐标的点都在一次函数 y = -x + 3 的图象上吗？
都在
追问③在一次函数 y = -x + 3 的图象上任取一点，点的坐标都是方程 3x + 2y = 6 的解吗？
都是
追问④以方程 3x + 2y = 6 的解为坐标的所有点组成的图象与一次函数 y = - x +3 的图象相同吗？
相同
一次函数 y = -x +3 图象上的点
方程 3x + 2y = 6
的解
从形到数
从数到形
小结：
一般地，一个二元一次方程可以转化成一次函数y=kx+b(k，b为常数，且k≠0)的形式，所以每个二元一次方程都对应一个一次函数，也对应一条直线.
二元一次方程与一次函数的关系
二元一次方程ax+by+c=0(ab≠0)
一次函数 y = -x -
一一对应
相互转化
解
一条直线
以解为坐标的点组成的图象
直线上点的坐标是方程的解
无数多组
图像
1. 下面四条直线，其中直线上每个点的坐标都是二元一次方程 x－2y＝2 的解的是(　　)
练一练
分析：对于二元一次方程 x－2y＝2 ，当 x＝0 时，
y＝－1；当 y＝0时，x＝2，故直线与两坐标轴的交点应该是 (0，－1)，(2，0)．
C
直线与x轴的交点的横坐标即是二元一次方程中当y=0时x的值；
直线与y轴的交点的纵坐标即是二元一次方程中当x=0时y的值，注意数形结合.
2.若以关于x，y的二元一次方程x+3y=b的解为坐标的点(x，y)都在直线y=－x+b－1上，则常数b的值为( )
A. B. C.－1 D. 1
A
随堂练习
1.在平面直角坐标系中，画出下列二元一次方程所对应的直线：
(1) x－y=0； (2) x +y=0.
【教材P50 练习 T1】
解：(1)二元一次方程x－y=0的图象就是一次函数y=x的图象，如图.
(2)x+y=0的图象就是函数 y=－x的图象，如图.
【教材P50 练习 T2】
2. (1)下面的有序数对中，哪些是二元一次方程3x+у=6的解？
A(2，0)，B(3，-3)，C(5，-9)，D(6，-10)，E(-2，10)，F(-3，15).
(2)写出二元一次方程3x+у=6任意五组整数解.
解：(1)A(2，0)，B(3，-3)，C(5，-9)，F(-3，15).
【教材P50 练习 T3】
3. 5角、1元的硬币各有若干个，从这些硬币中取出一些凑成4元. 问有多少种不同的取法？
解：设1元硬币有x个(x ≥0)，5角硬币有y个( y ≥0)，
根据总金额可列方程：10x+5y=40，
化简为2 x + y = 8，即y=8－2x.
由于y必须是非负整数，因此8－2x≥0，解得x ≤4.
当x=0时，y=8；当x=1时，y=6；当x=2时，y=4；
当x=3时，y=2；当x=4时，y=0.
综上，有5种不同的取法.
知识点 一次函数与二元一次方程的关系
1. 直线上每个点的坐标都是二元一次方程 的解的
直线是( )
C
A. B. C. D.
返回
2.若以二元一次方程的解为坐标的点 都
在函数的图象上，则常数 __.
【点拨】因为以二元一次方程 的解为坐标的
点都在函数 的图象上，所以
把②代入①，得 ，解得
.
返回
3.［2025芜湖镜湖区期中］已知和 都是方程
的解，则一次函数 的图象与坐标轴围
成的三角形的面积为__.
返回
易错点 混淆一次函数与二元一次方程的关系
4. 对于二元一次方程和一次函数 ，下列说法错误的是
( )
C
A. 二元一次方程 的解可以通过一次函数
的图象来直观体现
B. 一次函数 图象上任意一点的横、纵坐标代入二
元一次方程 中，等式一定成立
C. 当时，一次函数 的函数值与二元一次方
程中 的值相等，其他时候不相等
D. 二元一次方程 有无数组解，这些解对应的点
构成了一次函数 的图象
【点拨】A.二元一次方程的解与一次函数图象上的点一一对
应，所以方程的解可以通过一次函数
的图象来直观体现，故该选项正确 .因为一次函数图象上的
点的坐标就是其对应的二元一次方程的解，所以一次函数
图象上任意一点的横、纵坐标代入二元一次方程
中，等式一定成立，故该选项正确 .一次函数
与二元一次方程 始终对应，取任意相
同的值时，对应的值都相等，故该选项错误 .二元一次方
程 有无数组解，这些解对应的点都在一次函数
的图象上，即这些点构成了该一次函数的图象，
故该选项正确.
返回
5. 已知二元一次方程的一组解为 则下列
结论一定不正确的是( )
C
A. ， B. ，
C. ， D. ，
返回
6.［2025杭州萧山区模拟］如图，在平面直角坐标系中，已
知点，，直线（其中 为常数）
与轴交于点，与轴交于点 .
（1）求点， 所确定的直线的函数表达
式；
【解】设点， 所确定的直线的函数表达
式为，由题意，得
解得
所以点，所确定的直线的函数表达式为 .
课堂小结
二元一次方程与一次函数的关系
二元一次方程ax+by+c=0(ab≠0)
一次函数 y = -x -
一一对应
相互转化
解
一条直线
以解为坐标的点组成的图象
直线上点的坐标是方程的解
无数多组
图像
谢谢观看！

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