资源简介

(共25张PPT)
【2025新教材】沪科版数学 八年级上册
第14章 全等三角形
14.2.5.1两个直角三角形全等的判定
判定方法 简称 图示
A
B
C
C'
A'
B'
A
B
C
C'
A'
B'
A
B
C
C'
A'
B'
A
B
C
C'
A'
B'
三边分别相等
两边及其夹角分别相等
两角及其夹边分别相等
两角分别相等且其中一组等角的对边相等
SSS
SAS
AAS
ASA
推进新课
思考：对于两个直角三角形，除了直角相等的条件，还要满足几个条件，这两个直角三角形就全等了？
A
B
C
A'
B'
C'
14.2.4 其他判定两个三角形全等的条件 教学课件
一、教学基本信息
授课对象：七年级学生（已掌握全等三角形定义、性质及“SSS”“SAS”“ASA”判定定理，具备几何推理与动手操作能力）
核心目标：1. 理解“角角边（AAS）”和“斜边直角边（HL）”的含义，掌握这两种全等三角形判定定理；2. 能根据不同图形条件，灵活选择AAS或HL证明三角形全等，规范书写推理过程；3. 经历“推导—验证—应用”的探究过程，深化逻辑推理能力，构建完整的全等判定知识体系。
教学重难点：重点为AAS和HL判定定理的推导与应用；难点为HL定理的适用场景辨析及全等判定方法的综合选择。
教学准备：PPT课件、硬纸板、直尺、圆规、量角器、剪刀、探究任务单、直角三角形纸片若干。
二、教学过程设计（45分钟）
环节一：旧知衔接，引出新探（5分钟）
1. 知识回顾：提问“我们已学哪些全等三角形判定方法？请用符号语言表述ASA定理”，引导学生回答并板书：SSS（三边）、SAS（两边夹角）、ASA（两角夹边），强调ASA的核心是“两角及夹边对应相等”。
2. 问题迁移：展示△ABC和△DEF，标注∠A=∠D，∠B=∠E，BC=EF（∠A与∠B的夹边是AB，∠D与∠E的夹边是DE，BC是∠A的对边），提问：“已知两角及其中一角的对边对应相等，这两个三角形全等吗？它与ASA有什么关系？”
3. 特殊情境设问：展示两个直角三角形纸片，标注斜边AC=DF，直角边BC=EF，提问：“直角三角形有一个角是直角，已知斜边和一条直角边对应相等，能否判定它们全等？这种情况与普通三角形的判定有何不同？”引出本节课主题——探究其他全等判定条件。
设计意图：通过旧知回顾建立认知基础，以“ASA的延伸”和“直角三角形的特殊性”为切入点，激发探究欲望，明确本节课的两个核心探究方向。
环节二：探究新知一——角角边（AAS）判定定理（15分钟）
本环节以ASA定理为基础，通过“推理推导—动手验证—定理总结”，自主构建AAS定理，明确其与ASA的关联。
1. 定理推导：从ASA到AAS
教师引导逻辑推理：已知在△ABC和△DEF中，∠A=∠D，∠B=∠E，BC=EF（如图）。
∵ ∠A+∠B+∠C=180°，∠D+∠E+∠F=180°（三角形内角和定理），∴ ∠C=180°-∠A-∠B，∠F=180°-∠D-∠E（等式性质）。
又∵ ∠A=∠D，∠B=∠E（已知），∴ ∠C=∠F（等量代换）。
此时△ABC和△DEF满足∠B=∠E，BC=EF，∠C=∠F，符合ASA判定条件，故△ABC≌△DEF。
结论：由ASA定理可推导出“两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等”。
2. 动手验证：强化直观认知
活动1——学生分组按以下步骤操作：① 作∠A=50°，∠B=60°，BC=4cm；② 作∠D=50°，∠E=60°，EF=4cm；③ 将两个三角形叠放，观察是否完全重合。
学生发现：两三角形完全重合，验证AAS推导结论的正确性。
3. 定理总结：AAS的规范表述
教师给出定理：两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等（简称为“角角边”或“AAS”）。
符号语言规范：在△ABC和△DEF中，若∠A=∠D，∠B=∠E，BC=EF，则△ABC≌△DEF（AAS）。
对比辨析：通过表格明确ASA与AAS的区别与联系：
判定方法
核心条件
关键区别
联系
ASA
两角及夹边对应相等
相等的边是两角的夹边
均可由两角及一边对应相等推导，AAS是ASA的推论
AAS
两角及其中一角的对边对应相等
相等的边是其中一角的对边
设计意图：通过逻辑推理让学生理解AAS的由来，结合动手操作强化直观认知，对比表格帮助学生精准区分ASA与AAS，突破易混淆点。
环节三：探究新知二——斜边直角边（HL）判定定理（15分钟）
本环节聚焦直角三角形的特殊性，通过“问题引导—动手作图—验证总结”，推导HL定理，明确其适用范围。
1. 问题引导：直角三角形的特殊性
教师提问：“直角三角形有一个角是90°，若已知斜边和一条直角边对应相等，能否用已学判定方法证明全等？”引导学生发现：直角三角形的直角是固定的90°，但斜边和直角边的夹角并非直角，无法直接用SAS或ASA判定，需探究新方法。
2. 动手操作：构造直角三角形并验证
活动2——学生分组用尺规作直角三角形：① 作∠C=90°，AC=3cm，AB=5cm（斜边）；② 作∠F=90°，DF=3cm，DE=5cm（斜边）；③ 测量BC和EF的长度，将两个三角形叠放观察是否重合。
学生结果：测量得BC=EF=4cm，两三角形完全重合，初步猜想“斜边和一条直角边对应相等的直角三角形全等”。
①一条直角边
和一锐角分别相等
ASA
或AAS
A
B
C
A'
B'
C'
②斜边和一锐角分别相等
AAS
A
B
C
A'
B'
C'
③两直角边分别相等
SAS
A
B
C
A'
B'
C'
A
B
C
A'
B'
C'
如果满足斜边和一条直角边分别相等呢？能证明全等吗？
已知：如图，Rt△ABC，其中∠C为直角.
求作：Rt△A′B′C′，使∠C′为直角，A′C′=AC，A′B′=AB.
(2)在C′M上截取C′A′=CA；
作法：
(1)如图，作∠MC′N= ∠C=90°；
则△A'B'C' 就是所求作的三角形．
A
C
B
(3)以点A′为圆心、AB长为半径画弧，交C′N于点B′；
(4)连接A′B′.
B′
N
M
A′
C′
思考：那么Rt△A′B′C′ 与Rt△ABC 能否完全重合？由此你能得到什么结论？
A
C
B
B′
N
M
A′
C′
由上可得，判定两个直角三角形全等的另一种方法.
定理 斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等. 简记为“斜边、直角边”或“HL”.
本定理将在15.4节中给出证明.
几何语言:
如图，在Rt△ABC与Rt△A'B'C'中：
∴Rt△ABC≌Rt△A′B′C′ . (HL)
BC=B'C'，
定理 斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等. 简记为“斜边、直角边”或“HL”.
A
B
C
A'
B'
C'
AC=A'C'，
例7 已知：如图，BD，CE分别是△ABC的高，且BE=CD.
求证：BD=CE.
A
B
C
E
D
证明：∵ BD，CE 分别是△ABC 的高，
∴∠BEC＝∠CDB＝90°.
在 Rt△BEC 和 Rt△CDB 中，
BC = CB，(公共边)
BE = CD，(已知)
∵
∴Rt△BEC≌Rt△CDB. (HL)
∴BD＝CE.
应用“HL”的前提条件是在直角三角形中
归纳：两个三角形全等判定思路
已知条件 可选择的判定方法 寻找条件
两边
两角
SSS
SAS
HL
ASA
AAS
找第三边
找两边的夹角
看是否是直角三角形
找两角的夹边
找任意一角的对边
已知条件 可选择的判定方法 寻找条件
一边和它的邻角
ASA
SAS
AAS
AAS
HL
找这条边的另一个邻角
找这个角的另一边
找这条边的对角
找另外任意一个角
看这个角是否是直角，
若是，找任意一条直角边
一边一角
一边和它的对角
归纳：两个三角形全等判定思路
1.如图，AB = CD， BF⊥AC，DE⊥AC，AE = CF.
求证：BF = DE.
A
F
C
E
D
B
证明：∵ BF⊥AC，DE⊥AC，
∴∠BFA =∠DEC = 90°.
∵ AE = CF，
∴ AE + EF = CF + EF，
即 AF = CE.
在 Rt△ABF 和 Rt△CDE 中，
AB = CD，
AF = CE，
∴ Rt△ABF≌Rt△CDE (HL).
∴ BF = DE.
2.如图，已知AD，AF分别是两个钝角△ABC和△ABE的高，如果AD＝AF，AC＝AE.
求证：BC＝BE.
证明：由题可知∠D=∠F=90°
AD=AF，AC=AE
∴在Rt△ADC和Rt△AFE中，
AC=AE，
AD=AF，
∴Rt△ADC≌Rt△AFE（HL）
∴DC=FE.
又在Rt△ADB和Rt△AFB中，
AB=AB，
AD=AF，
∴Rt△ADB≌Rt△AFB（HL），
∴DB=FB.
BC=BD-DC，BE=BF-FE，
∴BC=BE.
2.如图，已知AD，AF分别是两个钝角△ABC和△ABE的高，如果AD＝AF，AC＝AE.
求证：BC＝BE.
随堂演练
1.已知：如图，AC⊥BD于点O，且OA=OC，AB=CD.
求证：AB//DC.
【教材P106 练习 T1】
证明：∵AC⊥BD，(已知)
∴∠AOB=∠COD=90°.(垂直的定义)
在 Rt△AOB 和 Rt△COD中，
AB = CD，
OA = OC，
∴ Rt△AOB ≌ Rt△COD.(HL)
∴∠A=∠C. (全等三角形的对应角相等)
∴AB//DC. (内错角相等，两直线平行)
2.如图，P为∠AOB内一点，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为点D，E，且PD=PE. 猜想∠AOP与∠BOP有什么关系，试说明理由.
【教材P107 练习 T2】
解：∠AOP=∠BOP.
理由：∵PD⊥OA，PE⊥OB，(已知)
∴∠ODP=∠OEP=90°.(垂直的定义)
在Rt△OPD和Rt△OPE中，
OP = OP，
PD = PE，
∴Rt△OPD≌Rt△OPE. (HL)
∴∠DOP=∠EOP. (全等三角形的对应角相等)
即∠AOP=∠BOP.
3.如图，在△ABC中，高AD和高BE交于点H. 添加一个条件，使得△BDH≌△ADC，并加以证明.
【教材P107 练习 T3】
解：添加条件AD= BD.证明如下：
∵AD⊥BC，AE⊥AC，
∴∠BDH= ∠ADC= ∠BEC=90°，
∴∠CAD+∠C= 90°，∠DBH+∠C=90°，
∴∠CAD=∠DBH，
在△BDH和△ADC中，
∠DBH=∠CAD，
BD=AD，
∠BDH=∠ADC，
∴△BDH≌△ADC. (ASA)
（答案不唯一，也可以添加条件DH=DC，BH=AC.）
知识点1 判定直角三角形全等的条件：斜边、直角边
（第1题）
1. 如图，于点 ，
于点，且，则 与
全等的理由是( )
D
A. B. C. D.
返回
（第2题）
2.如图，已知，是 的两条高
线，， ，则 的
度数为____.
返回
（第3题）
3.如图，点在上，于点 ，
交于点， ，
.若 ，则 的度
数为____.
返回
知识点2 直角三角形全等的判定的应用
4.和如图所示， .
（1）若, ,则
的依据是
“_____”；
（2）若,,则 的依据是
“_____”；
（3）若,,则 的依据是
“____”；
（4）若,,则 的依据是
“_____”.
返回
5.如图，在中， ，
，，过点作 .如果点
，分别在， 上运动，并且始终保持
，那么当______时， 与
全等.
6或8
【点拨】与全等，， 分两种情
况：与是对应边时，；与 是对
应边时，.综上所述，当或8时，
与 全等.
返回
斜边
直角边
内容
前提条件
使用方法
斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等
在直角三角形中
只需找除直角外的两个条件即可（两个条件中至少有一个是一对边相等）
用“HL”判定两个直角三角形全等
谢谢观看！

展开更多......

收起↑