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(共27张PPT)
【2025新教材】沪科版数学 八年级上册
第14章 全等三角形
14.2.3 三边分别相等的两个
三角形
思考：到目前为止，可以作为判定两个三角形全等的方法有几种？
能够完全重合的两个三角形全等.
定义
两边及其夹角分别相等的两个三角形全等.
边角边(SAS)
两角及其夹边分别相等的两个三角形全等.
角边角(ASA)
7 cm
6 cm
5 cm
做一做：用右边三根小棒拼成一个三角形：
7 cm
6 cm
5 cm
跟同组小伙伴拼出的三角形比一比，你发现了什么？
拼出的三角形的大小和形状都是一样的！
14.2.3 三边分别相等的两个三角形 教学课件
一、教学基本信息
授课对象：七年级学生（已掌握全等三角形定义、性质及“SAS”“ASA”判定定理，具备几何作图、推理及动手操作能力）
核心目标：1. 理解“三边分别相等”的含义，掌握全等三角形的“SSS”判定定理；2. 能运用“SSS”定理规范证明两个三角形全等，明确其与“SAS”“ASA”的适用场景；3. 经历“猜想—作图—验证—推理”的探究过程，深化几何直观与逻辑推理能力，感知三角形稳定性。
教学重难点：重点为“SSS”判定定理的推导与应用；难点为“SSS”定理的灵活运用及与其他判定定理的综合选择。
教学准备：PPT课件、硬纸板、直尺、圆规、剪刀、探究任务单（含尺规作图步骤）、三角形与四边形框架模型。
二、教学过程设计（45分钟）
环节一：情境迁移，引出新问（5分钟）
1. 旧知回顾：提问“我们已学哪两种全等三角形判定方法？它们的核心区别是什么？”（引导回答：SAS—两边夹角，ASA—两角夹边，均含“边”与“角”的组合），板书两种方法的符号语言对比。
2. 新情境设问：PPT展示情境——木工师傅要制作一个三角形木架，已知三条边长分别为30cm、40cm、50cm，如何确保做出的木架与设计图全等？提问：“只确定三角形的三边长度，能否保证两个三角形全等？这种判定方法与之前的有何不同？”
3. 实物感知：展示三角形与四边形框架模型，分别拉动框架，让学生观察：三角形框架形状固定（稳定性），四边形框架易变形（不稳定性），引出“三边确定后三角形形状大小唯一”的猜想，明确本节课主题——探究“三边分别相等的两个三角形”是否全等。
设计意图：通过旧知回顾建立认知链条，以木工制作的实际情境和三角形稳定性的实物感知，激发探究需求，凸显“SSS”定理的实用价值。
环节二：探究新知——SSS判定定理的推导（18分钟）
本环节延续前序探究思路，通过“明确概念—尺规作图—验证猜想—定理总结”，层层递进构建“SSS”定理，强化尺规作图的规范操作。
1. 概念明确：“三边分别相等”的含义
教师在黑板画△ABC，标注AB=3cm，BC=4cm，AC=5cm，解释：“‘三边分别相等’指两个三角形的三条边一一对应相等，即△ABC的AB对应△DEF的DE，BC对应EF，AC对应DF，且AB=DE、BC=EF、AC=DF，无‘夹边’‘夹角’的位置限制。”
即时辨析：强调“对应相等”而非“任意相等”，举例说明“AB=EF、BC=DF、AC=DE”仍为三边对应相等，明确对应关系的本质。
2. 动手操作：尺规作图构造三边相等的三角形
活动1——“全等三角形构造”实验，学生分组按以下尺规作图步骤操作，教师巡回指导规范：
1. 作线段BC=4cm（用直尺画定长线段，标注B、C）；
2. 以点B为圆心，3cm为半径画弧（圆规半径固定为3cm，圆心固定在B）；
3. 以点C为圆心，5cm为半径画弧（圆规半径调整为5cm，圆心固定在C），两弧交于点A；
4. 连接AB、AC，得到△ABC；
5. 另取硬纸板，重复上述步骤，作△DEF，使DE=3cm，EF=4cm，DF=5cm（确保三边与△ABC对应相等）。
教师强调尺规作图要点：圆规半径需准确，画弧时保持圆心固定，两弧交点即为三角形的第三个顶点。
3. 验证猜想：叠合与推理双重验证
活动2——学生完成双重验证并记录结果：
- 直观验证：将制作的△ABC与△DEF沿对应边叠放，观察三边及三个角是否完全重合，确认两三角形形状大小完全一致；
- 推理验证：结合三角形稳定性的实物感知，说明“三边确定后，三角形的形状和大小唯一确定”，因此三边分别相等的两个三角形必然全等，无需额外角的条件。
学生总结：“三边分别相等的两个三角形能够完全重合”，形成明确结论。
4. 定理总结：SSS判定定理的规范表述
教师结合学生探究结果，给出定理：三边分别相等的两个三角形全等（简称为“边边边”或“SSS”）。
符号语言规范：如图，在△ABC和△DEF中，若AB=DE，BC=EF，AC=DF，则△ABC≌△DEF（SSS）。
对比强化：通过表格梳理三种判定方法的核心区别，明确“SSS”是唯一不含角的判定方法，适用场景为已知三边或可推导出三边相等的情况。
判定方法
核心元素
元素特征
SSS
三边
无角参与，仅边对应相等
SAS
两边、夹角
边与角组合，角为两边夹角
ASA
两角、夹边
角与边组合，边为两角夹边
设计意图：通过尺规作图强化操作规范，结合直观叠合与理性推理验证猜想，再通过对比表格明确三种方法的差异，帮助学生构建清晰的知识体系。
环节三：范例解析——SSS定理的应用（12分钟）
通过基础与进阶范例，示范“SSS”定理的应用场景，强化“找三边对应相等—列条件—写证明”的逻辑，同时渗透“公共边”“等量代换”等隐含条件的挖掘。
1. 基础范例：含公共边的SSS应用
例题1：如图，已知AB=CD，AD=BC，求证：△ABD≌△CDB。
教师示范解题流程：
1. 找对应元素：已知AB=CD，AD=BC（两组边相等），观察图形发现公共边BD=DB（第三组边相等），三组边对应相等，符合SSS条件。
2. 规范证明：
证明：在△ABD和△CDB中，$\left\{ \begin{array}{l} AB=CD\ \ \ \ \ \text{（已知）} \\ AD=BC\ \ \ \ \ \text{（已知）} \\ BD=DB\ \ \ \ \ \text{（公共边）} \end{array} \right.$∴ △ABD≌△CDB（SSS）。
3. 易错提醒：公共边是最常见的隐含条件，需主动标注；书写时对应边的顺序可灵活调整，但需保证一一对应。
2. 进阶范例：含等量代换的SSS应用
例题2：如图，已知AB=DE，AC=DF，BE=CF，求证：△ABC≌△DEF。
学生分组讨论，教师引导突破：
1. 转化边相等：已知BE=CF，需推导出BC=EF（第三组对应边）——∵ BE+EC=BC，CF+EC=EF（线段和的定义），∴ BC=EF（等量代换）。
2. 完整证明：
证明：∵ BE=CF（已知），∴ BE+EC=CF+EC（等式性质），即BC=EF。在△ABC和△DEF中，$\left\{ \begin{array}{l} AB=DE\ \ \ \ \ \text{（已知）} \\ AC=DF\ \ \ \ \ \text{（已知）} \\ BC=EF\ \ \ \ \ \text{（已证）} \end{array} \right.$∴ △ABC≌△DEF（SSS）。
3. 思路提炼：当直接给出的边不满足对应时，可通过“线段和差”“等量代换”等方式转化，构建SSS所需的三组对应边。
设计意图：基础范例强化公共边的隐含条件挖掘，进阶范例体现边的转化思想，培养学生“由已知推未知”的逻辑推理能力，衔接线段和差的几何知识。
环节四：巩固练习，分层提升（7分钟）
设计梯度练习，覆盖“基础应用—定理辨析—综合拓展”，针对性强化“SSS”定理的理解与灵活运用，同时渗透判定方法的选择技巧。
1. 基础题：补充条件证全等
如图，已知AB=AC，BD=CD，要证明△ABD≌△ACD，还需用到的条件是______（公共边），请写出完整证明过程。
答案提示：AD=AD，证明略（利用AB=AC，BD=CD，AD=AD，用SSS判定）。
2. 辨析题：判定方法的选择
给出三组三角形全等的已知条件，让学生选择合适的判定方法：
- ① 已知∠A=∠D，AB=DE，∠B=∠E——ASA；
- ② 已知AB=DE，∠A=∠D，AC=DF——SAS；
- ③ 已知AB=DE，BC=EF，AC=DF——SSS。
引导总结选择技巧：已知两角优先考虑ASA；已知两边先看是否有夹角，有则SAS，无则考虑SSS或补充条件。
3. 综合题：SSS与全等性质的融合
如图，已知AB=CD，AD=BC，求证：∠A=∠C。
提示：先证△ABD≌△CDB（SSS），再利用全等三角形对应角相等得∠A=∠C，证明过程略。
设计意图：基础题巩固定理应用，辨析题强化方法选择能力，综合题体现“判定—性质”的完整应用链条，提升学生的综合解题能力。
环节五：总结升华，拓展延伸（3分钟）
1. 知识梳理：引导学生用思维导图总结全等三角形判定方法体系：
SSS：三边对应相等（无角参与，适用于已知三边或可推三边的情况）；
2. SAS：两边夹角（边角组合，需注意“夹角”）；
3. ASA：两角夹边（角边组合，需注意“夹边”）；
4. 核心：根据已知条件选择最优方法，均需保证“对应”关系。
5. 联系生活：解释生活中三角形稳定性的应用（如自行车车架、篮球架支架），呼应开篇情境。
6. 课后任务：
必做：教材对应习题，完成“SSS证明—方法选择”类题目；
7. 选做：用尺规作图作一个三角形，使它的三边分别等于已知△ABC的三边，写出作图步骤并与原三角形叠合验证。
三、板书设计
14.2.3 三边分别相等的两个三角形
一、回顾与引入
1. 已学判定：SAS（两边夹角）、ASA（两角夹边）
2. 新问题：三边确定→三角形全等？（三角形稳定性）
二、SSS判定定理
1. 内容：三边分别相等的两个三角形全等
简称：边边边（SSS）
2. 符号语言：
在△ABC和△DEF中
$\left\{ \begin{array}{l} AB=DE（已知） \\ AC=DF（已知） \\ BC=EF（已知） \end{array} \right.$
∴ △ABC≌△DEF（SSS）
3. 三种方法对比：
方法 核心元素 适用场景
SSS 三边对应相等 已知三边或可推三边
SAS 两边、夹角 已知两边及夹角
ASA 两角、夹边 已知两角及夹边
三、应用要点
1. 挖隐含条件：公共边、线段和差
2. 证全等步骤：已知→推边相等→列条件→得结论
3. 用性质：全等→对应边/角相等
四、思想方法：转化思想、对应思想
四、教学反思（课后填写）
1. 学生尺规作图的规范性如何？“以定点为圆心、定长为半径画弧”的操作是否需要加强指导？
学生在含等量代换的题目中，能否主动通过线段和差转化边相等？常见的转化障碍有哪些？
在多种判定方法可选的题目中，学生是否能根据已知条件快速选择最优方法？需加强哪些对比练习？
已知：如图，△ABC.
求作：△A′B′C′，使 A′B′=AB ，B′C′=BC， C′A′=CA.
A
B
C
(2)分别以点B′，C′为圆心，BA，CA的长为半径画弧，两弧相交于点A′；
(3)连接A′B′，A′C′.
作法：
(1)如图，作线段B′C′=BC；
则△A'B'C' 就是所求作的三角形．
B′
C′
A′
思考：将所作的△A′B′C′ 剪下来，放到△ABC 上，看看它们能否完全重合.由此你能得到什么结论？
三边分别相等的两个三角形全等，简记为“边边边”或“SSS”.
由上可得如下的基本事实：
A
B
C
B′
C′
A′
B′
A′
C′
B
A
C
几何语言:
如图，在△ABC与△A'B'C'中：
∴△ABC≌△A′B′C′ . (SSS)
AB=A'B'，
BC=B'C'，
AC=A'C'，
三边分别相等的两个三角形全等，简记为“边边边”或“SSS”.
例5 已知：如图，点B，E，C，F在同一直线上，AB=DE，AC=DF，BE=CF.
求证：AB∥DE，AC∥DF.
通过证明角相等来证明线平行
A
D
B
E
C
F
证明△ABC≌△DEF
AB=DE (已知)
AC=DF (已知)
BC=EF
BE=CF
BE+EC=CF+EC
我们在找相等的边时，注意隐含的条件：相等的边之间的差或和.
例5 已知：如图，点B，E，C，F在同一直线上，AB=DE，AC=DF，BE=CF.
求证：AB∥DE，AC∥DF.
A
D
B
E
C
F
证明：∵BE = CF，(已知)
∴BE + EC= CF + EC，(等式的性质)
即 BC = EF.
在△ABC 和△DEF 中，
∴△ABC≌△DEF (SSS).
AB = DE，(已知)
AC = DF，(已知)
BC = EF，(已证)
∴∠B = ∠DEF，∠ACB = ∠F.
(全等三角形的对应角相等)
∴AB∥DE，AC∥DF.
(同位角相等，两直线平行)
∵
练一练
1.如图，C 是 BF 的中点，AB = DC，AC = DF.
求证：△ABC≌△DCF.
在△ABC 和△DCF 中，
AB = DC
∴△ABC≌△DCF .(SSS)
，(已知)
，(已证)
AC = DF
BC = CF
证明：∵ C 是 BF 中点，
∴ BC = CF.
，(已知)
2.已知：如图，点 B、E、C、F 在同一直线上，AB = DE，AC = DF，BE = CF.
求证：(1)△ABC≌△DEF；
(2)∠A =∠D.
∴△ABC≌△DEF (SSS).
在△ABC 和△DEF 中，
AB = DE，
AC = DF，
BC = EF，
证明：(1)∵ BE = CF，
即 BC = EF.
∴ BE + EC = CF + CE，
(2) ∵△ABC≌△DEF (已证)，
∴∠A =∠D (全等三角形对应角相等).
(1)将三根木条用钉子钉成一个三角形木架，然后扭动它，你能发现什么？
做一做
(2)将四根木条用钉子钉成一个三角形木架，然后扭动它，你能发现什么？
(3)在四边形木架上再钉上一根木条，将它的一对顶点连接起来，然后再扭动它，看看有什么变化？
四边形木架会变形，但三角形的木架能固定住.
只要三角形三边的长度确定了，这个三角形的形状和大小就完全确定，这个性质叫作三角形的稳定性.
你能说出它的原理吗？
三角形的稳定性
SSS
你能举出一些现实生活中的应用了三角形稳定性的例子吗
随堂演练
【教材P102 练习 T1】
解:(1)和(10)，(2)和(6)，(3)和(5)，(4)和(8)，(7)和(9).
2.已知：如图，在△ABC中，AB=AC．点D，E在BC上，且AD=AE，BE= CD.
求证：△ABD≌△ACE.
【教材P102 练习 T2】
E
D
B
A
C
证明：∵BE=CD，(已知)
∴ BE–DE=CD–DE，(等式的性质)
即BD=CE.
在△ABD和△ACE中，
∴ △ABD≌△ACE.(SSS)
AB=AC，(已知)
AD=AE，(已知)
BD=CE， (已证)
3.七年级时我们学习了如何用尺规作一个角等于已知角，请说出这种作法的依据.
【教材P100 练习 T3】
已知：∠AOB(如图①).求作:∠DEF，使∠DEF=∠AOB.
作法如下：(1)在∠AOB上以O为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA、OB于点P、Q；
(2)作射线EG；
(3)以点E为圆心，OP长为半径画弧，交EG于点D；
(4)以点D为圆心，PQ长为半径画弧，交第(3)步中所画弧于点F；
(5)作射线EF，如图②. ∠DEF即为所求作的角.
证明如下：连接PQ、DF，如图，由作法可知OP=OQ=EF=ED，PQ=DF.在△OPQ和△EDF中，因为OP=ED，OQ=EF，PQ=DF，所以△OPQ≌△EDF (SSS)，所以∠POQ=∠DEF，即∠AOB=∠DEF.
4.如图，AB＝AC，BD＝CD，BH＝CH，图中有几组全等的三角形？它们全等的条件是什么？
H
D
C
B
A
△ABD≌△ACD (SSS)
AB = AC，
BD = CD，
AD = AD，
△ABH≌△ACH (SSS)
AB = AC，
BH = CH，
AH = AH，
△BDH≌△CDH (SSS)
BH = CH，
BD = CD，
DH = DH，
知识点1 判定三角形全等的条件：边边边
1.［2024德州］如图，是的中点， ，请添加一
个条件________________________，使 .
（答案不唯一）
（第1题）
返回
（第2题）
2. 如图，在和 中，
，，要利用“ ”来
判定 ，有下面4个条
件：； ；
； .其中可利用
的是( )
A
A. ①或② B. ②或③ C. ①或③ D. ①或④
返回
3.如图，是 的中点，
, .试说明：
.
【解】是的中点， .
在和中，
.
返回
知识点2 “边边边”判定三角形全等的应用
4. ［2025合肥校级月考］如图是一个平分角
的简单仪器，其中， ，将点
放在角的顶点，和 沿着角的两边放下，
沿画一条射线，则就是 的平分
线.在这个过程中与 全等，全等
的理由是___.
D
A. B. C. D.
返回
（第5题）
5. 如图，已知， ，
，有下列结论： ；
； ；
.其中错误的是( )
D
A. ①② B. ②③ C. ③④ D. ④
返回
6. 阅读以下作图步骤：①如图在和 上
分别截取,,使 ;
②分别以,为圆心，以大于 的长为半径作弧，两弧在
内交于点 ;
③作射线,连接, ,如图所示.
根据以上作图，一定可以推得的结论是 ( )
A
（第6题）
A. 且
B. 且
C. 且
D. 且
知识点3 三角形的稳定性
（第7题）
7.［2025泸州期中］2024年9月27日凌晨，合
江榕山长江大桥正式开放交通，长江上再增
一条过江通道，大桥惠及沿线30余万群众.大
桥总长1 513米，其中主桥长1 055米.主桥为
三角形具有稳定性
高低塔双索面叠合梁斜拉桥，桥面上的斜拉钢缆与桥面呈三
角形结构，这样做的数学原理是__________________.
返回
1.三角形全等的判定方法“边边边”
三边分别相等的两个三角形全等，简记为“边边边”或“SSS”.
B′
A′
C′
B
A
C
2.三角形的稳定性
只要三角形三边的长度确定了，这个三角形的形状和大小就完全确定，这个性质叫作三角形的稳定性.
谢谢观看！

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