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(共31张PPT)
【2025新教材】沪科版数学 八年级上册
第14章 全等三角形
14.2.5.2三角形全等判定的
综合应用
复习回顾
判定方法 简称 图示
A
B
C
C'
A'
B'
A
B
C
C'
A'
B'
A
B
C
C'
A'
B'
A
B
C
C'
A'
B'
三边分别相等
两边及其夹角分别相等
两角及其夹边分别相等
两角分别相等且其中一组等角的对边相等
SSS
SAS
AAS
ASA
HL
斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等
A
B
C
C'
A'
B'
推进新课
D
C
A
B
E
F
1
2
例8 已知：如图，AB = CD ，BC = DA，E，F 是 AC 上的两点，且 AE = CF.
求证：BF = DE.
证明△BCF≌△DAE
BC=DA (已知)
CF=AE (已知)
∠1=∠2
证明△ABC≌△CDA
AB=CD (已知)
BC=DA (已知)
AC=CA (公共边)
14.2.5.2 三角形全等判定的综合应用 教学课件
一、教学基本信息
授课对象：七年级学生（已掌握SSS、SAS、ASA、AAS、HL五种全等判定定理，具备基础几何推理能力，但综合应用与方法选择能力较弱）
核心目标：1. 系统梳理全等三角形的判定方法，明确不同定理的适用场景；2. 能根据图形特征与已知条件，精准选择判定定理解决“证全等、推边/角相等、实际应用”等综合问题；3. 掌握“找隐含条件、作辅助线、转化图形”等解题技巧，培养逻辑推理与几何直观能力。
教学重难点：重点为全等判定定理的灵活选择与综合应用；难点为复杂图形中隐含条件的挖掘（如公共边、对顶角）及辅助线的构造（如作高、连线段）。
教学准备：PPT课件（含典型例题图形）、几何画板、探究任务单（分题型整理习题）、三角板。
二、教学过程设计（45分钟）
环节一：知识梳理，构建体系（5分钟）
1. 判定方法回顾：引导学生用“口诀+符号”形式梳理五种判定定理，教师板书总结：
SSS：三边对应相等（无角需用，已知三边或可推三边）
2. SAS：两边夹一角（已知两边及夹角，注意“夹”的位置）
3. ASA：两角夹一边（已知两角及夹边，边是公共边常用）
4. AAS：两角及对边（已知两角及非夹边，由内角和推导）
5. HL：斜边+直角边（仅适用于直角三角形，优先用特殊方法）
6. 方法选择口诀：师生共同提炼解题口诀：“已知两边，找夹角（SAS）或第三边（SSS）；已知两角，找夹边（ASA）或对边（AAS）；直角三角形，先看斜边直角边（HL），再想普通方法。”
7. 核心提醒：强调“对应”是前提——边、角必须一一对应，不可错位；“隐含条件”是关键——公共边、公共角、对顶角、等式性质（如线段和差、角的和差）常作为隐藏条件。
设计意图：通过口诀化梳理与场景归类，帮助学生建立“条件→方法”的直接关联，为综合应用奠定知识基础。
环节二：题型突破，掌握技巧（30分钟）
本环节按“基础巩固→进阶突破→实际应用”分层设计题型，每类题型遵循“例题示范→变式练习→思路总结”的流程，强化解题逻辑。
题型一：基础型——直接找条件证全等（8分钟）
特征：图形简单，已知条件直接或隐含明显（公共边、对顶角等），只需选择一种判定定理即可证明。
例题1：如图，已知AB=CD，AE=DF，BE=CF，求证：△ABE≌△DCF。
教师示范解题步骤：
找已知条件：AB=CD（已知），AE=DF（已知），BE=CF（已知）——三组边对应相等。选判定方法：SSS（三边对应相等）。规范证明：
证明：在△ABE和△DCF中，
$\left\{ \begin{array}{l} AB=CD\ \ \ \ \ \text{（已知）} \\ AE=DF\ \ \ \ \ \text{（已知）} \\ BE=CF\ \ \ \ \ \text{（已知）} \end{array} \right.$
∴ △ABE≌△DCF（SSS）。
变式练习：如图，已知∠1=∠2，∠B=∠D，AB=AD，求证：△ABC≌△ADE。（提示：∠1=∠2→∠BAC=∠DAE，用ASA或AAS证明）
思路总结：基础题解题步骤——① 标已知：在图形上标注已知的边、角相等关系；② 找隐含：识别公共边、对顶角等隐藏条件；③ 定方法：根据边、角条件匹配判定定理；④ 写证明：按“已知→推证→结论”规范书写。
题型二：进阶型——含“边/角转化”的综合证明（12分钟）
特征：已知条件需通过“线段和差、角的和差、等式性质”转化后，才能匹配判定定理，常涉及“证全等→推边/角相等→再证新全等”的多步推理。
例题2：如图，已知AB=AC，AD=AE，∠BAD=∠CAE，求证：① △ABD≌△ACE；② BD=CE。
教师引导突破：
角的转化：已知∠BAD=∠CAE，需推导出∠BAD+∠DAC=∠CAE+∠DAC（等式性质），即∠BAC=∠DAE（对应角相等）。证全等：在△ABD和△ACE中，AB=AC，∠BAD=∠CAE，AD=AE，符合SAS条件，故△ABD≌△ACE。推边相等：由全等三角形对应边相等，直接得BD=CE。
变式练习：如图，已知AB=CD，BC=DA，E、F是AC上两点，且AE=CF，求证：BF=DE。（提示：先证△ABC≌△CDA（SSS），再证△ABF≌△CDE（SAS））
思路总结：进阶题解题关键——“转化”：① 边的转化：利用线段和差（如BE=CF→BE+EC=CF+EC）、公共部分抵消；② 角的转化：利用角的和差、对顶角、平行线性质（如两直线平行→内错角相等）；③ 多步推理：先证“基础全等”得到新的边/角条件，再证“目标全等”。
题型三：特殊型——含辅助线与直角三角形的应用（6分钟）
特征：图形中缺少直接条件，需构造辅助线（如连接公共边、作高、作角平分线）；或涉及直角三角形，需灵活选择HL与普通判定定理。
例题3：如图，已知在四边形ABCD中，∠B=∠D=90°，AB=AD，求证：△ABC≌△ADC。
教师示范辅助线构造：
作辅助线：连接AC（构造公共边，将四边形转化为两个直角三角形）。选判定方法：△ABC和△ADC均为直角三角形，AB=AD（已知），AC=AC（公共斜边），符合HL条件。规范证明：连接AC，∵ ∠B=∠D=90°，∴ △ABC和△ADC是Rt△。在Rt△ABC和Rt△ADC中，$\left\{ \begin{array}{l} AB=AD \\ AC=AC \end{array} \right.$，∴ Rt△ABC≌Rt△ADC（HL）。
思路总结：辅助线构造技巧——① 连接两点：构造公共边或把分散图形集中；② 作高：在直角三角形或需转化角时使用；③ 截长补短：当涉及线段和差时构造相等边。
题型四：实际应用型——全等在测量中的应用（4分钟）
特征：结合生活场景（如测量池塘距离、工件检验），需将实际问题转化为“证全等”的几何模型。
例题4：如图，工人师傅要测量池塘两端A、B的距离，无法直接测量，你能利用全等知识设计方案吗？
学生分组讨论，教师总结最优方案：
构造全等：在平地上取一点C，使C能到达A、B，连接AC并延长至D，使CD=AC；连接BC并延长至E，使CE=BC。原理：△ABC≌△DEC（SAS：AC=CD，∠ACB=∠DCE，BC=CE），故DE=AB，测量DE的长度即为AB的距离。
思路总结：实际问题解题步骤——① 建模：将实际距离转化为三角形的边；② 构造：设计全等三角形，使未知边与已知边成为对应边；③ 测量：测量已知边长度得到未知边。
环节三：错题辨析，规避误区（5分钟）
展示学生常犯的三类错误，引导分析原因并修正：
1. 误区1：忽略“对应”关系：如已知AB=DE，AC=DF，∠B=∠E，误用SAS判定△ABC≌△DEF。（修正：∠B是AC的对角，非AB与AC的夹角，不能用SAS，需补充条件）
2. 误区2：滥用HL定理：在非直角三角形中用HL判定全等。（修正：HL仅适用于Rt△，普通三角形需用SSS、SAS等）
3. 误区3：证明过程不规范：缺少关键推理步骤（如未证角相等直接用ASA）。（修正：每一步结论需有依据，如“已知”“等式性质”“平行线性质”等）
设计意图：通过错题辨析，强化学生对“对应”“定理适用范围”“规范书写”的重视，规避常见错误。
环节四：总结升华，提炼思想（5分钟）
1. 解题流程梳理：师生共同总结综合题解题“四步法”：
① 审：审清题目要求（证全等/推边角/实际应用）；
2. ② 找：找已知条件、隐含条件（公共边/角等）；
3. ③ 定：定判定定理（根据边角条件匹配方法）；
4. ④ 写：写规范证明过程（依据充分，逻辑连贯）。
5. 核心思想提炼：强调本节课的核心数学思想——
转化思想：将复杂图形转化为简单三角形，将未知边/角转化为全等三角形的对应边/角；
6. 建模思想：将实际问题转化为几何全等模型；
7. 分类讨论思想：根据不同已知条件分类选择判定定理。
8. 课后任务：
必做：完成“基础型+进阶型”习题各3道，规范书写步骤；
9. 选做：设计“测量河宽”的另一种全等方案，画出示意图并说明原理。
三、板书设计
14.2.5.2 三角形全等判定的综合应用
一、判定方法梳理（口诀）
已知两边：找夹角（SAS）或第三边（SSS）
已知两角：找夹边（ASA）或对边（AAS）
直角三角形：先HL，再普通方法
关键：对应、隐含条件（公共边/角、对顶角）
二、核心题型与技巧
1. 基础型：标条件→找隐含→定方法
2. 进阶型：边/角转化（和差、等式性质）→多步推理
3. 特殊型：辅助线构造（连AC、作高）→HL应用
4. 实际型：建模→构造全等→测量
三、解题四步法
审→找→定→写（依据充分，逻辑连贯）
四、核心思想
转化思想、建模思想、分类讨论思想
四、教学反思（课后填写）
1. 学生在多步推理题中，能否主动进行边/角转化？常见的转化障碍是什么？
2. 辅助线构造是学生的薄弱点，是否需要增加“单一图形+固定辅助线”的专项练习？
3. 学生对实际问题的建模能力如何？能否快速将生活场景转化为几何全等问题？
D
C
A
B
E
F
1
2
例8 已知：如图，AB = CD ，BC = DA，E，F 是 AC 上的两点，且 AE = CF.
求证：BF = DE.
证明：在△ABC 和△CDA 中，
∴△ABC≌△CDA .(SSS)
∴∠1 = ∠2. (全等三角形的对应角相等)
AB = CD ，(已知)
BC = DA， (已知)
CA = AC，(公共边)
∵
D
C
A
B
E
F
1
2
例8 已知：如图，AB = CD ，BC = DA，E，F 是 AC 上的两点，且 AE = CF.
求证：BF = DE.
∴ △BCF≌△DAE .(SAS)
∴ BF = DE.(全等三角形的对应边相等)
在△BCF 和△DAE 中
BC = DA，(已知)
∠1 =∠2，(已证)
CF = AE，(已知)
∵
例9 求证：全等三角形对应边上的高相等.
已知：如图，△ABC ≌△A′B′C′. AD，A′D′ 分别是△ABC 和△A′B′C′ 对应边上的高.
求证：AD＝ A′D′ .
A
B
C
D
A′
B′
C′
D′
证明 ∵△ABC≌△A′B′C′，(已知)
∴ AB = A'B'，∠B =∠B’.
(全等三角形对应边相等、对应角相等)
∵AD，A′D′分别是△ABC ，△A′B′C′的高，(已知)
∴∠ADB =∠A'D'B' = 90°. (垂直的定义)
在△ABD 和△A'B'D' 中，
∠B =∠B′，(已证)
∠ADB =∠A′D′B′，(已证)
AB = A'B'，(已证)
∴△ABD≌△A'B'D'(AAS).
∵
∴ AD = A'D'.(全等三角形对应边相等)
A
B
C
D
A′
B′
C′
D′
你还有其他的方法吗？
∴ AD = A'D′.(等式的性质)
另证（借助“面积法”来证明）：
∵△ABC≌△A'B'C'，(已知)
∴BC = B'C'，S△ABC= S△A'B'C'
(全等三角形的对应边相等、面积相等)
又∵ S△ABC = ·BC·AD. S△A'B'C' = ·B'C' · A'D'，
∴ ·BC·AD= ·B'C' · A'D'
A
B
C
D
A′
B′
C′
D′
练一练
1.如图，AB=CD，AD=BC，DE=BF. 求证：BE=DF.
证明 如图，连接DB.
在△ABD和△CDB中，
AB=CD，
BD=DB，
AD=CB，
∴△ABD ≌△CDB（SSS）.
∴∠A=∠C.
在△EAB和△FCD中，
AB=CD，
AE=CF，
∠A=∠C，
∴△EAB≌△FCD（SAS）.
∴BE=DF.
1.如图，AB=CD，AD=BC，DE=BF. 求证：BE=DF.
练一练
∵DE=BF，
∴AD+DE=CB+BF，即AE=CF.
2.已知：如图，AB = AC，BD = CD，E 为 AD 上一点，求证： BE = CE.
B
C
A
D
E
证明：在△ABD 和△ACD 中，
AB = AC
BD = CD
AD = AD
，(已知)
，(公共边)
，(已知)
∴ ∠BAD =∠CAD.
∴ BE = CE.
在△ABE 和△ACE 中，
AB = AC
∠BAD =∠CAD
AE = AE
，(已知)
，(公共边)
，(已证)
∴△ABD≌△ACD. (SSS)
∴△ABE≌△ACE. (SAS)
3. 如图，CD⊥AB 于 D 点，BE⊥AC 于 E 点，BE，CD交于 O 点，且 AO 平分∠BAC.
求证：OB＝OC.
证明：∵BE⊥AC，CD⊥AB，
∴∠ADC＝∠BDC＝∠AEB＝∠CEB＝90°.
∵AO 平分∠BAC，
∴∠1＝∠2.
在△AOD 和△AOE 中，
∴△AOD≌△AOE. (AAS)
∴ OD＝OE.
∠ADO＝∠AEO，
∠1＝∠2，
OA＝OA，
3. 如图，CD⊥AB 于 D 点，BE⊥AC 于 E 点，BE，CD交于 O 点，且 AO 平分∠BAC.
求证：OB＝OC.
∠BDO＝∠CEO，
∠BOD＝∠COE，
OD＝OE，
在△BOD 和△COE 中，
∴△BOD≌△COE. (ASA)
∴ OB＝OC.
随堂演练
1.已知：如图，AB//CD，AB=CD，AD与BC交于点O. EF过点O，分别交AB，CD于点E，F.
求证：OE=OF.
【教材P109 练习 T1】
证明：∵AB//CD，(已知)
∴∠A=∠D，∠B=∠C.(两直线平行，内错角相等)
又∵AB=DC，(已知)
∴△ABO≌△DCO.(ASA)
∴OA=OD.(全等三角形的对应边相等)
在△AOE和△DOF中，
∠A＝∠D，(已证)
∠AOE＝∠DOF，(对顶角相等)
OA＝OD，(已证)
∴△AOE≌△DOF.(ASA)
∴OE=OF. (全等三角形的对应边相等)
2.已知：如图，AB=AD，AC=AE，∠BAE=∠DAC，AC，DE交于点N，AE，BC交于点M.
(1)求证：△ABC≌△ADE；
【教材P109 练习 T2】
证明：∵∠BAE=∠DAC，(已知)
∴∠BAE+∠EAC=∠DAC+∠EAC，(等式的性质)
即∠BAC=∠DAE.
在△ABC和△ADE中，
AB＝AD，(已知)
AC＝AE，(已知)
∠BAC＝∠DAE，(已证)
∴△ABC≌△ADE.(SAS)
2.已知：如图，AB=AD，AC=AE，∠BAE=∠DAC，AC，DE交于点N，AE，BC交于点M.
(2)BM=DN成立吗？为什么？
【教材P109 练习 T2】
解：BM=DN成立. 理由：
∵△ABC≌△ADE，(已证)
∴∠B=∠D. (全等三角形的对应角相等)
在△ABM和△ADN中，
∠BAM=∠DAN，(已知)
∠B=∠D，(已证)
AB=AD，(已知)
∴△ABM≌△ADN.(ASA)
∴BM=DN. (全等三角形的对应边相等)
3.求证：全等三角形对应边上的中线相等.
【教材P109 练习 T3】
已知：如图所示，△ABC≌△A′B′C′，AD是BC边上的中线，A′D′是B′C′边上的中线.
求证：AD=A′D′.
证明：∵△ABC≌△A'B'C'，(已知)
∴∠B=∠B′，AB=A′B′，BC=B′C′.
(全等三角形的对应角相等，对应边相等)
又∵D，D′分别是BC，B′C′边的中点，(已知)
∴BD=BC，B′D′=B′C′.
∴BD=B′D′. (等量代换)
3.求证：全等三角形对应边上的中线相等.
【教材P109 练习 T3】
在△ABD和△A′B′D′中，
AB=A′B′，(已证)
BD=B′D′，(已证)
∠B=∠B′，(已证)
∴△ABD≌△A′B′D′.(SAS)
∴AD=A′D′ (全等三角形的对应边相等)
应用1 用“SAS”判定两个三角形全等
1.如图，已知,,且 ,
, ,直线交于点，交
于点，则 的度数为______.
【点拨】, ，
,
, ,
,
.
.
, ,
,
.
返回
2.如图，四边形的各内角均为直角， ,
，点,分别是,的中点.动点从点 出发，
沿折线向终点运动，过点作于点 ，连
接，.设点运动时间为秒 .
（1）当点运动到的中点时，求证： ；
【证明】当点运动到的中点时， .
点，分别是，的中点， ，
， .
, , ，
.
（2）若点 以每秒2个单位的速度运动.
①如图①，当点在边上时，___（用含 的代数式表
示）;
②如图②，当点在边上时（点不与点 重合），易知
，若，求 的值;
【解】当点在边上时（点不与点 重合），
由题意得， ，
.
，，解得或 .
（3）若点以每秒个单位的速度运动，当 时，恰好
与全等，直接写出所有满足条件的 的值.
【解】或或.【点拨】若点以每秒 个单位
的速度运动， 时，
当点在边上时，与 全等，
易得, ,
，解得 ；
当点在边上时，与 全等，
易得 .
，，解得或 .
综上，或或 .
返回
全等三角形
对应边上的高相等
对应边上的中线相等
对应角的平分线相等
面积相等
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