资源简介

(共31张PPT)
【2025新教材】沪科版数学 八年级上册
第15章 轴对称图形与等腰三角形
15.1.3平面直角坐标系中的轴对称图形
1. 探究在平面直角坐标系中关于 x 轴和 y 轴对称点的坐标特点.（重点）
2. 能在平面直角坐标系中画出一些简单的关于 x 轴和 y 轴的对称图形.（重点）
3. 能运用坐标系中的轴对称特点解决简单的问题.（难点）
15.1.3 平面直角坐标系中的轴对称图形 教学课件
一、教学基本信息
授课对象：七年级学生（已掌握轴对称、轴对称图形的定义性质，及平面直角坐标系的基本概念，具备基础数形结合能力）
核心目标：1. 掌握平面直角坐标系中，点关于x轴、y轴对称的坐标变化规律；2. 能根据坐标规律，求已知点的对称点坐标，及画图形关于坐标轴对称的对称图形；3. 经历“观察—猜想—验证—应用”的过程，深化数形结合思想，提升图形与坐标转化能力。
教学重难点：重点为点关于x轴、y轴对称的坐标规律及应用；难点为利用坐标规律绘制复杂图形的对称图形，及规律的逆向应用（由对称点坐标求原点点坐标）。
教学准备：PPT课件（含坐标系网格图）、几何画板、方格坐标纸、直尺、圆规。
二、教学过程设计（45分钟）
环节一：旧知融合，情境导入（5分钟）
1. 双旧知回顾：提问①“什么是轴对称图形？成轴对称的两个图形有何性质？”（对应点连线被对称轴垂直平分）；②“平面直角坐标系中，点的坐标由什么确定？”（横坐标、纵坐标），并在黑板画出简易坐标系标注点(2,3)。
2. 情境设问：PPT展示坐标系中的△ABC，及它关于y轴的对称图形△A'B'C'，提问：“已知A点坐标(1,2)，你能猜出它的对称点A'的坐标吗？图形的轴对称在坐标系中会体现为坐标的什么变化规律？”
3. 引出课题：明确本节课主题——探究平面直角坐标系中，轴对称图形的点的坐标变化规律，利用规律解决坐标求解与图形绘制问题，实现“图形对称”与“坐标计算”的转化。
设计意图：通过双旧知回顾搭建认知桥梁，以坐标系中对称图形的坐标猜想激发探究兴趣，凸显本节课“数形结合”的核心特征。
环节二：探究新知，总结规律（18分钟）
本环节通过“描点—观察—验证—总结”，分层探究点关于x轴、y轴的坐标规律，突破“规律记忆与理解”的核心。
1. 探究点关于x轴对称的坐标规律
活动1——“描点与找对称点”：学生在方格坐标纸上完成操作：
在平面直角坐标系中描出点A(2,3)、B(-1,2)、C(3,-2)、D(-2,-1)；画出各点关于x轴的对称点，标注为A 、B 、C 、D ；记录原点点坐标与对称点坐标，填入表格：
原点点坐标
关于x轴对称的点的坐标
A(2,3)
A (2,-3)
B(-1,2)
B (-1,-2)
C(3,-2)
C (3,2)
D(-2,-1)
D (-2,1)
学生观察总结：“关于x轴对称的点，横坐标不变，纵坐标互为相反数”。教师验证：结合轴对称性质，x轴是对应点连线的垂直平分线，横坐标到x轴距离不变，纵坐标符号相反，规律成立。
2. 探究点关于y轴对称的坐标规律
活动2——“类比探究”：学生以小组为单位，类比上述步骤，描出A、B、C、D关于y轴的对称点A 、B 、C 、D ，记录坐标并总结规律：
原点点坐标关于y轴对称的点的坐标A(2,3)A (-2,3)B(-1,2)B (1,2)C(3,-2)C (-3,-2)D(-2,-1)D (2,-1)
小组汇报规律：“关于y轴对称的点，纵坐标不变，横坐标互为相反数”。教师强化：结合坐标系，y轴为对称轴时，纵坐标到y轴距离不变，横坐标符号相反，与轴对称性质一致。
3. 规律口诀与逆向应用
师生共同提炼记忆口诀：“关于x轴，横不变，纵相反；关于y轴，纵不变，横相反”。
逆向练习：已知点P关于x轴的对称点为(4,-5)，求P点坐标（答案：(4,5)）；已知点Q关于y轴的对称点为(-3,2)，求Q点坐标（答案：(3,2)），强化规律的双向应用。
设计意图：通过描点操作让学生自主发现规律，结合轴对称性质验证规律合理性，口诀化记忆与逆向练习强化规律掌握，实现“图形→坐标→规律”的完整探究链。
环节三：范例解析，巩固应用（15分钟）
通过“坐标求解—图形绘制—综合应用”三类题型，强化坐标规律的灵活运用，提升数形结合能力。
1. 基础题型：对称点坐标的直接求解
例题1：已知点M(-2,5)，求：① 点M关于x轴的对称点M 的坐标；② 点M关于y轴的对称点M 的坐标；③ 点M 关于y轴的对称点M 的坐标。
解析：根据规律计算，① 关于x轴：横不变纵相反→M (-2,-5)；② 关于y轴：纵不变横相反→M (2,5)；③ M (-2,-5)关于y轴→M (2,-5)。
技巧总结：多个对称变换时，分步应用规律，可结合坐标系验证结果。
2. 进阶题型：利用坐标规律绘制对称图形
例题2：如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点坐标分别为A(1,3)、B(3,1)、C(-1,-1)，画出△ABC关于x轴的对称图形△A B C ，并写出A 、B 、C 的坐标。
教师示范“四步画法”：
写对称点坐标：根据规律求出A (1,-3)、B (3,-1)、C (-1,1)；描对称点：在坐标系中准确描出A 、B 、C ；连图形：顺次连接A 、B 、C ，得到对称图形；标坐标：在对应顶点旁标注对称点坐标。
变式练习：画出上述△ABC关于y轴的对称图形△A B C ，对比△A B C 与△A B C 的位置关系（关于原点中心对称，为后续知识铺垫）。
3. 综合题型：对称图形的坐标应用
例题3：已知平面直角坐标系中，四边形ABCD的顶点坐标为A(2,4)、B(4,2)、C(2,0)、D(0,2)，判断四边形ABCD是否为轴对称图形，若是，求出对称轴及对称顶点的坐标关系。
解析：① 描点连线得四边形，观察发现其关于y轴对称；② 验证对称点坐标：A(2,4)与D(0,2)不对称，A(2,4)与B(4,2)不对称，进一步观察得关于直线x=1对称（补充规律：关于直线x=a对称，横坐标和为2a，纵坐标不变；关于直线y=b对称，纵坐标和为2b，横坐标不变）；③ 结论：四边形ABCD是轴对称图形，对称轴为直线x=1，对称顶点如A(2,4)与C(2,0)（关于x=1对称，横坐标2+2=4=2×1，纵坐标不变）。
设计意图：基础题巩固定律直接应用，进阶题强化“坐标→图形”的转化，综合题拓展特殊对称轴规律，提升学生灵活应用能力。
环节四：总结升华，拓展延伸（5分钟）
1. 知识梳理：引导学生用思维导图总结核心内容：
核心规律：x轴对称（横不变纵相反），y轴对称（纵不变横相反）；
2. 应用场景：求对称点坐标、画对称图形、判断轴对称性；
3. 思想方法：数形结合（图形对称→坐标变化，坐标变化→图形对称）。
4. 生活应用：介绍坐标对称在地图定位（如对称位置的地标）、游戏设计（如镜像关卡）中的应用，感受数学的实用性。
5. 课后任务：
必做：教材对应习题，完成对称点坐标求解及对称图形绘制；
6. 选做：探究“点关于原点对称的坐标规律”，结合本节课方法自主推导并验证。
三、板书设计
15.1.3 平面直角坐标系中的轴对称图形
一、核心坐标规律（口诀）
关于x轴：横不变，纵相反 → (x,y) → (x,-y)
关于y轴：纵不变，横相反 → (x,y) → (-x,y)
二、规律应用
1. 求对称点坐标：代入规律直接算
2. 画对称图形：
① 求对称点坐标 ② 描点 ③ 连线 ④ 标坐标
3. 判断轴对称性：观察图形+验证坐标规律
三、拓展规律
关于x=a：x +x =2a，y不变
关于y=b：y +y =2b，x不变
四、核心思想：数形结合
图形对称 坐标变化
四、教学反思（课后填写）
1. 学生对坐标规律的记忆是否牢固？在复杂坐标（如负数坐标）的应用中是否会混淆符号？
2. 学生绘制对称图形时，能否先求坐标再描点，而非直接画图？需加强哪些规范引导？
3. 对于直线x=a、y=b这类特殊对称轴，学生能否自主迁移规律？是否需要增加专项探究？
一位外国游客在天安门广场问小明询问西直门的位置，但他只知道东直门的位置，聪明的小明想了想，就准确的告诉了他，你能猜到小明是怎么做的吗？
右图是老北京城的示意图，其中西直门和东直门是关于中轴线对称的.如果以天安门为原点，分别以长安街和中轴线为 x 轴和 y 轴建立平面直角坐标系.
根据如图所示的东直门的坐标，你能说出西直门的坐标吗？
新课导入
用坐标表示轴对称
思考 如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD四个顶点的坐标分别为A(1，1)，B(3，1)，C(3，3)，D(1，3).
新课讲解
(1)分别作出点 A，B，C，D关于 x 轴对称的对应点A1，B1，C1，D1；分别作出点A，B，C，D关于 y 轴对称的对应点 A2，B2，C2，D2；
D1
D2
A1
B1
C1
A2
B2
C2
新课讲解
1.关于 x 轴对称的点的坐标的特点是：
2.关于 y 轴对称的点的坐标的特点是：
（横轴横相等）
（纵轴纵相等）
横坐标相等，纵坐标互为相反数.
横坐标互为相反数，纵坐标相等.
一般地，已知点 P 的坐标为 P (x，y)，则它关于 x 轴对称的点的坐标为 P1( __ , __ )，它关于 y 轴对称的点的坐标为P2 ( __ , __ ).
-y
-x
x
y
要点归纳
D1
D2
A1
B1
C1
A2
B2
C2
点的坐标 A(1, 1) B (3, 1) C (3, 3) D (1, 3)
A1(1,-1)
B1(3,-1)
C1(3,-3)
D1(1,-3)
A2(-1,1)
B2(-3,1)
C2(-3,3)
D2(-1,3)
关于 x 轴对称的点的坐标
关于 y 轴对称的点的坐标
观察下表指出已知点与它关于 x 轴对称的点的坐标有什么关系 已知点与它关于 y 轴对称的点的坐标又有什么关系呢
(2)填写下表：
新课讲解
1. 点 P(-5，6) 与点 Q 关于 x 轴对称，则点 Q 的坐标为__________.
2. 点 M(a，-5) 与点 N(-2，b) 关于 x 轴对称，则
a =___， b =___.
(-5，-6)
-2
5
3. 点 P(-5，6) 与点 Q 关于 y 轴对称，则点 Q 的坐标
为__________.
4. 点 M(a，-5) 与点 N(-2，b) 关于 y 轴对称，
则 a =_____， b =_____.
( 5，6 )
2
-5
新课讲解
例1 如图，四边形ABCD 的四个顶点的坐标分别为
A(-5，1)，B(-2，1)，C(-2，5)，D(-5，4)，分别画出与四边形ABCD 关于 y 轴和 x 轴对称的图形.
C
A
B
D
新课讲解
对于这类问题，只要先求出已知图形中的一些特殊点(如多边形的顶点)的对应点的坐标，描出并连接这些点，就可以得到这个图形的轴对称图形.
在坐标系中作已知图形的对称图形
(一找二描三连）
要点归纳
平面直角坐标系中，△ABC 的三个顶点坐标分别为 A (0，4)，B (2，4)，C (3，－1).
（1）试在平面直角坐标系中，标出 A、B、C 三点；
（2）若△ABC 与△A'B'C' 关于 x 轴对称，画出△A'B'C'，并写出 A'、B'、C' 的坐标.
针对训练：
新课讲解
x
y
O
A(0，4)
B(2，4)
C (3，-1)
A' (0，-4)
B'(2，-4)
C'(3，1)
解：如图所示：
1
1
-1
-1
新课讲解
例2 已知点 A (2a－b，5＋a)，B (2b－1，－a＋b)．
(1) 若点 A、B 关于 x 轴对称，求 a、b 的值；
(2) 若 A、B 关于 y 轴对称，求 (4a＋b)2026 的值．
解：(1) ∵ 点 A、B 关于 x 轴对称，
∴ 2a－b＝2b－1，5＋a－a＋b＝0.
解得 a＝－8，b＝－5.
(2) ∵ A、B 关于 y 轴对称，
∴ 2a－b＋2b－1＝0，5＋a＝－a＋b.
解得 a＝－1，b＝3.
∴ (4a＋b)2026 ＝ 1.
解此类题可根据关于 x 轴、y 轴对称的点的坐标特征列方程(组)求解
新课讲解
例3 已知点 P (a＋1，2a－1)关于 x 轴的对称点在第一象限，求 a 的取值范围．
解：依题意得 P 点在第四象限，
解得
即 a 的取值范围是
方法总结：解决此类题，一般先根据点的坐标关于坐标轴对称，判断出点或对称点所在的象限，再由各象限内坐标的符号，列不等式 (组) 求解．
新课讲解
1.平面直角坐标系内的点 A(-1，2) 与点 B(-1，-2) 关于（　　）
A．y 轴对称 B．x 轴对称
C．原点对称 D．直线 y＝x 对称
2.在平面直角坐标系中，将点 A(-1，2) 向右平移 3 个单位长度得到点 B，则点 B 关于 x 轴的对称点 C 的坐标是（　　）
A．(-4，-2) B．(2，2)
C．(-2，2） D．(2，-2)
D
B
3. 设点 M（x，y）在第二象限，且 | x | = 2，| y | = 3，则点 M 关于 y 轴的对称点的坐标是（　　）
A．（2，3） B．（-2，3）
C．（-3，2） D．（-3，-2）
A
4. 如图，点 P（-1，2）关于过点
（1，0）且垂直于 x 轴的直线 l
对称的点的坐标为（　　）
A．（1，2） B．（2，2）
C．（3，2） D．（4，2）
C
l
O
5.已知点 P(2a + b，-3a) 与点 P′(8，b + 2).
若点 P 与点 P′ 关于 x 轴对称，则 a =___， b =____.
若点 P 与点 P′ 关于 y 轴对称，则 a =____ ，b =____.
2
4
6
-20
6.若| a - 2 | + (b - 5)2 = 0，则点 P(a，b) 关于 x 轴对称的点的坐标为________.
(2，-5)
7.已知△ABC 的三个顶点的坐标分别为 A(-3，5)，
B(-4，1)，C(-1，3)，作出△ABC 关于 y 轴对称的图形.
解：点 A(-3，5)，B(-4，1)，C(-1，3)，
关于 y 轴的对称点分别为
A′(3，5)，B′(4，1)，C′(1，3).
依次连接 A′B′，B′C′，C′A′，
就得到△ABC 关于 y 轴对称的△A′B′C′.
3
1
4
2
5
-2
-1
O
1
2
3
4
5
-4
-3
-2
-1
A
C
B
B′
A′
C′
x
y
8.已知点 A(2a + b，-4)，B(3，a - 2b)关于 x 轴对称，求点 C(a，b) 在第几象限？
解：∵ 点 A(2a + b，-4)，B(3，a - 2b) 关于 x 轴对称，
∴ 2a + b = 3，a - 2b = 4，
解得 a = 2，b = -1．
∴ 点 C(2，-1) 在第四象限．
拓展提升
9.在平面直角坐标系中，规定把一个正方形先沿着 x 轴翻折，再向右平移 2 个单位称为 1 次变换．如图，已知正方形 ABCD 的顶点 A、B 的坐标分别是(-1，-1)、(-3，-1)，把正方形 ABCD 经过连续7次这样的变换得到正方形 A′B′C′D′，求 B 的对应点 B′ 的坐标.
解：根据题意，点 B 的坐标是 (-3，-1)，
∴ 第 1 次变换后的点 B 的对应点的坐标为 (-3 + 2，1)，即 (-1，1)；第 2 次变换后的对应点坐标为 (-1 + 2，-1)，即 (1，-1)；第 3 次变换后的对应点坐标为 (1 + 2，1)，即 (3，1)；…
第 n 次变换后的点 B 的对应点的坐标：当 n 为奇数时为 (2n - 3，1)，当 n 为偶数时为 (2n - 3，-1).
∴ 把正方形 ABCD 经过连续 7 次这样的变换得到正方形A′B′C′D′，则点 B 的对应点 B′ 的坐标是 (11，1).
1. ［2025宝鸡质量检测］在平面直角坐标系中，点
关于轴对称的点 的坐标是( )
D
A. B. C. D.
返回
2.在直角坐标系中，各点的坐标分别为 ,
,.先作关于轴成轴对称的 ,再
把平移后得到.若,则点 的坐标为
______.
返回
知识点2 关于y轴对称的点的坐标
（第3题）
3. 剪纸是我国民间艺
术之一，如图放置的剪纸作品，它的对称
轴与平面直角坐标系的坐标轴重合.则点
关于 轴对称的点的坐标为( )
C
A. B.
C. D.
返回
（第4题）
4. 如图，一次函数的图象与 轴
相交于点，则点关于 轴的对称点是
( )
A
A. B.
C. D.
返回
易错点 混淆轴对称点的横、纵坐标的变化特征导致出错
5.在平面直角坐标系中，点与点关于轴对称，点 与
点关于轴对称.已知，则点 的坐标是_________.
返回
6. 如图，在 的正方形网格中有四个格点
,,, ,以其中一点为原点，网格线所在直线
为坐标轴，建立平面直角坐标系，使其余三
个点中存在两个点关于一条坐标轴对称，则
原点是( )
B
A. 点 B. 点 C. 点 D. 点
返回
7. 如图，在平面直角坐标系中，对
进行循环往复的轴对称变换.若原来点的坐标是 ，
则经过第2 026次变换后，点 的对应点的坐标为_________.
轴对称的坐标表示
关于坐标轴对称的点的坐标特征
在坐标系中作已知图形的对称图形
关于 x 轴对称，横同纵反；关于 y 轴对称，横反纵同
关键要明确点关于 x 轴、y 轴对称的点的坐标变化规律，然后正确描出对称点的位置
谢谢观看！

展开更多......

收起↑