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(共29张PPT)
【2025新教材】沪科版数学 八年级上册
第15章 轴对称图形与等腰三角形
15.2.1线段垂直平分线的
性质与判定
1.理解和掌握线段垂直平分线的性质；（难点）
2.通过观察、实验、猜测、验证与交流等活动，初步形成数学学习的方法.（难点）
15.2.1 线段垂直平分线的性质与判定 教学课件
一、教学基本信息
授课对象：七年级学生（已掌握轴对称、轴对称图形的定义及性质，了解平面直角坐标系中的轴对称规律，具备基础几何推理与动手操作能力）
核心目标：1. 理解线段垂直平分线的定义，掌握其“性质定理”与“判定定理”；2. 能运用线段垂直平分线的性质与判定解决“求距离、证线段相等、判断位置关系”等问题；3. 经历“实验—猜想—证明—应用”的几何探究过程，培养逻辑推理与几何直观能力。
教学重难点：重点为线段垂直平分线的性质定理与判定定理及应用；难点为判定定理的推导过程（逆命题的构造与证明），及性质与判定的灵活区分使用。
教学准备：PPT课件（含动态演示动画）、几何画板、硬纸板、直尺、圆规、铅笔、量角器。
二、教学过程设计（45分钟）
环节一：旧知衔接，情境导入（5分钟）
1. 旧知回顾：提问①“什么是轴对称图形？成轴对称的两个图形中，对应点的连线有什么特征？”（引导回答：沿直线折叠重合；对应点连线被对称轴垂直平分）；②“线段是轴对称图形吗？它的对称轴是什么？”（是；线段的垂直平分线），并在黑板画出线段AB及其中垂线l。
2. 情境设问：PPT展示生活场景——某小区要在A、B两栋楼之间建一个快递柜，要求快递柜到两栋楼的距离相等，快递柜应建在什么位置？引导学生思考：“到线段两端距离相等的点，与线段的垂直平分线有什么关系？”
3. 引出课题：明确本节课主题——线段的垂直平分线不仅是线段的对称轴，还具有特殊的性质，同时也有明确的判定方法，本节课将系统探究其性质、判定及应用，解决上述生活中的位置问题。
设计意图：通过轴对称旧知自然衔接线段垂直平分线的定义，以生活中的位置问题激发探究兴趣，凸显本节课知识的实用性与必要性。
环节二：探究新知一——线段垂直平分线的性质定理（12分钟）
本环节通过“动手实验—猜想结论—严谨证明—符号表示”，逐步推导线段垂直平分线的性质定理，强化“实验→几何证明”的思维转化。
1. 动手实验，提出猜想
活动1——“画一画，量一量”：学生在硬纸板上完成操作：
画一条线段AB，用圆规和直尺画出AB的垂直平分线l，交AB于点O（O为AB中点）；在直线l上任意取3个点P、Q、R（含O点和非O点）；用刻度尺分别测量PA、PB，QA、QB，RA、RB的长度，记录测量结果。
学生汇报发现：“对于直线l上的任意一点，到线段AB两端的距离都相等”。教师引导猜想：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等。
2. 严谨证明，确立定理
教师强调：实验猜想需通过几何证明才能成为定理，引导学生构建证明框架：
已知：如图，直线l垂直平分线段AB，垂足为O，点P在l上。求证：PA=PB。证明：∵ l垂直平分AB，∴ ∠POA=∠POB=90°，AO=BO。在△POA和△POB中，$\left\{ \begin{array}{l} AO=BO \\ ∠POA=∠POB \\ PO=PO \end{array} \right.$，∴ △POA≌△POB（SAS），∴ PA=PB。
教师总结：通过全等三角形证明，猜想成立，此为线段垂直平分线的性质定理。强调定理的“存在性”——只要点在线段垂直平分线上，就一定满足到两端点距离相等。
3. 符号表示，强化应用
将定理转化为几何符号语言（便于应用）：
∵ 直线l⊥AB，AO=BO（l是AB的垂直平分线），点P在l上，∴ PA=PB。
即时应用：解决导入问题——快递柜应建在A、B两栋楼连线的垂直平分线上（任意一点都满足到两楼距离相等）。
设计意图：从动手实验的直观感知到几何证明的严谨推理，符合学生认知规律，符号语言的转化为后续应用奠定基础，导入问题的解决体现知识的即时价值。
环节三：探究新知二——线段垂直平分线的判定定理（13分钟）
本环节通过“逆命题构造—猜想验证—证明确立—对比区分”，推导判定定理，突破“性质与判定互逆”的理解难点。
1. 构造逆命题，提出猜想
教师引导：性质定理是“点在线段垂直平分线上→点到线段两端距离相等”，其逆命题为“点到线段两端距离相等→点在线段垂直平分线上”。这个逆命题是否成立？
活动2——“验证逆命题”：学生分组完成：
画线段AB，在平面内找3个点P、Q、R，使PA=PB，QA=QB，RA=RB；用直尺连接P、Q、R，观察这三点是否在同一条直线上；用圆规和直尺画出AB的垂直平分线，判断上述三点是否在这条垂直平分线上。
学生结论：“到线段AB两端距离相等的点，都在AB的垂直平分线上”，提出猜想：与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。
2. 分类证明，确立判定定理
教师强调：点与线段的位置关系分两种（点在线段上、点在线段外），需分类证明：
情况一：点在线段上：已知点P在线段AB上，且PA=PB，求证：P在AB的垂直平分线上。证明：∵ PA=PB，∴ P是AB中点，又∵ 过中点且垂直于AB的直线是AB的中垂线，∴ P在AB的垂直平分线上。情况二：点在线段外：已知点P在线段AB外，且PA=PB，求证：P在AB的垂直平分线上。证明：过P作PO⊥AB于O，∴ ∠POA=∠POB=90°。在Rt△POA和Rt△POB中，$\left\{ \begin{array}{l} PA=PB \\ PO=PO \end{array} \right.$，∴ Rt△POA≌Rt△POB（HL），∴ AO=BO，∴ PO是AB的垂直平分线，∴ P在AB的垂直平分线上。
教师总结：两种情况均成立，逆命题成为线段垂直平分线的判定定理。
3. 符号表示与性质判定对比
判定定理符号语言：∵ PA=PB，∴ 点P在AB的垂直平分线上。
师生共同完成对比表格，明确区分：
项目性质定理判定定理条件点在线段垂直平分线上点到线段两端距离相等结论点到线段两端距离相等点在线段垂直平分线上作用证线段相等、求距离判断点的位置、画中垂线
设计意图：通过逆命题构造引导学生主动探究，分类证明体现几何严谨性，对比表格突破“性质与判定易混淆”的难点，帮助学生明确适用场景。
环节四：范例解析，巩固应用（10分钟）
通过“基础应用—综合推理—实际操作”三类题型，强化性质与判定的灵活运用，提升解题能力。
1. 基础题型：性质与判定的直接应用
例题1：如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，垂足为E，交BC于D，若AD=5，BC=12，求BD的长度。
解析：由性质定理，DE是AC中垂线→AD=CD=5；又∵ BC=BD+CD=12，∴ BD=12-CD=12-5=7。答案：7。
2. 综合题型：性质与判定的融合推理
例题2：如图，已知AB=AC，BD=CD，求证：AD是BC的垂直平分线。
解析：用判定定理证明两点在中垂线上，再确定直线是中垂线。证明：∵ AB=AC，∴ 点A在BC的垂直平分线上（判定定理）；∵ BD=CD，∴ 点D在BC的垂直平分线上（判定定理）；又∵ 两点确定一条直线，∴ AD是BC的垂直平分线。
3. 实际题型：用尺规作线段的垂直平分线
例题3：用尺规作图，画出线段AB的垂直平分线（保留作图痕迹，不写作法）。
教师示范作图步骤并解释原理：① 分别以A、B为圆心，大于$\frac{1}{2}$AB的长为半径画弧，两弧交于C、D两点（原理：AC=BC，AD=BD，故C、D在AB中垂线上）；② 连接CD，CD即为AB的垂直平分线。学生动手模仿操作，强化判定定理的实际应用。
设计意图：基础题巩固性质定理的直接应用，综合题强化判定定理的灵活推理，实际题型衔接尺规作图，实现“知识—能力—操作”的递进。
环节五：总结升华，拓展延伸（5分钟）
1. 知识梳理：引导学生用思维导图总结核心内容：
一个定义：线段垂直平分线（既垂直又平分线段的直线）；
2. 两个定理：性质（点在线上→距离相等）、判定（距离相等→点在线上）；
3. 一种方法：尺规作线段中垂线（利用判定定理）。
4. 思想提炼：强调本节课的核心数学思想——① 互逆思想（性质与判定的互逆关系）；② 分类思想（判定定理证明中的分类讨论）；③ 转化思想（将位置关系转化为线段相等关系）。
5. 课后任务：
必做：教材对应习题，完成性质与判定的应用题及尺规作图题；
6. 选做：探究“三角形三边垂直平分线的交点性质”，观察交点到三个顶点的距离关系。
三、板书设计
15.2.1 线段垂直平分线的性质与判定
一、定义：既垂直又平分线段的直线（如l⊥AB，AO=BO）
二、性质定理
1. 内容：线段垂直平分线上的点与线段两端距离相等
2. 符号：∵ 点P在AB中垂线上 ∴ PA=PB
3. 作用：证线段相等、求距离
三、判定定理
1. 内容：与线段两端距离相等的点在中垂线上
2. 符号：∵ PA=PB ∴ 点P在AB中垂线上
3. 作用：判位置、画中垂线
四、尺规作图（中垂线）
1. 以A、B为圆心，大于1/2AB长为半径画弧，交C、D
2. 连接CD→AB的中垂线（原理：判定定理）
五、核心思想：互逆、分类、转化
四、教学反思（课后填写）
1. 学生对性质与判定定理的区分是否清晰？在实际解题中是否会混淆“条件与结论”？
2. 判定定理的分类证明中，学生对“点在线段上”的情况是否容易忽略？需加强哪些引导？
3. 学生尺规作中垂线时，对“半径大于1/2AB”的要求是否理解？作图痕迹是否规范？
思考：上节课我们学习了点关于直线成轴对称的知识，那从图形的角度看，线段是不是轴对称图形呢？
如果是，它的对称轴会是什么样的线呢？
答：如果两个点所连线段被某条直线垂直平分，那么这两个点关于这条直线成轴对称.
这说明线段是轴对称图形，这条线段的垂直平分线是它的对称轴.
A
B
l
P1
P2
P3
如图，直线l垂直平分线段 AB，P1，P2，P3，…是 l 上的点，请你量一量线段 P1A，P1B，P2A，P2B，P3A，P3B 的长，你能发现什么，
请猜想点P1，P2，P3，… 到点 A 与
点 B 的距离之间的数量关系．
P1A ____P1B
P2A ____ P2B
P3A ____ P3B
＝
＝
＝
探究发现
线段垂直平分线的性质
新课讲解
猜想：
点 P1，P2，P3，… 到点 A 与点 B 的距离分别相等．
猜测：线段垂直平分线上的点和线段两端的距离相等.
由此你能得到什么结论？
你能验证这一结论吗？
新课讲解
已知：如图，直线 l⊥AB，垂足为 C，AC = BC，点 P 在 l 上．求证：PA = PB．
证明：∵ l⊥AB，
∴∠PCA =∠PCB．
又 AC = BC，PC = PC，
∴ △PCA≌△PCB (SAS)．
∴ PA = PB．
P
A
B
l
C
验证结论：
新课讲解
线段垂直平分线的性质：
线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离_____.
相等
几何表达：
如果 l⊥AB，AC = BC，
那么对 l 上任意一点 P，
有 PA = PB.
P
A
B
l
C
知识要点
例1 如图，在△ABC 中，AB＝AC＝20 cm，DE 垂直平分 AB，垂足为 E，交 AC 于 D，若 △DBC 的周长为 35 cm，则 BC 的长为 (　　)
A．5 cm
B．10 cm
C．15 cm
D．17.5 cm
A
B
C
D
E
例题讲解
解析：∵ △DBC 的周长为 BC＋BD＋CD ＝ 35 cm，又 DE 垂直平分 AB，
∴ AD＝BD，故 BC＋AD＋CD＝35 cm.
∵ AC＝AD＋CD＝20 cm，
∴ BC＝35－20＝15 (cm). 故选 C.
方法归纳：利用线段垂直平分线的性质，实现线段之间的相互转化，从而求出未知线段的长．
A
B
C
D
E
例题讲解
练一练：1. 如图①所示，直线 CD 是线段 AB 的垂直平分线，点 P 为直线 CD 上的一点，且 PA = 5，则线段 PB 的长为（ ）
A. 6 B. 5
C. 4 D. 3
B
P
A
B
C
D
图①
新课讲解
2.如图②所示，在△ABC 中，BC = 8 cm，边 AB 的垂直平分线交 AB 于点 D，交边 AC 于点 E，△BCE 的周长等于 18 cm，则 AC 的长是 .
10 cm
A
B
C
D
E
图②
新课讲解
例2 如图，在四边形 ABCD 中，AD∥BC，E 为 CD 的中点，连接 AE、BE，BE⊥AE，延长 AE 交 BC 的延长线于点 F. 求证：(1) AD＝FC；(2) AB＝BC＋AD.
解析：(1) 根据 AD∥BC 可知∠ADE＝∠FCE，再根据 E 是 CD 的中点可得出△ADE≌△FCE，根据全等三角形的性质证得结论；(2) 先根据线段垂直平分线的性质得出
AB＝BF，再结合 (1) 即可得证．
A
B
C
D
E
F
例题讲解
证明：(1) ∵ AD∥BC，∴∠ADE＝∠FCE.
∵ E 是 CD 的中点，∴ DE＝CE.
又∵∠AED＝∠FEC，
∴△ADE≌△FCE. ∴ FC＝AD.
(2) ∵△ADE≌△FCE，
∴ AE＝FE.
又∵ BE⊥AE，∴ BE 是线段 AF 的垂直平分线.
∴ AB＝FB＝BC＋FC.
∵ AD＝FC，∴ AB＝BC＋AD.
A
B
C
D
E
F
例题讲解
定理：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等.
逆
命
题
到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上.
它是真命题吗？你能证明吗？
线段垂直平分线的判定
新课讲解
已知：PA = PB，
求证：点 P 在线段 AB 的垂直平分线上.
证明：作 PC⊥AB，垂足为 C.
∴ ∠ACP =∠BCP = 90°.
在Rt△ACP 和 Rt△BCP 中，
∴ Rt△ACP≌Rt△BCP（HL）.
∴ AC = BC.
∴ 点 P 在线段 AB 的垂直平分线上.
PA = PB，
PC = PC，
l
C
A
B
P
新课讲解
到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上．
应用格式：
∵ PA = PB，
∴ 点 P 在 AB 的垂直平分线上．
P
A
B
作用：判断一个点是否在线段的垂直平分线上.
定理：
要点归纳
1. 已知线段 AB，在平面上找到三个点 D、E、F，使
DA＝DB，EA＝EB，FA＝FB，这样的点的组合有
　　　种.
无数
2. 下列说法：
① 若点 P、E 是线段 AB 的垂直平分线上两点，
则 EA＝EB，PA＝PB；
② 若 PA＝PB，EA＝EB，则直线 PE 垂直平分线段 AB；
③ 若 PA＝PB，则点 P 必是线段 AB 的垂直平分线上的点；
④ 若 EA＝EB，则经过点 E 的直线垂直平分线段 AB．
其中正确的有 (填序号).
①②③
3.已知：如图，点 C，D 是线段 AB 外的两点，且 AC = BC， AD = BD，AB 与 CD 相交于点 O.
求证：AO = BO.
证明： ∵ AC = BC，AD = BD，
∴ CD 为线段 AB 的垂直平分线.
又∵AB 与 CD 相交于点 O，
∴ AO = BO.
∴点 C 和点 D 在线段 AB 的垂直平分线上.
4. 如图所示，在△ABC 中，AD 平分∠BAC，DE⊥AB 于点 E，DF⊥AC 于点 F，试说明 AD 与 EF 的关系.
解：∵ AD 平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠EAD＝∠FAD，∠AED＝∠AFD＝90°.
又∵ AD＝AD，
∴△ADE≌△ADF(AAS).
∴ AE＝AF，DE＝DF.
∴ A、D 均在线段 EF 的垂直平分线上，
即直线 AD 垂直平分线段 EF.
A
B
C
D
E
F
知识点1 线段的垂直平分线的性质
（第1题）
1. 如图，在四边形 中，
垂直平分，垂足为 ，下列结论不一定成
立的是( )
C
A. B. 平分
C. D.
返回
（第2题）
2. 如图，在 中，
，，分别以点， 为圆
心，大于 的长为半径作弧，两弧交于点
，，过点，作直线交于点 ，连接
，则 的周长为( )
C
A. 7 B. 8 C. 10 D. 12
返回
（第3题）
3.如图，在中， 的垂直平分线交
于点,交于点,连接 .若
, ,则 的度数为
____.
【点拨】 ,
, .垂直平分 ，
， .
, .
,
返回
知识点2 线段的垂直平分线的判定
4. 如图，， ，则有( )
A
（第4题）
A. 垂直平分
B. 垂直平分
C. 与 互相垂直平分
D. 以上都不正确
【点拨】，，垂直平分 .
返回
5. 如图，点在的边上，且，则点
在某一线段的垂直平分线上.这条线段是( )
B
A. B. C. D. 不确定
【点拨】，， 点
在 的垂直平分线上.
返回
6. 已知在同一平面内，,是线段外的两点, ,
,点在直线上.若,则 的长为( )
B
A. 2.5 B. 5 C. 10 D. 25
返回
7.如图，在中，，是 的
中点，的垂直平分线分别交，，
于点，，，连接，.求证：点 在
的垂直平分线上.
【证明】是的中点，.又，
垂直平分，是 的垂直平分线，
，， 点在 的垂直平分线上.
返回
线段的垂直平分的性质和判定
性质
到线段的两个端点距离相等的点在线段的垂直平分线上
内容
判定
内容
作用
线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等
作用
见垂直平分线，得线段相等
判断一个点是否在线段的垂直平分线上
谢谢观看！

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