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【2025新教材】沪科版数学 八年级上册
第15章 轴对称图形与等腰三角形
15.2.2线段的垂直平分线的尺规作图
1.理解和掌握线段垂直平分线的性质;（难点）
2.通过观察、实验、猜测、验证与交流等活动，初步形成数学学习的方法;（难点）
3.在数学学习的活动中，养成良好的思维习惯．
线段AB（如图）。求作：线段AB的垂直平分线。
教师结合几何画板动态演示，分步讲解并板书规范步骤：
1. 定半径：用圆规量取大于$\frac{1}{2}$AB的长度（可先目测AB中点，将圆规张角略大于此半长）；
2. 画弧（以A为圆心）：将圆规尖固定在A点，在线段AB上方和下方各画一段弧（弧长需覆盖AB两侧，保证与后续弧相交）；
3. 画弧（以B为圆心）：保持圆规半径不变，将圆规尖固定在B点，同样在线段AB上方和下方画弧，与步骤2所画的弧分别交于C、D两点；
4. 连直线：用直尺连接C、D两点，直线CD即为线段AB的垂直平分线。
学生同步在练习本上操作，教师巡视指导，重点纠正“半径变化”“弧长不足”等常见错误。
3. 作图验证与性质应用
活动3——“验证作图准确性”：学生完成作图后，通过两种方法验证结果：
1. 测量验证：① 用刻度尺测量CD与AB的交点O，看AO是否等于BO（验证“平分”）；② 用量角器测量∠AOC的度数，看是否为90°（验证“垂直”）；
2. 性质验证：在CD上任意取一点P，测量PA、PB的长度，验证PA是否等于PB（符合垂直平分线的性质定理）。
4. 常见误差与注意事项
小组讨论：分析作图中可能出现的误差及原因，总结规避方法：
- 误差1：两弧交点不清晰——原因：弧长过短；规避：画弧时确保覆盖线段两侧足够范围；
- 误差2：CD不垂直AB——原因：圆规半径在画弧过程中发生变化；规避：画弧时保持圆规张角固定，不用手掰动圆规两脚；
- 误差3：CD不平分AB——原因：直尺摆放倾斜，未准确连接两弧交点；规避：连接C、D时，让直尺边缘同时贴合两点，再画线。
环节五：范例解析，作图应用（10分钟）
通过“基础作图—综合应用—实际场景”三类题型，强化作图技能与几何知识的融合运用。
1. 基础题型：利用中垂线作图求特殊点
例题1：如图，已知△ABC，求作一点P，使点P到AB、AC的距离相等，且PA=PB。
解析：① 到AB、AC距离相等的点在∠BAC的角平分线上；② PA=PB的点在AB的垂直平分线上；③ 两线的交点即为所求点P。
教师示范：先作∠BAC的角平分线，再作AB的垂直平分线，标注交点P，并用测量法验证。
2. 综合题型：结合三角形的中垂线作图
例题2：作△ABC三边的垂直平分线，观察三条线的交点特征，并测量交点到三个顶点的距离。
学生实操发现：△ABC三边的垂直平分线交于一点（外心），该点到A、B、C三点的距离相等。
拓展延伸：此交点是△ABC外接圆的圆心，若△ABC是锐角三角形，交点在三角形内部；直角三角形在斜边中点；钝角三角形在三角形外部。
3. 实际题型：用中垂线作图解决生活问题
例题3：如图，A、B是两个村庄，C是一条河流，现要在河边建一个水泵站P，使PA=PB，且P到河流两岸的距离相等，如何确定P的位置？
解析：① 作AB的垂直平分线（满足PA=PB）；② 作河流C的两岸的角平分线（即河流的对称轴，满足P到两岸距离相等）；③ 两线交点即为水泵站P的位置。
1. 基础题型：性质与判定的直接应用
例题1：如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，垂足为E，交BC于D，若AD=5，BC=12，求BD的长度。
解析：由性质定理，DE是AC中垂线→AD=CD=5；又∵ BC=BD+CD=12，∴ BD=12-CD=12-5=7。答案：7。
2. 综合题型：性质与判定的融合推理
例题2：如图，已知AB=AC，BD=CD，求证：AD是BC的垂直平分线。
解析：用判定定理证明两点在中垂线上，再确定直线是中垂线。证明：∵ AB=AC，∴ 点A在BC的垂直平分线上（判定定理）；∵ BD=CD，∴ 点D在BC的垂直平分线上（判定定理）；又∵ 两点确定一条直线，∴ AD是BC的垂直平分线。
3. 实际题型：用尺规作线段的垂直平分线
例题3：用尺规作图，画出线段AB的垂直平分线（保留作图痕迹，不写作法）。
教师示范作图步骤并解释原理：① 分别以A、B为圆心，大于$\frac{1}{2}$AB的长为半径画弧，两弧交于C、D两点（原理：AC=BC，AD=BD，故C、D在AB中垂线上）；② 连接CD，CD即为AB的垂直平分线。学生动手模仿操作，强化判定定理的实际应用。
设计意图：基础题巩固性质定理的直接应用，综合题强化判定定理的灵活推理，实际题型衔接尺规作图，实现“知识—能力—操作”的递进。
环节六：总结升华，拓展延伸（5分钟）
1. 知识梳理：引导学生用流程图总结核心内容：
2. 能力提升：强调“作图不是机械操作，而是几何逻辑的直观体现”，培养“知其然更知其所以然”的推理意识。
3. 课后任务：
4. 必做：① 完成教材中线段垂直平分线的尺规作图习题，每道题保留作图痕迹并标注关键步骤；② 作一个边长为4cm的等边三角形，利用三边垂直平分线确定其外接圆的圆心（外心）。
5. 选做：设计一个“利用中垂线作图”的生活场景问题，如“确定小区健身器材的位置，使它到三栋楼的距离相等”，并画出解决方案。
1. 知识梳理：引导学生用思维导图总结核心内容：
一个定义：线段垂直平分线（既垂直又平分线段的直线）；
2. 两个定理：性质（点在线上→距离相等）、判定（距离相等→点在线上）；
3. 一种方法：尺规作线段中垂线（利用判定定理）。
4. 思想提炼：强调本节课的核心数学思想——① 互逆思想（性质与判定的互逆关系）；② 分类思想（判定定理证明中的分类讨论）；③ 转化思想（将位置关系转化为线段相等关系）。
5. 课后任务：
必做：教材对应习题，完成性质与判定的应用题及尺规作图题；
6. 选做：探究“三角形三边垂直平分线的交点性质”，观察交点到三个顶点的距离关系。
三、板书设计
15.2.2 线段垂直平分线的尺规作图
一、作图原理（核心依据）
判定定理：与线段两端距离相等的点→在线段垂直平分线上
→ 构造两点C、D（CA=CB，DA=DB）→ 直线CD为中垂线
二、规范作图步骤（已知线段AB）
1. 定半径：取大于1/2AB的长度（关键！）
2. 画弧：以A为圆心，上下画弧；以B为圆心，同半径上下画弧
3. 找交点：两弧交于C、D两点
4. 连直线：连接CD，即为AB的垂直平分线
三、验证方法
1. 测量：AO=BO（平分），∠AOC=90°（垂直）
2. 性质验证：CD上取点P，PA=PB
四、常见误区
1. 半径≤1/2AB→两弧不相交
2. 画弧时半径变化→CD不垂直/不平分
3. 弧长过短→交点不清晰
五、核心思想
几何逻辑→作图操作→验证反馈（推理与实践结合）
某区政府为了方便居民的生活，计划在三个住宅小区 A、B、C 之间修建一个购物中心，试问该购物中心应建于何处，才能使得它到三个小区的距离相等？
A
B
C
线段垂直平分线的尺规作图
探究 怎样得到线段的垂直平分线？
方法一：
用刻度尺量出线段的长，找出线段的中点，再过中点用三角板画线段的垂线即可得到线段的垂直平分线.
新课讲解
A
A'
A(A')
A
A'
l
O
l
O
方法二：
通过折纸也可以得到线段的垂直平分线. 如图，在半透明纸上画一条线段 AA'，折叠使点 A 与 A' 重合，得到的折痕 l 所在的直线就是线段 AA' 的垂直平分线.
新课讲解
方法三：
用尺规作图，作出线段 AB 的垂直平分线.
(1) 分别以点 A，B 为圆心，以大于
AB 的长为半径画弧，交于 点 E，F；
(2) 过点 E，F 作直线.
则直线 EF 就是线段 AB 的垂直平分线.
A
B
E
F
O
特别说明：这个作法实际上就是线段垂直平分线的尺规作图法，我们也可以用这种方法确定线段的中点.
新课讲解
例1 如图，A，B 是路边两个新建小区，要在公路边增设一个公共汽车站，使两个小区到车站的路程一样长，该公共汽车站应建在什么地方？
A
B
分析：增设的公共汽车站要满足到两个小区的路程一样长，应在线段 AB 的垂直平分线上，又要在公路边上，所以 AB 的垂直平分线与公路的交点便是.
公共汽车站
例题讲解
证明：连接 PA，PB，PC.
∵ 点 P 在 AB，AC 的垂直平分线上，
(已知)
∴ PA = PB，PA = PC.
(线段垂直平分线上的点到线段两个
端点的距离相等)
∴ PB = PC.
∴ 点 P 在 BC 的垂直平分线上.
(到线段两个端点距离相等的点在线段的垂直平分线上)
例2 已知：如图，已知△ABC 的边 AB，AC 的垂直
平分线相交于点 P. 求证：点 P 在 BC 的垂直平分线上.
B
C
A
P
例题讲解
三角形三边的垂直平分线相交于一点，这点到三角形三个顶点的距离相等.
现在你能回答讲课前提出的问题吗？
你知道购物中心应该建在何处了吗？
归纳总结
在锐角三角形 ABC 内一点 P，满足 PA = PB = PC，则点 P 是△ABC ( )
A.三条角平分线的交点
B.三条中线的交点
C.三条高的交点
D.三边垂直平分线的交点
D
新课讲解
1. 如图，在△ABC 中，分别以点 A，B 为圆心，大于
AB 长为半径画弧，两弧分别交于点 D，E，则直
线 DE 是（　　）
A．∠A 的平分线
B．AC 边的中线
C．BC 边的高线
D．AB 边的垂直平分线
D
A
B
C
课堂练习
2.如图，有 A，B，C 三个村庄，现准备要建一所希望小学，要求学校到三个村庄的距离相等，请你确定学校的位置.
B
C
学校在连接任意两点的两条线段的垂直平分线的交点处.
A
课堂练习
1.如图，在四边形OMTN中，OM＝ON，TM＝TN，我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做筝形.试探究筝形的对角线之间的位置关系，并证明你的结论.
解:筝形的对角线互相垂直，即OT⊥MN.
证明:如图，
∵OM＝ON，TM＝TN，
∴点O和T都在MN的垂直平分线上，
∴OT是MN的垂直平分线，即OT⊥MN.
2.如图，在△ABC中，∠BAC＝58°，O是AB、BC的垂直平分线的交点，求∠BOC的度数.
解:∵O是AB、BC的垂直平分线的交点，
∴OA＝OB，OB＝OC，∴OA＝OC，
∴点O也在线段AC的垂直平分线上，
即△OAB、△OBC、 △OAC都是轴对称图形，
∴∠1＝∠3，∠4＝∠8，∠2＝∠7，
∴∠BOC＝∠5＋∠6＝∠3＋∠1＋∠2＋∠7＝2(∠1＋∠2)
＝2∠BAC＝116°.
3.如图，跑道 l1、l2、l3 围成一块活动区域，分别交于点 A，B，C.小明和小杰分别在跑道的点 A，D 处，小明沿着射线 AC 的方向晨跑，小杰沿着射线 DC 的方向跑向小明，想与他一起晨跑.如果小明和小杰的速度相同，且同时出发.请用尺规作图法确定他们相遇时的位置 M.
解：如下图示.
在 AC 延长线上截取 CD′ = CD，作 AD′ 的线段垂直平分线.
课堂练习
方法与步骤
线段垂直平分线的作法
应用作图
谢谢观看！

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