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(共26张PPT)
【2025新教材】沪科版数学 八年级上册
第15章 轴对称图形与等腰三角形
15.3.1角的平分线的作法
1.理解和掌握用尺规作已知角的平分线，以及过一点作已知直线的垂线;（重点）
2.应用三角形全等的知识，理解角平分线的原理;（难点）
3.在利用尺规作图的过程中，培养学生动手操作能力与探索精神．
学习目标
15.2.1 线段垂直平分线的性质与判定 教学课件
一、教学基本信息
授课对象：七年级学生（已掌握轴对称、轴对称图形的定义及性质，了解平面直角坐标系中的轴对称规律，具备基础几何推理与动手操作能力）
核心目标：1. 理解线段垂直平分线的定义，掌握其“性质定理”与“判定定理”；2. 能运用线段垂直平分线的性质与判定解决“求距离、证线段相等、判断位置关系”等问题；3. 经历“实验—猜想—证明—应用”的几何探究过程，培养逻辑推理与几何直观能力。
教学重难点：重点为线段垂直平分线的性质定理与判定定理及应用；难点为判定定理的推导过程（逆命题的构造与证明），及性质与判定的灵活区分使用。
教学准备：PPT课件（含动态演示动画）、几何画板、硬纸板、直尺、圆规、铅笔、量角器。
二、教学过程设计（45分钟）
环节一：旧知衔接，情境导入（5分钟）
1. 旧知回顾：提问①“什么是轴对称图形？成轴对称的两个图形中，对应点的连线有什么特征？”（引导回答：沿直线折叠重合；对应点连线被对称轴垂直平分）；②“线段是轴对称图形吗？它的对称轴是什么？”（是；线段的垂直平分线），并在黑板画出线段AB及其中垂线l。
2. 情境设问：PPT展示生活场景——某小区要在A、B两栋楼之间建一个快递柜，要求快递柜到两栋楼的距离相等，快递柜应建在什么位置？引导学生思考：“到线段两端距离相等的点，与线段的垂直平分线有什么关系？”
3. 引出课题：明确本节课主题——线段的垂直平分线不仅是线段的对称轴，还具有特殊的性质，同时也有明确的判定方法，本节课将系统探究其性质、判定及应用，解决上述生活中的位置问题。
设计意图：通过轴对称旧知自然衔接线段垂直平分线的定义，以生活中的位置问题激发探究兴趣，凸显本节课知识的实用性与必要性。
环节二：探究新知一——线段垂直平分线的性质定理（12分钟）
本环节通过“动手实验—猜想结论—严谨证明—符号表示”，逐步推导线段垂直平分线的性质定理，强化“实验→几何证明”的思维转化。
1. 动手实验，提出猜想
活动1——“画一画，量一量”：学生在硬纸板上完成操作：
画一条线段AB，用圆规和直尺画出AB的垂直平分线l，交AB于点O（O为AB中点）；在直线l上任意取3个点P、Q、R（含O点和非O点）；用刻度尺分别测量PA、PB，QA、QB，RA、RB的长度，记录测量结果。
学生汇报发现：“对于直线l上的任意一点，到线段AB两端的距离都相等”。教师引导猜想：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等。
2. 严谨证明，确立定理
教师强调：实验猜想需通过几何证明才能成为定理，引导学生构建证明框架：
已知：如图，直线l垂直平分线段AB，垂足为O，点P在l上。求证：PA=PB。证明：∵ l垂直平分AB，∴ ∠POA=∠POB=90°，AO=BO。在△POA和△POB中，$\left\{ \begin{array}{l} AO=BO \\ ∠POA=∠POB \\ PO=PO \end{array} \right.$，∴ △POA≌△POB（SAS），∴ PA=PB。
教师总结：通过全等三角形证明，猜想成立，此为线段垂直平分线的性质定理。强调定理的“存在性”——只要点在线段垂直平分线上，就一定满足到两端点距离相等。
3. 符号表示，强化应用
将定理转化为几何符号语言（便于应用）：
∵ 直线l⊥AB，AO=BO（l是AB的垂直平分线），点P在l上，∴ PA=PB。
即时应用：解决导入问题——快递柜应建在A、B两栋楼连线的垂直平分线上（任意一点都满足到两楼距离相等）。
设计意图：从动手实验的直观感知到几何证明的严谨推理，符合学生认知规律，符号语言的转化为后续应用奠定基础，导入问题的解决体现知识的即时价值。
环节三：探究新知二——线段垂直平分线的判定定理（13分钟）
本环节通过“逆命题构造—猜想验证—证明确立—对比区分”，推导判定定理，突破“性质与判定互逆”的理解难点。
1. 构造逆命题，提出猜想
教师引导：性质定理是“点在线段垂直平分线上→点到线段两端距离相等”，其逆命题为“点到线段两端距离相等→点在线段垂直平分线上”。这个逆命题是否成立？
活动2——“验证逆命题”：学生分组完成：
画线段AB，在平面内找3个点P、Q、R，使PA=PB，QA=QB，RA=RB；用直尺连接P、Q、R，观察这三点是否在同一条直线上；用圆规和直尺画出AB的垂直平分线，判断上述三点是否在这条垂直平分线上。
学生结论：“到线段AB两端距离相等的点，都在AB的垂直平分线上”，提出猜想：与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。
2. 分类证明，确立判定定理
教师强调：点与线段的位置关系分两种（点在线段上、点在线段外），需分类证明：
情况一：点在线段上：已知点P在线段AB上，且PA=PB，求证：P在AB的垂直平分线上。证明：∵ PA=PB，∴ P是AB中点，又∵ 过中点且垂直于AB的直线是AB的中垂线，∴ P在AB的垂直平分线上。情况二：点在线段外：已知点P在线段AB外，且PA=PB，求证：P在AB的垂直平分线上。证明：过P作PO⊥AB于O，∴ ∠POA=∠POB=90°。在Rt△POA和Rt△POB中，$\left\{ \begin{array}{l} PA=PB \\ PO=PO \end{array} \right.$，∴ Rt△POA≌Rt△POB（HL），∴ AO=BO，∴ PO是AB的垂直平分线，∴ P在AB的垂直平分线上。
教师总结：两种情况均成立，逆命题成为线段垂直平分线的判定定理。
3. 符号表示与性质判定对比
判定定理符号语言：∵ PA=PB，∴ 点P在AB的垂直平分线上。
师生共同完成对比表格，明确区分：
项目性质定理判定定理条件点在线段垂直平分线上点到线段两端距离相等结论点到线段两端距离相等点在线段垂直平分线上作用证线段相等、求距离判断点的位置、画中垂线
设计意图：通过逆命题构造引导学生主动探究，分类证明体现几何严谨性，对比表格突破“性质与判定易混淆”的难点，帮助学生明确适用场景。
环节四：专题探究——线段垂直平分线的尺规作图（15分钟）
本环节聚焦“尺规作图”核心，通过“原理溯源—步骤分解—实操验证—误差分析”，让学生掌握作图方法并理解背后的几何逻辑。
1. 作图原理深度解析
教师引导：结合线段垂直平分线的判定定理——“与线段两端距离相等的点在这条线段的垂直平分线上”，思考如何通过尺规构造这样的点。
原理推导：① 以线段AB的端点A为圆心，画弧时，弧上任意一点到A的距离都等于半径；② 以B为圆心，用相同半径画弧，弧上任意一点到B的距离也等于半径；③ 两弧的交点C、D，既满足CA=CB，又满足DA=DB，因此C、D都在AB的垂直平分线上；④ 两点确定一条直线，故直线CD即为AB的垂直平分线。
关键提醒：半径必须“大于$\frac{1}{2}$AB的长”，若半径等于或小于$\frac{1}{2}$AB，两弧无法相交或仅交于一点，不能确定直线。
2. 作图步骤规范分解
已知：线段AB（如图）。求作：线段AB的垂直平分线。
教师结合几何画板动态演示，分步讲解并板书规范步骤：
1. 定半径：用圆规量取大于$\frac{1}{2}$AB的长度（可先目测AB中点，将圆规张角略大于此半长）；
2. 画弧（以A为圆心）：将圆规尖固定在A点，在线段AB上方和下方各画一段弧（弧长需覆盖AB两侧，保证与后续弧相交）；
3. 画弧（以B为圆心）：保持圆规半径不变，将圆规尖固定在B点，同样在线段AB上方和下方画弧，与步骤2所画的弧分别交于C、D两点；
4. 连直线：用直尺连接C、D两点，直线CD即为线段AB的垂直平分线。
学生同步在练习本上操作，教师巡视指导，重点纠正“半径变化”“弧长不足”等常见错误。
3. 作图验证与性质应用
活动3——“验证作图准确性”：学生完成作图后，通过两种方法验证结果：
1. 测量验证：① 用刻度尺测量CD与AB的交点O，看AO是否等于BO（验证“平分”）；② 用量角器测量∠AOC的度数，看是否为90°（验证“垂直”）；
2. 性质验证：在CD上任意取一点P，测量PA、PB的长度，验证PA是否等于PB（符合垂直平分线的性质定理）。
4. 常见误差与注意事项
小组讨论：分析作图中可能出现的误差及原因，总结规避方法：
- 误差1：两弧交点不清晰——原因：弧长过短；规避：画弧时确保覆盖线段两侧足够范围；
- 误差2：CD不垂直AB——原因：圆规半径在画弧过程中发生变化；规避：画弧时保持圆规张角固定，不用手掰动圆规两脚；
- 误差3：CD不平分AB——原因：直尺摆放倾斜，未准确连接两弧交点；规避：连接C、D时，让直尺边缘同时贴合两点，再画线。
环节五：范例解析，作图应用（10分钟）
通过“基础作图—综合应用—实际场景”三类题型，强化作图技能与几何知识的融合运用。
1. 基础题型：利用中垂线作图求特殊点
例题1：如图，已知△ABC，求作一点P，使点P到AB、AC的距离相等，且PA=PB。
解析：① 到AB、AC距离相等的点在∠BAC的角平分线上；② PA=PB的点在AB的垂直平分线上；③ 两线的交点即为所求点P。
教师示范：先作∠BAC的角平分线，再作AB的垂直平分线，标注交点P，并用测量法验证。
2. 综合题型：结合三角形的中垂线作图
例题2：作△ABC三边的垂直平分线，观察三条线的交点特征，并测量交点到三个顶点的距离。
学生实操发现：△ABC三边的垂直平分线交于一点（外心），该点到A、B、C三点的距离相等。
拓展延伸：此交点是△ABC外接圆的圆心，若△ABC是锐角三角形，交点在三角形内部；直角三角形在斜边中点；钝角三角形在三角形外部。
3. 实际题型：用中垂线作图解决生活问题
例题3：如图，A、B是两个村庄，C是一条河流，现要在河边建一个水泵站P，使PA=PB，且P到河流两岸的距离相等，如何确定P的位置？
解析：① 作AB的垂直平分线（满足PA=PB）；② 作河流C的两岸的角平分线（即河流的对称轴，满足P到两岸距离相等）；③ 两线交点即为水泵站P的位置。
1. 基础题型：性质与判定的直接应用
例题1：如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，垂足为E，交BC于D，若AD=5，BC=12，求BD的长度。
解析：由性质定理，DE是AC中垂线→AD=CD=5；又∵ BC=BD+CD=12，∴ BD=12-CD=12-5=7。答案：7。
2. 综合题型：性质与判定的融合推理
例题2：如图，已知AB=AC，BD=CD，求证：AD是BC的垂直平分线。
解析：用判定定理证明两点在中垂线上，再确定直线是中垂线。证明：∵ AB=AC，∴ 点A在BC的垂直平分线上（判定定理）；∵ BD=CD，∴ 点D在BC的垂直平分线上（判定定理）；又∵ 两点确定一条直线，∴ AD是BC的垂直平分线。
3. 实际题型：用尺规作线段的垂直平分线
例题3：用尺规作图，画出线段AB的垂直平分线（保留作图痕迹，不写作法）。
教师示范作图步骤并解释原理：① 分别以A、B为圆心，大于$\frac{1}{2}$AB的长为半径画弧，两弧交于C、D两点（原理：AC=BC，AD=BD，故C、D在AB中垂线上）；② 连接CD，CD即为AB的垂直平分线。学生动手模仿操作，强化判定定理的实际应用。
设计意图：基础题巩固性质定理的直接应用，综合题强化判定定理的灵活推理，实际题型衔接尺规作图，实现“知识—能力—操作”的递进。
环节六：总结升华，拓展延伸（5分钟）
1. 知识梳理：引导学生用流程图总结核心内容：
2. 能力提升：强调“作图不是机械操作，而是几何逻辑的直观体现”，培养“知其然更知其所以然”的推理意识。
3. 课后任务：
4. 必做：① 完成教材中线段垂直平分线的尺规作图习题，每道题保留作图痕迹并标注关键步骤；② 作一个边长为4cm的等边三角形，利用三边垂直平分线确定其外接圆的圆心（外心）。
5. 选做：设计一个“利用中垂线作图”的生活场景问题，如“确定小区健身器材的位置，使它到三栋楼的距离相等”，并画出解决方案。
1. 知识梳理：引导学生用思维导图总结核心内容：
一个定义：线段垂直平分线（既垂直又平分线段的直线）；
2. 两个定理：性质（点在线上→距离相等）、判定（距离相等→点在线上）；
3. 一种方法：尺规作线段中垂线（利用判定定理）。
4. 思想提炼：强调本节课的核心数学思想——① 互逆思想（性质与判定的互逆关系）；② 分类思想（判定定理证明中的分类讨论）；③ 转化思想（将位置关系转化为线段相等关系）。
5. 课后任务：
必做：教材对应习题，完成性质与判定的应用题及尺规作图题；
6. 选做：探究“三角形三边垂直平分线的交点性质”，观察交点到三个顶点的距离关系。
三、板书设计
四、教学反思（课后填写）
15.3.1 角的平分线的作法 教学补充
一、衔接导入（3分钟）
回顾思考：上节课我们通过“构造等距点”作出了线段的垂直平分线，角作为另一种基本图形，如何用尺规作出它的平分线呢？类比线段垂直平分线的作图原理，角的平分线是否也能通过“等距”特征来构造？引出本节课主题——角的平分线的尺规作图。
二、专题探究——角的平分线的尺规作图（15分钟）
1. 作图原理溯源
核心依据：角的平分线的判定定理——“角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上”。
原理推导：① 以角的顶点O为圆心画弧，与角的两边交于A、B两点，此时OA=OB（同圆半径相等）；② 分别以A、B为圆心，用大于1/2AB的长为半径画弧，两弧在角的内部交于点P，此时PA=PB；③ 点P到OA、OB的距离可通过全等证明相等，故P在∠AOB的平分线上；④ 连接OP，射线OP即为∠AOB的平分线。
关键提醒：第二步画弧的半径必须“大于1/2AB的长”，且两弧交点需在角的内部，才能保证射线是角的平分线而非外角平分线。
2. 规范作图步骤
已知：∠AOB（如图）。求作：∠AOB的平分线。
1. 定半径画弧（以顶点为圆心）：以O为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA于点M，交OB于点N；
2. 定半径画弧（以交点为圆心）：分别以M、N为圆心，大于$\frac{1}{2}$MN的长为半径画弧，两弧在∠AOB的内部交于点P；
3. 作射线：连接OP并延长，射线OP即为∠AOB的平分线。
教师结合几何画板演示，强调“任意长为半径”的灵活性，但后续半径需保持大于1/2MN，学生同步实操，教师巡视纠正“弧长不足”“交点在角外”等问题。
3. 作图验证方法
活动4——“验证准确性”：学生完成作图后，通过两种方法验证：
1. 测量验证：用量角器测量∠AOP和∠BOP的度数，看是否相等（均为∠AOB的一半）；
2. 性质验证：在OP上任意取一点Q，过Q作QC⊥OA于C，QD⊥OB于D，用刻度尺测量QC、QD的长度，验证QC=QD（符合角平分线的性质定理）。
4. 常见误差与规避
- 误差1：两弧无交点——原因：以M、N为圆心时半径过小；规避：确保半径大于1/2MN，可先目测MN中点再确定半径；
- 误差2：射线平分外角——原因：两弧交点在角的外部；规避：画弧时控制半径，确保交点在∠AOB内部；
- 误差3：OP不是射线——原因：连接OP后未延长；规避：明确角的平分线是射线，需从顶点向外延长。
三、范例解析，作图应用（10分钟）
1. 基础题型：单一角的平分线作图
例题1：已知∠MON=120°，用尺规作出其平分线，并验证平分后的两个角的度数。
解析：按规范步骤作图，测量得∠MOP=∠NOP=60°，符合要求。
2. 综合题型：结合中垂线的复杂作图
例题2：已知△ABC，求作一点P，使点P到AB的距离等于到AC的距离，且P到A、B两点的距离相等。
解析：① 到AB、AC距离相等的点在∠BAC的平分线上；② 到A、B距离相等的点在AB的垂直平分线上；③ 两线交点即为所求点P，依次作出角平分线和中垂线即可。
3. 实际题型：用角平分线解决生活问题
例题3：如图，A是一个工厂，OB、OC是两条公路，现要在∠BOC内部建一个货物中转站P，使P到两条公路的距离相等，且P到工厂A的距离最近，如何确定P的位置？
解析：① 作∠BOC的平分线（满足P到两条公路距离相等）；② 过点A作角平分线的垂线，垂足即为P（垂线段最短，满足P到A距离最近）。
四、对比总结，拓展延伸（5分钟）
1. 两种作图的核心对比
项目
线段垂直平分线作图
角的平分线作图
核心依据
线段垂直平分线判定定理
角的平分线判定定理
关键步骤
以两端点为圆心画双弧
先以顶点为圆心，再以两边交点为圆心画弧
最终图形
直线
射线
1. 学生是否能准确把握“半径大于1/2AB”的要求？对该要求的几何意义是否理解？
2. 作图步骤中，“保持半径不变”是易错点，学生是否能通过标记圆规等方法规避这一问题？
3. 学生能否将作图技能与实际问题结合？在综合应用中是否能主动想到用中垂线作图解决“等距”问题？
4. 对于作图后的验证环节，学生是否有主动验证的意识，还是仅满足于“画出直线即可”？
1. 学生对性质与判定定理的区分是否清晰？在实际解题中是否会混淆“条件与结论”？
2. 判定定理的分类证明中，学生对“点在线段上”的情况是否容易忽略？需加强哪些引导？
3. 学生尺规作中垂线时，对“半径大于1/2AB”的要求是否理解？作图痕迹是否规范？
问题1：在纸上画一个角，你能得到这个角的平分
线吗？
用量角器度量，也可用对折的方法.
问题2：如果把前面的纸片换成木板、风筝
等，还能用对折的方法得到木板、
钢板的角平分线吗？
新课导入
提炼图形
新课导入
提炼图形
新课导入
问题3：如图是一个角平分仪，其中 AB = AD，BC = DC. 将点 A 放在角的顶点，AB 和 AD 沿着角的两边放下，沿 AC 画一条射线 AE，AE 就是角平分线．你能说明其中的道理吗？
A
B
C
(E)
D
其依据是由 SSS 得到两个三角形全等，故其对应角相等.
新课导入
尺规作角平分线
问题 怎样得到一个角的角平分线？
方法一 用量角器量角的度数可以找出一个角的平分线.
方法二 通过折纸可以得到一个角的角平分线，如图，在半透明纸上任画 ∠AOB，折叠使射线 OA，OB 重合，得到的射线 OP 就是 ∠AOB 的平分线.
A
O
B
O
B(A)
A
O
B
P
P
(1)
(2)
(3)
新课讲解
作法：(1) 以点 O 为圆心，
适当长为半径画弧，交 OA
于点 M，交 OB 于点 N；
(2) 分别以点 M、N 为圆心，大于
MN 的长为半径画弧，两弧在∠AOB 的内部相交于点 C；
(3) 画射线 OC. 则射线 OC 即为所求.
A
B
M
N
C
O
尺规作∠AOB 的平分线.
方法三
新课讲解
证明：在△OMP 和△ONP 中，
OM = ON，
MP = NP，
OP = OP，
∴ △OMP≌△ONP(SSS).
∴∠MOP =∠NOP，即 OP 平分∠AOB.
想一想：为什么 OP 是角平分线呢？
已知：OM = ON，MP = NP.
求证：OP 平分∠AOB.
B
A
N
M
P
O
新课讲解
问题引导 如何过一点 P 作已知直线 l 的垂线呢？
由于两点确定一条直线， 因此我们可以通过在已知直线上作线段的垂直平分线来找出垂线上的另一点，从而确定已知直线的垂线.
过一点作已知直线的垂线
新课讲解
①在直线 l 上点 P 的两旁分别截
取线段 PA， PB，使 PA = PB；
(1) 当点 P 在直线 l 上.
②分别以 A，B 为圆心以大于 AB
的长为半径画弧， 两弧相交于点 C；
③过点 C， P 作直线 CP，
则直线 CP 为所求作的直线.
·
P
A
B
C
l
这一步的目的是什么？
新课讲解
(2) 当点 P 在直线 l 外.
① 以点 P 为圆心， 以大于点 P 到直线 l 的距离的线段长为半径画弧， 交直线 l 于点 A，B；
② 分别以 A，B 为圆心 以大于 AB 的长为半径画弧， 两弧相交于点 C；
③ 过点 C，P 作直线 CP，则直线 CP 为所求作的直线.
·
P
A
B
C
l
第一步的目的是什么？画弧的半径为什么要大于 P 到 l 的距离？
新课讲解
例 利用直尺和圆规作一个等于 45° 的角.
作法：
1. 作直线 AB；
2. 过点 A 作直线 AB 的垂线 AC；
3. 作∠CAB 的平分线 AD.
∠DAB 就是所要求作的角.
D
A
B
C
新课讲解
1. 如图所示的作图痕迹作的是 （ ）
A. 线段的垂直平分线
B. 过一点作已知直线的垂线
C. 一个角的平分线
D. 作一个角等于已知角
B
课堂练习
2. 用尺规作图作一个已知角的平分线的示意图如图所示，则能说明∠AOC =∠BOC 的依据是（ ）
A. SSS
B. ASA
C. AAS
D. SAS
A
B
M
N
C
O
A
课堂练习
3. 请在图中作出线段 AD，使其平分∠BAC 且长度
等于 m.
C
B
A
m
课堂练习
C
N
M
P
A
B
D
解：
课堂练习
知识点1 角的平分线的作法
（第1题）
1. 如图，用直尺和圆规作 的平分线，
能得出 的依据是( )
A
A. B. C. D.
返回
（第2题）
2. ［2024深圳］在如图的三个图
形中，根据尺规作图的痕迹，能
判断射线平分 的是
( )
B
A. ①② B. ①③
C. ②③ D. 只有①
【点拨】在题图①中，利用基本作图可判断 平
分 ；在题图③中，如图，利用作法得
， .
在和 中，
， .
，， ，
即 .
在和中，
， .
又, ，
，
，是 的平分线；
在题图②中，利用基本作图得到点为 的中点，
则为边上的中线.则①③可得出射线 平分
.故选B.
返回
知识点2 用尺规作图法作垂线
3. 下列选项的尺规作图，能推出 的是( )
D
A. B. C. D.
返回
4. 如图，在 中，根据尺规作图的痕迹，下列四个结
论：；； ；
．其中一定正确的有( )
B
A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个
角平分线的尺规作图
①已知：根据文字语言用数学语言写出题目中的条件
②求作：根据题目写出要求作出的图形及此图形应满足的条件
③作法：根据作图的过程写出每一步的操作过程
课堂小结
谢谢观看！

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