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【2025新教材】沪科版数学 八年级上册
第15章 轴对称图形与等腰三角形
15.4.3等腰三角形的判定
1.理解等腰三角形的判定方法的证明过程; (重点）
2.掌握等腰三角形的判定定理及它的两个推论，能运用定理和推论进行简单的推理和计算；（重点、难点）
3.通过定理的证明和应用，初步了解转化思想，并培养学生逻辑思维能力、分析问题和解决问题的能力．
（难点）
学习目标
=AC，AD是BC边上的中线（已知），∴BD=CD，∠BAE=∠CAE（等腰三角形三线合一）。
在△ABE和△ACE中：
AB=AC（已知），∠BAE=∠CAE（已证），AE=AE（公共边），
∴△ABE≌△ACE（SAS）。∴BE=CE（全等三角形对应边相等）。
例3：综合应用性质解决问题
如图4，在△ABC中，AB=AC，BD=CD，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F。求证：DE=DF。
提示：连接AD，先由“三线合一”得AD平分∠BAC，再利用角平分线的性质（角平分线上的点到角两边距离相等）证明DE=DF。（学生独立完成，教师巡视指导）
1. 在△ABC中，∠A=50°，∠B=65°，则△ABC是______三角形，理由是______（答案：等腰，∠B=∠C=65°，等角对等边）
2. 下列能判定△ABC为等腰三角形的是（ ）（答案：B）
A. ∠A=30°，∠B=40° B. ∠A=50°，∠B=80° C. ∠A=20°，∠B=100° D. ∠A=40°，∠B=50°
3. 如图6，∠ACB=90°，CD平分∠ACB，DE⊥BC于E，DF⊥AC于F。求证：四边形CEDF是正方形，且△ADF和△BDE都是等腰三角形。（提示：先证四边形为矩形，再由角平分线得DF=DE，证正方形；再用等角对等边证等腰）
（四）随堂检测，反馈矫正（5分钟）
1. 在等腰△ABC中，AB=AC，若AD平分∠BAC，BC=10，则BD=______；若∠BAD=35°，则∠BAC=______（答案：5，70°）
2. 下列说法正确的是（ ）（答案：C）
A. 任意三角形都有“三线合一”性质
B. 等腰三角形的腰上的中线与腰上的高重合
C. 等腰三角形的顶角平分线一定垂直于底边
D. 等腰三角形的“三线合一”指的是三条线段完全相同
3. 如图5，AB=AC，AD⊥BC于D，AE=AF，求证：DE=DF。（提示：连接AD，用“三线合一”得AD平分∠BAC，再证△ADE≌△ADF）
1. 在等腰△ABC中，AB=AC，∠A=50°，则∠B=______，∠C=______（答案：65°，65°）
2. 等腰△ABC的周长为18，其中一边长为5，则另两边长为______（答案：5和8或6.5和6.5，强调分类讨论边长为腰或底边）
3. 如图5，AB=AC，AD⊥BC于D，若AB=6，CD=3，则△ABC的周长为______（答案：18）
1. 一个核心定理：等腰三角形判定定理（等角对等边），前提是“同一三角形”，作用是判定等腰三角形或证明边相等。
2. 一组关键对比：判定定理（等角→对等边）与性质定理（等边→对等角）是互逆定理，应用时需明确“已知”与“求证”。
3. 两种思想方法：逆向思维（由性质推判定）、数形结合（将实际问题转化为几何模型）。
（五）课堂小结，构建体系（2分钟）
1. 一个核心性质：等腰三角形“三线合一”（前提：等腰三角形；对象：顶角平分线、底边上的中线、底边上的高；关系：知一得二）。
2. 两种思想方法：转化思想（将线段/角关系转化为全等或性质应用）、分类思想（明确“三线”范围，规避错误）。
3. 三个应用层次：直接用（求长度/角度）、证明用（证相等关系）、综合用（结合其他性质）。
1. 核心概念：等腰三角形的定义及腰、底边、顶角、底角的识别。
2. 两大性质：①等边对等角（在同一三角形中，相等边所对的角相等）；②三线合一（顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合）。
3. 数学思想：分类讨论（求等腰三角形角度或边长时）、数形结合。
1. 基础题：教材习题15.4第8、9题（巩固判定定理的直接应用）。
2. 提升题：如图7，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线交于点O，过O作DE∥BC交AB于D，交AC于E。求证：BD+CE=DE。（提示：用“等角对等边”证BD=DO，CE=EO）
3. 拓展题：已知△ABC中，∠A=100°，∠B=40°，请用两种方法判定△ABC的形状，并说明理由。
（六）布置作业，分层拓展（1分钟）
1. 基础题：教材习题15.4第4、7题（巩固“三线合一”的直接应用）。
2. 提升题：如图6，AB=AC，BD⊥AC于D，CE⊥AB于E，BD与CE交于O，求证：AO平分∠BAC（用“三线合一”或全等证明）。
3. 拓展题：用尺规作图，在等腰△ABC中作出“三线合一”的线段AD，并说明作图依据（结合性质与尺规作图规则）。
1. 教材习题15.4第1、3、5题（基础巩固，掌握性质的基本应用）。
在△ABC 中，AB = AC，倘若不留神，它的一部分被墨水涂没了，只留下一条底边 BC 和一个底角∠C，请问，有没有办法把原来的等腰三角形画出来？
A
B
C
A
新课导入
已知：如图，在△ABC 中，∠B =∠C，那么它们所对的边 AB 和 AC 有什么数量关系
建立数学模型：
C
A
B
做一做：画一个△ABC，其中∠B =∠C = 30°，请你量一量 AB与 AC 的长度，它们之间有什么数量关系？你能得出什么结论？
AB = AC
你能验证你的结论吗？
等腰三角形的判定
新课讲解
在△ABD 与△ACD 中，
∠1 =∠2，
∴ △ABD≌△ACD(AAS).
∠B =∠C，
AD = AD，
∴ AB = AC.
过 A 作 AD 平分∠BAC 交 BC 于点 D.
证明：
C
A
B
2
1
D
（
（
△ABC 是等腰三角形.
则∠1 =∠2.
新课讲解
∴ AC = AB ( )，
即△ABC 为等腰三角形.
∵∠B =∠C ( )，
等腰三角形的判定方法
有两个角相等的三角形是等腰三角形.“等角对等边”
已知
等角对等边
在△ABC 中，
应用格式：
B
C
A
(
(
这又是一个判定两条线段相等的根据之一.
要点归纳
A
B
C
D
2
1
∵∠1 =∠2，
∴ BD = DC
(等角对等边).
∵∠1 =∠2，
∴ DC = BC
A
B
C
D
2
1
(等角对等边).
错，因为两角都不是在同一个三角形中.
辨一辨：如图，下列推理正确吗
新课讲解
例1 求证：如果三角形一个外角的平分线平行于三角形的一边，那么这个三角形是等腰三角形．
已知：如图，∠CAE 是△ABC 的外角，∠1 =∠2，AD∥BC．
求证：AB = AC．
证明：∵AD∥BC，
∴∠1 =∠B (两直线平行，同位角相等)，
∠2 =∠C (两直线平行，内错角相等)．
又∵∠1 =∠2，∴∠B =∠C.
∴ AB = AC (等角对等边)．
A
B
C
E
（
（
1
2
D
例题讲解
例2 已知：如图，AB = DC，BD = CA，BD 与 CA 相交于点 E. 求证：△AED 是等腰三角形.
A
B
C
D
E
证明：
∵AB = DC，BD = CA，AD = DA，
∴△ABD≌△DCA (SSS).
∴∠ADB =∠DAC (全等三角形的对应角相等).
∴AE = DE (等角对等边).
∴ △AED 是等腰三角形.
例题讲解
例3 已知：如图，AD∥BC，BD 平分∠ABC.
求证：AB = AD.
B
A
D
C
证明：∵ AD∥BC，
∴∠ADB =∠DBC.
∵ BD 平分∠ABC，
∴∠ABD =∠DBC.
∴∠ABD =∠ADB.
∴ AB = AD.
方法总结：平分角 + 平行 = 等腰三角形.
例题讲解
∴∠EDB =∠EBD.
∴ BE = DE，即△EBD 是等腰三角形.
如图，把一张长方形的纸沿着对角线折叠，重合部分是一个等腰三角形吗？为什么？
B
C
A
D
E
变式训练
解：是的.
由折叠可知，∠EBD =∠CBD.
∵AD∥BC，∴∠EDB =∠CBD.
新课讲解
练一练：1. 在△ABC 中，∠A 和∠B 的度数如下，能判定 △ABC 是等腰三角形的是（ ）
A. ∠A＝50°，∠B＝70° B. ∠A＝70°，∠B＝40°
C. ∠A＝30°，∠B＝90° D. ∠A＝80°，∠B＝60°
B
2. 如图，已知 OC 平分∠AOB，CD∥OB，若 OD＝3 cm，则CD 的长为______.
3 cm
新课讲解
例4 如图，在△ABC 中，∠ACB＝90°，CD 是 AB 边上的高，AE 是∠BAC 的平分线，AE 与 CD 交于点 F，求证：△CEF 是等腰三角形．
证明：在△ABC 中，∵∠ACB＝90°，
∴∠B＋∠BAC＝90°.
∵ CD 是 AB 边上的高，
∴∠ACD＋∠BAC＝90°，∴∠B＝∠ACD.
∵ AE 是∠BAC 的平分线，∴∠BAE＝∠EAC.
∴∠B＋∠BAE＝∠ACD＋∠EAC，即∠CEF＝∠CFE.
∴ CE＝CF，即△CEF 是等腰三角形．
例题讲解
方法总结：“等角对等边”是判定等腰三角形的重要依据，是先有角相等再有边相等，只限于在同一个三角形中，若在两个不同的三角形中，此结论不一定成立．
新课讲解
推论1：三个角都相等的三角形是等边三角形.
推论2：有一个角是 60° 的等腰三角形是等边三角形.
由等腰三角形的判定定理可以直接得到：
等边三角形的判定
为什么？
↗
新课讲解
证明推论2：有一个角是 60° 的等腰三角形是等边三角形.
证明：如图，在等腰三角形 ABC 中，AB = AC.
由三角形内角和定理得：∠A +∠B +∠C = 180°.
若顶角∠A = 60°，
则∠B +∠C = 180° - 60° = 120°.
又 AB = AC，
∴∠B =∠C.
∴∠B =∠C =∠A = 60°.
∴△ABC 是等边三角形.
如果是底角∠B = 60°
(或∠C = 60°) 呢？
新课讲解
辩一辩：根据条件判断下列三角形是否为等边三角形.
不
是
是
是
是
是
不一定
是
（1）
5
5
4
（2）
5
5
5
（3）
60°
60°
（4）
60°
（5）
5
5
60°
（6）
5
5
60°
新课讲解
辩一辩：根据条件判断下列三角形是否为等边三角形.
不
是
是
是
是
是
不一定
是
（1）
5
5
4
（2）
5
5
5
（3）
60°
60°
（4）
60°
（5）
5
5
60°
（6）
5
5
60°
新课讲解
例5 如图，在等边三角形 ABC 中，DE∥BC.
求证：△ADE 是等边三角形.
A
C
B
D
E
证明：
∵△ABC 是等边三角形，
∴∠A = ∠B = ∠C.
∵ DE∥BC，
∴∠ADE =∠B，∠AED =∠C.
∴∠A =∠ADE =∠AED .
∴△ADE 是等边三角形.
想一想：本题还有其他证法吗？
例题讲解
证明：∵△ABC 是等边三角形，
∴∠A =∠ABC =∠ACB = 60°．
∵ DE∥BC，
∴∠ABC =∠ADE，
∠ACB =∠AED.
∴∠A =∠ADE =∠AED.
∴△ADE 是等边三角形.
变式1　若点 D、E 分别在边 AB、AC 的延长线上，且 DE∥BC，结论还成立吗？
A
D
E
B
C
新课讲解
变式2 上题中，若将条件 DE∥BC 改为 BD = CE，△ADE 还是等边三角形吗 试说明理由.
A
C
B
D
E
证明：
∵△ABC 是等边三角形，
∴∠A = 60°，AB = AC.
∵ BD = CE，
∴ AB－BD = AC－CE，即 AD = AE.
又∵∠A = 60°，
∴△ADE 是等边三角形.
新课讲解
变式3　已知：如图，△ABC 是等边三角形，点 D，E 分别在边 BA，CA 的延长线上，且 AD = AE．
求证：△ADE 是等边三角形．
证明：∵△ABC 是等边三角形，
∴∠BAC =∠B =∠C = 60°．
∴∠EAD =∠BAC = 60°.
又 AD = AE，
∴△ADE 是等边三角形．
A
D
E
B
C
有一个角是 60° 的等腰三角形是等边三角形
新课讲解
例6 等边△ABC 中，点 P 在△ABC 内，点 Q 在△ABC外，且∠ABP＝∠ACQ，BP＝CQ，问△APQ 是什么形状的三角形？试证明你的结论．
解：△APQ 为等边三角形．证明如下：
∵△ABC 为等边三角形，∴ AB＝AC，∠BAC＝60°.
∵ BP＝CQ，∠ABP＝∠ACQ，
∴△ABP≌△ACQ (SAS).
∴ AP＝AQ，∠BAP＝∠CAQ.
∵∠BAC＝∠BAP＋∠PAC＝60°，
∴∠PAQ＝∠CAQ＋∠PAC＝60°.
∴△APQ 是等边三角形.
B
C
Q
A
P
例题讲解
方法总结：判定一个三角形是等边三角形有以下方法：一是证明三角形三条边相等；
二是证明三角形三个内角相等 (或两个内角等于 60°)；
三是先证明三角形是等腰三角形，再证明有一个内角
等于 60°.
新课讲解
证明：∵ △ABC 为等边三角形，且 AD = BE = CF，
∴ AF = BD = CE，∠A =∠B =∠C = 60°.
∴△ADF≌△BED≌△CFE（SAS）.
∴ DF = ED = FE.
∴△DEF 是等边三角形.
针对训练：如图，等边△ABC 中，D、E、F 分别是各边上的点，且 AD = BE = CF．
求证：△DEF 是等边三角形．
A
C
B
D
E
F
新课讲解
1.如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，BD、CE 分别是∠ABC、∠BCD 的角平分线，则图中的等腰三角形有(　　)
A．5 个 B．4 个 C．3 个 D．2 个
A
2.一个三角形的一个外角为 130°，且它恰好等于一个不相邻的内角的 2 倍.这个三角形是（ ）
A．钝角三角形 　 B．直角三角形 　
C．等腰三角形 　 D．等边三角形
C
课堂练习
3.如图，已知∠A = 36°，∠DBC = 36°，∠C = 72°，则∠DBC = _____，∠BDC = _____，图中的等腰三角形有_______________________.
36°
72°
△ABC、
△DBA、
△BCD
A
B
C
D
课堂练习
4. 如图，△ABC 和△ADE 都是等边三角形，已知△ABC 的周长为 18 cm，EC = 2 cm，则△ADE 的周长是 .
A
C
B
D
E
12 cm
5. 如图，在△ABC 中，∠ABC 和∠ACB 的平分线交于点 E，过点 E 作 MN∥BC 交 AB 于 M，交 AC 于 N，若 BM＋CN＝9，则线段 MN 的长为_____.
9
第 6 题图
第 7 题图
课堂练习
6. 已知：如图，四边形 ABCD 中，AB＝AD，∠B＝∠D.
求证：BC＝CD.
证明：连接 BD.
∵ AB = AD，
∴∠ABD =∠ADB.
∵∠ABC =∠ADC，
∴∠ABC - ∠ABD =∠ADC -∠ADB，
即∠CBD = ∠CDB.
∴ BC = CD.
课堂练习
在△ABC 中，AB = AC，倘若不留神，它的一部分被墨水涂没了，只留下一条底边 BC 和一个底角∠C，请问：有没有办法把原来的等腰三角形画出来？
A
B
C
解：3 种“补画”方法：
方法1：量出∠C 度数，画出∠B＝∠C，
∠B 与∠C 的边相交得到顶点 A．
方法2：作 BC 边上的垂直平分线，与
∠C 的一边相交得到顶点 A．
方法3：对折．
拓展提升
课堂练习
知识点1 等腰三角形的判定
（第1题）
1. 如图， ，
，则图中的等
腰三角形有( )
D
A. 3个 B. 4个 C. 5个 D. 6个
返回
（第2题）
2.如图，一艘海轮位于灯塔的南偏东
方向的 处，它以每小时40海里的速度向
正北方向航行，2小时后到达位于灯塔
的北偏东 方向的处，则 处与灯塔
的距离为____海里.
80
返回
3.［2024自贡］如图，在 中，
， .
（1）求证： ；
【证明】， .
又， .
.
（2）若 ，平分，请直接写出 的形状.
【解】 是等腰直角三角形.
【点拨】 ， ，
.
又平分 ，
.
， .
.
是等腰直角三角形.
返回
知识点2 等边三角形的判定
4. 下列条件不能判定 是等边三角形的是( )
D
A. B.
C. ， D.
返回
5.将含 角的直角三角尺和直尺按如图所
示的方式放置，已知 ，点， 表
示的刻度分别为1，3，则线段 的长为___
.
2
【点拨】 直尺的两对边相互平行， .
又 ，
.
.
是等边三角形. .
返回
6.［2024长沙］如图，点在线段 上，
，， .
（1）求证： ；
【证明】在与中，
.
（2）若 ，求 的度数.
【解】， ，
， .
是等边三角形. .
返回
知识点3 含30°角的直角三角形的性质
（第7题）
7. ［2025安庆校级期末］如图，在
中， ，
，是 上一点，连接
，若 ， ，
则 的长为( )
A
A. 8 B. 7 C. 6 D. 5
返回
等腰三角形的判定
等角对等边
注意是指同一个三角形中
推论
1.三个角都相等的三角形是等边三角形.
2.有一个角是 60° 的等腰三角形是等边三角形.
课堂小结
谢谢观看！

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