资源简介

(共34张PPT)
【2025新教材】沪科版数学 八年级上册
第15章 轴对称图形与等腰三角形
15.4.1等腰三角形的边角的性质
1.了解等腰三角形的性质，掌握等腰三角形的性质定理及推论，会用定理及推论解决简单问题;（重点）
2.进一步培养学生分析问题、解决问题的能力，渗透转化思想;
3.培养学生探究思维、逻辑推理能力以及如何规范证明题书写格式等学习方法．（难点）
学习目标
15.4.1 等腰三角形的边角性质 教学课件
一、教学目标
1. 知识与技能：理解等腰三角形的定义及相关概念（腰、底边、顶角、底角）；掌握等腰三角形“等边对等角”和“三线合一”的边角性质；能运用性质解决与等腰三角形相关的计算和证明问题。
2. 过程与方法：通过动手折叠、观察猜想、推理论证等活动，培养几何直观、逻辑推理能力和动手操作能力；体会“实验—猜想—证明”的数学研究方法。
3. 情感态度与价值观：感受等腰三角形的对称美，激发对几何学习的兴趣；在探究过程中培养严谨的数学思维和合作交流意识。
二、教学重难点
- 重点：等腰三角形“等边对等角”和“三线合一”性质的理解与应用。
- 难点：“三线合一”性质的准确理解（三线指顶角平分线、底边上的中线、底边上的高）及灵活运用；性质证明过程中辅助线的添加思路。
三、教学准备
多媒体课件、等腰三角形纸片（学生每人1张）、直尺、圆规、量角器、练习本。
四、教学过程
（一）情境引入，复习旧知（5分钟）
1. 情境感知
展示生活中的等腰三角形实例：埃及金字塔、等腰三角尺、屋顶框架图等，提问：“这些物体的形状有什么共同特点？”引导学生发现它们都含有两边相等的三角形，引出课题——等腰三角形的边角性质。
2. 概念回顾与辨析
提问1：什么是等腰三角形？请结合图形说明它的相关概念。
出示等腰三角形ABC（AB=AC），引导学生回答：
- 定义：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形。
- 相关概念：相等的两条边（AB、AC）叫做腰；另一条边（BC）叫做底边；两腰的夹角（∠BAC）叫做顶角；腰与底边的夹角（∠B、∠C）叫做底角。
提问2：特殊的等腰三角形是什么？（等边三角形，即三边都相等的三角形，可看作腰与底边相等的等腰三角形）
小练习：判断下列三角形是否为等腰三角形？（1）三边为3、4、3；（2）三边为5、5、5；（3）三边为2、3、4。（学生回答后教师点评，强调等腰三角形的核心是“两边相等”）
（二）动手探究，发现性质（15分钟）
1. 探究性质1：等边对等角
（1）动手操作，观察猜想
请学生拿出准备好的等腰三角形纸片（AB=AC），完成以下操作：
1. 将等腰三角形纸片沿折痕AD折叠（使AB与AC重合），观察折叠后两边的重合情况。
2. 用量角器测量顶角∠BAC和底角∠B、∠C的度数，记录数据。
3. 改变等腰三角形的腰长（换不同的等腰三角形纸片），重复上述操作，观察底角的变化规律。
引导学生提出猜想：等腰三角形的两个底角相等（即“等边对等角”）。
（2）严谨证明，验证猜想
已知：如图1，在△ABC中，AB=AC。
求证：∠B=∠C。
引导学生思考：要证明两个角相等，常用方法是证明它们所在的三角形全等。如何构造全等三角形？（结合折叠操作，启发学生添加辅助线——顶角平分线、底边上的中线或底边上的高）
方法一：作顶角的平分线AD（如图1）
证明过程：
∵AD平分∠BAC（辅助线作法），∴∠BAD=∠CAD。
在△ABD和△ACD中：
AB=AC（已知），∠BAD=∠CAD（已证），AD=AD（公共边），
∴△ABD≌△ACD（SAS）。
∴∠B=∠C（全等三角形对应角相等）。
补充说明：还可通过作底边上的中线AD（BD=CD）或底边上的高AD（AD⊥BC），分别用SSS或HL证明△ABD≌△ACD，最终都能得出∠B=∠C的结论。
（3）性质总结与几何语言
性质1（等边对等角）：等腰三角形的两个底角相等。
几何语言：∵在△ABC中，AB=AC（已知），∴∠B=∠C（等边对等角）。
易错提示：“等边对等角”的前提是“在同一个三角形中”，若两条相等的线段不在同一个三角形内，不能直接得出对应角相等。
2. 探究性质2：三线合一
（1）结合证明，发现新结论
回顾刚才的证明过程（作顶角平分线AD），除了得到∠B=∠C，还能从△ABD≌△ACD中推出哪些结论？
引导学生观察：∵△ABD≌△ACD，∴BD=CD，∠ADB=∠ADC=90°。
由此得出：AD既是顶角平分线，又是底边上的中线，还是底边上的高。
（2）归纳性质，明确内涵
性质2（三线合一）：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合。
几何语言（以顶角平分线为例）：∵在△ABC中，AB=AC，AD平分∠BAC（已知），∴BD=CD，AD⊥BC（等腰三角形三线合一）。
同理，若已知AB=AC，BD=CD，则AD平分∠BAC，AD⊥BC；若已知AB=AC，AD⊥BC，则AD平分∠BAC，BD=CD。
强调：“三线合一”中的“三线”特指等腰三角形的“顶角平分线、底边上的中线、底边上的高”，非腰上的线不满足此性质。
（三）例题解析，巩固应用（12分钟）
例1：利用“等边对等角”求角度
如图2，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，求∠B和∠C的度数。
解题步骤：
1. 由AB=AC，根据“等边对等角”得∠B=∠C（设∠B=∠C=x）。
2. 根据三角形内角和定理：∠BAC+∠B+∠C=180°。
3. 代入数据：120°+x+x=180°，解得2x=60°，x=30°。
4. ∴∠B=∠C=30°。
变式提问：若将条件改为“∠B=40°”，求∠BAC的度数？（分两种情况：∠B为底角或顶角，培养分类讨论意识）
例2：利用“三线合一”证明线段关系
如图3，在△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的中线，E是AD延长线上一点，连接BE、CE。求证：BE=CE。
解题思路：由“三线合一”可知AD垂直平分BC，再利用垂直平分线的性质证明BE=CE，或直接证明△ABE≌△ACE。
证明过程（方法一：利用三线合一+全等）：
∵AB=AC，AD是BC边上的中线（已知），∴AD⊥BC（等腰三角形三线合一），即AD垂直平分BC。
∴E在AD上，∴BE=CE（线段垂直平分线上的点到线段两端距离相等）。
证明过程（方法二：全等证明）：
∵AB=AC，AD是BC边上的中线（已知），∴BD=CD，∠BAE=∠CAE（等腰三角形三线合一）。
在△ABE和△ACE中：
AB=AC（已知），∠BAE=∠CAE（已证），AE=AE（公共边），
∴△ABE≌△ACE（SAS）。∴BE=CE（全等三角形对应边相等）。
例3：综合应用性质解决问题
如图4，在△ABC中，AB=AC，BD=CD，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F。求证：DE=DF。
提示：连接AD，先由“三线合一”得AD平分∠BAC，再利用角平分线的性质（角平分线上的点到角两边距离相等）证明DE=DF。（学生独立完成，教师巡视指导）
（四）随堂练习，反馈提升（5分钟）
1. 在等腰△ABC中，AB=AC，∠A=50°，则∠B=______，∠C=______（答案：65°，65°）
2. 等腰△ABC的周长为18，其中一边长为5，则另两边长为______（答案：5和8或6.5和6.5，强调分类讨论边长为腰或底边）
3. 如图5，AB=AC，AD⊥BC于D，若AB=6，CD=3，则△ABC的周长为______（答案：18）
（五）课堂小结，梳理知识（2分钟）
1. 核心概念：等腰三角形的定义及腰、底边、顶角、底角的识别。
2. 两大性质：①等边对等角（在同一三角形中，相等边所对的角相等）；②三线合一（顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合）。
3. 数学思想：分类讨论（求等腰三角形角度或边长时）、数形结合。
（六）布置作业，拓展延伸（1分钟）
1. 教材习题15.4第1、3、5题（基础巩固，掌握性质的基本应用）。
2. 拓展题：如图6，在等腰△ABC中，AB=AC，点D在AC上，且BD=BC=AD，求△ABC各内角的度数（培养综合推理能力）。
五、板书设计
15.4.1 等腰三角形的边角性质
一、相关概念 二、核心性质
1. 定义：两边相等的三角形 1. 等边对等角
2. 要素：腰（AB=AC）、底边（BC） 几何语言：∵AB=AC ∴∠B=∠C
顶角（∠A）、底角（∠B、∠C） 2. 三线合一
几何语言：①AB=AC，AD平分∠BAC
∴BD=CD，AD⊥BC
三、例题解析（例1、例2） 四、思想方法：分类讨论、数形结合
建筑中的等腰三角形：
古典建筑
铁塔
现代桥梁
新课导入
定义及相关概念
有两条边相等的三角形叫作等腰三角形.
等腰三角形中，相等的两边叫作腰，另一边叫作底边，两腰的夹角叫作顶角，腰和底边的夹角叫作底角.
A
C
B
腰
腰
底边
顶角
底角
底角
新课导入
剪一剪：把一张长方形的纸按图中的红线对折，并剪下蓝色部分（一个直角三角形），再把得到的直角三角形展开，得到的三角形有什么特点？
等腰三角形的性质
新课讲解
A
B
C
AB = AC
等腰三角形
新课讲解
视频：等腰三角形的剪裁
新课讲解
折一折：△ABC 是轴对称图形吗？它的对称轴是什么？
A
C
D
B
底边上的中线所在的直线是它的对称轴.
等腰三角形是轴对称图形.
新课讲解
找一找：把剪出的等腰三角形 ABC 沿折痕对折，找出其中重合的线段和角.
重合的线段 重合的角
　
A
C
B
D
AB 与 AC
BD 与 CD
AD 与 AD
∠B 与∠C
∠BAD 与∠CAD
∠ADB 与∠ADC
猜一猜：由这些重合的角，你能发现等腰三角形的性质吗？说一说你的猜想.
新课讲解
定理1 等腰三角形的两个底角相等(等边对等角).
应用格式：
∵AB = AC (已知)，
∴∠B =∠C (等边对等角).
等腰三角形是轴对称图形，底边上的中线所在的直线是它的对称轴。
要点归纳
已知：△ABC 中，AB = AC，求证：∠B =∠C .
证法：作底边 BC 边上的中线 AD.
在△ABD 与△ACD 中，
AB = AC (已知)，
BD = DC (已作)，
AD = AD (公共边)，
∴ △ABD≌△ACD (SSS).
∴ ∠B =∠C.
A
B
C
D
猜想验证
你还有其他的证明方法吗？
新课讲解
解：∵AB = AC (已知)，∴∠B =∠C (等边对等角).
∴∠B =∠C = ×(180° - 120°) = 30°.
又∵BD = AD (已知)，
∴∠BAD =∠B = 30°(等边对等角).
同理，∠CAE =∠C = 30°.
∴∠DAE =∠BAC -∠BAD -∠CAE
= 120° - 30° - 30° = 60°.
例1 如图，在△ABC 中，AB = AC，∠BAC = 120°，点 D，E 是底边上两点，且 BD = AD，CE = AE. 求∠DAE 的度数.
例题讲解
A
B
C
D
例2 如图，在△ABC 中，AB = AC，点 D 在 AC 上，且 BD = BC = AD，求 △ABC 各角的度数.
分析：(1) 找出图中所有的相等角；
(2) 找出图中有几个等腰三角形；
∠A =∠ABD，
∠C =∠BDC =∠ABC.
△ABC，
△ABD，
△BCD.
例题讲解
A
B
C
D
x
⌒
2x
⌒
2x
⌒
⌒
2x
(3) 观察∠BDC 与∠A 的关系，∠ABC、∠C 呢
∠BDC = ∠A +∠ABD = 2∠A ，
∠ABC =∠BDC = 2∠A，
∠C =∠BDC = 2∠A.
(4) 设∠A = x°，请把△ABC 的内角和用含 x
的式子表示出来.
∵∠A +∠ABC +∠C = 180°，
∴ x + 2x + 2x = 180°.
例题讲解
解：∵ AB = AC，BD = BC = AD，
∴ ∠ABC =∠C =∠BDC，∠A =∠ABD.
设∠A = x，则∠BDC =∠A +∠ABD = 2x，
从而∠ABC =∠C =∠BDC = 2x.
于是在△ABC 中，有
∠A +∠ABC+∠C = x + 2x + 2x = 180°，
解得 x = 36°.
∴ 在△ABC 中，∠A = 36°，∠ABC =∠C = 72°.
A
B
C
D
x
⌒
2x
⌒
2x
⌒
⌒
2x
例题讲解
方法总结：利用等腰三角形的性质和三角形外角的性质可以得到角与角之间的关系，当这种等量关系或和差关系较多时，可考虑列方程解答，设未知数时，一般设较小的角的度数为 x.
新课讲解
如图，在△ABC 中，AB = AD = DC， ∠BAD = 26°，求∠B 和∠C 的度数.
解：∵ AB = AD = DC，
∴∠B = ∠ADB，∠C= ∠DAC.
设∠C = x°，则 ∠DAC = x°，
，∴∠ABD =∠ADB =∠C +∠DAC = 2x°.
在△ABC 中，根据三角形内角和定理，得
2x + x + 26 + x = 180，解得 x = 38.5.
∴∠C = x° = 38.5°，∠B = 2x° = 77°.
变式训练：
新课讲解
例3 等腰三角形的一个内角是 50°，求这个三角形的底角的度数.
解：当 50° 的角是底角时，三角形的底角就是 50°；当 50° 的角是顶角时，由于两底角相等，根据三角形的内角和定理易得底角是 65°.
方法总结：等腰三角形的两个底角相等，已知一个内角为锐角时，则这个角可能是底角也可能是顶角，要分两种情况讨论．
例题讲解
问题1 等边三角形的三个内角之间有什么关系？
A
B
C
A
B
C
等腰三角形
AB = AC
∠B = ∠C
等边三角形
AB = AC = BC
AB = AC
∠B =∠C
AC = BC
∠A =∠B
∠A =∠B =∠C
类比探究
等边三角形的性质
新课讲解
推论：等边三角形的三个内角相等，且都等于 60°.
已知：△ABC 中，AB = AC = BC.
求证：∠A =∠B =∠C = 60°.
证明： ∵ AB = AC，
∴∠B =∠C (等边对等角).
同理，∠A =∠C.
∴∠A =∠B =∠C.
∵∠A +∠B +∠C = 180°，
∴∠A =∠B =∠C = 60°.
A
B
C
新课讲解
例4 如图，△ABC 是等边三角形，E 是 AC 上一点，D 是 BC 延长线上一点，连接 BE，DE，若∠ABE＝40°，BE＝DE，求∠CED 的度数．
解：∵△ABC 是等边三角形，∴∠ABC＝∠ACB＝60°.
∵∠ABE＝40°，
∴∠EBC＝∠ABC－∠ABE＝60°－40°＝20°.
∵ BE＝DE，∴∠D＝∠EBC＝20°.
∴∠CED＝∠ACB－∠D＝40°.
方法总结：等边三角形的三个内角都是 60°，这个性质常应用在求角度的问题上，一般需结合“等边对等角”、三角形的内角和与外角的性质求解.
A
B
C
D
E
新课讲解
2. 如图，在△ABC 中，AB = AC，过点 A 作 AD∥BC，若∠1 = 70°，则∠BAC 的大小为（　　）
A．30° B．40° C．50° D．70°
B
1. 等腰三角形有一个角是 90°，则另两个角的度数分别是 （　　）
A. 30°，60° B. 45°，45°
C. 45°，90° D. 20°，70°
B
A
B
C
D
1
⌒
课堂练习
3. (1) 等腰三角形一个底角为 75°，它的另外两个角为
__________；
(2) 等腰三角形的一个角为 36°，它的另外两个角为
____________________；
(3) 等腰三角形的一个角为 120°，它的另外两个角为
.
75°，30°
72°，72° 或 36°，108°
30°，30°
课堂练习
4. 如图，已知△ABC 为等腰三角形，AB＝AC，BD、CE为底角的平分线，且∠DBC＝∠F，求证：EC∥DF.
∴∠DBC＝∠ECB.
∵∠DBC＝∠F，∴∠ECB＝∠F.
∴ EC∥DF.
证明：∵△ABC 为等腰三角形，AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB.
又∵ BD、CE 为底角的平分线，
A
B
C
D
E
F
课堂练习
5. 如图，点 P 为等边△ABC 的边 BC 上一点，
且∠APD = 80°，AD = AP，求∠DPC 的度数.
解：∵△ABC 是等边三角形，
∴∠C = 60°.
∵ AD = AP，
∴∠APD =∠ADP = 80°.
∴∠DPC =∠ADP -∠C = 20°.
课堂练习
知识点1 等腰三角形的“等边对等角”的性质
（第1题）
1.［2024济南］如图，已知， 是
等腰直角三角形， ，顶点,
分别在,上，当 时， ____.
返回
2.［2024内江］如图，在中， ，
，，则 的度数为______.
（第2题）
返回
（第3题）
3.如图，在点处用钉子将木条，
钉在一起，是木条 上一点，用橡皮
筋连接，，固定木条 ，把木条
绕转动．若是 的中点，当
的面积最大时，与 之
间存在的数量关系为_______________.
返回
4. 如图，锐角三角形中，，点， 分别在边
,上，连接, .下列命题中，假命题是( )
A
（第4题）
A. 若，则
B. 若,则
C. 若，则
D. 若，则
返回
知识点2 等边三角形的性质
（第5题）
5.如图，等腰三角形纸片中， ，
，垂足为 .小花放入一张等边三角形
纸片，在上，为与 的交点，
小都又放一张等边三角形纸片，在 上.
小花和小都量得， ，那么等腰三
角形纸片底边 的长应为____.
11
返回
（第6题）
6. 如图，是等边三角形的边
上的高，以点为圆心， 长为半径作
弧，交的延长线于点，连接 ，则
( )
C
A. B. C. D.
返回
（第7题）
7. 如图，是等边三角形， 是角平
分线，是等边三角形，连接 ，有
下列结论：
；； .
其中正确的个数为( )
A
A. 3 B. 2 C. 1 D. 0
等腰三角形的性质
等边对等角
注意是指同一个三角形中
推论
等边三角形三个内角相等，且均等于 60°
课堂小结
谢谢观看！

展开更多......

收起↑