资源简介

(共33张PPT)
【2025新教材】沪科版数学 八年级上册
第15章 轴对称图形与等腰三角形
15.4.4含30°角的直角三角形的性质
1．探索含30°角的直角三角形的性质．（重点）
2．会运用含30°角的直角三角形的性质进行有关的证明和计算．（难点）
学习目标
15.4.4 含30°角的直角三角形的性质 教学过程
一、教学基本信息
1. 课题：15.4.4 含30°角的直角三角形的性质
2. 课时：1课时（45分钟）
3. 学情分析：学生已掌握直角三角形的基本性质、勾股定理及等边三角形的判定与性质，具备一定的动手操作、逻辑推理和合作探究能力。但对“特殊角度与边长关系”的抽象概括能力较弱，需通过具象操作与分层引导突破难点。
4. 教学目标：
知识与技能：掌握含30°角的直角三角形的性质，能运用该性质解决线段长度计算问题；理解性质的推导过程，提升逻辑推理能力。
5. 过程与方法：通过“动手操作—观察猜想—推理论证—应用拓展”的过程，体验从特殊到一般的探究方法，培养几何直观与推理能力。
6. 情感态度与价值观：感受数学知识的关联性，激发探究兴趣；在解决问题中体验成功，增强数学应用意识。
7. 教学重难点：
重点：含30°角的直角三角形的性质及应用。
8. 难点：性质的推导过程（将直角三角形与等边三角形关联的转化思想）。
9. 教学准备：多媒体课件、含30°角的直角三角形纸片（每人3张）、直尺、圆规。
二、教学过程设计
（一）情境导入，激发兴趣（5分钟）
（二）动手探究，猜想性质（10分钟）
直角三角形编号
30°角对的直角边长度（cm）
斜边长度（cm）
两者数量关系
1
2
（三）推理论证，确认性质（10分钟）
（四）例题讲解，应用性质（8分钟）
（五）巩固练习，强化提升（7分钟）
（六）课堂小结，梳理知识（3分钟）
（七）布置作业，分层落实（2分钟）
三、板书设计
15.4.4 含30°角的直角三角形的性质
问题1 如图，将两个含
30° 角的三角尺摆放在
一起，你能借助这个图
形，找到 Rt△ABC 的直
角边 BC 与斜边 AB 之间
的数量关系吗？(提示：请点击拼接和分离)
分离
拼接
A
B
C
D
A'
C'
新课导入
问题2 将一张等边三角形纸片，沿一边上的高对折，如图所示，你有什么发现？
新课导入
A
B
C
D
如图，△ADC 是 △ABC 的轴对称图形，
因此 AB = AD，∠BAD = 2×30° = 60°，
从而△ABD 是一个等边三角形.
再由 AC⊥BD，
可得 BC = CD = BD = AB.
含 30° 角的直角三角形的性质
你还能用其他方法证明吗？
新课讲解
证明：在△ABC 中，∵∠ACB = 90°，∠A = 30°，∴∠B = 60°．
延长 BC 到 D，使 BD = AB，连接AD，则△ABD 是等边三角形．
又∵AC⊥BD，
A
B
C
D
∴ BC = AB．　　
∴ BC = BD．　　
已知：如图，在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，∠A = 30°. 求证：BC = AB．
证明方法：倍长法
证法1
新课讲解
E
A
B
C
证明2： 在 BA 上截取 BE = BC，连接 EC.
∵ ∠B = 60°，BE = BC.
∴ △BCE 是等边三角形.
∴ ∠BEC = 60°，BE = EC.
∵ ∠A = 30°，
∴ ∠ECA =∠BEC -∠A = 60° - 30° = 30°.
∴ AE = EC.
∴ AE = BE = BC，
∴ AB = AE + BE = 2BC.
∴BC = AB．　　
证明方法：截半法
新课讲解
定理 在直角三角形中，如果一个锐角等于 30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.
应用格式：
∵ 在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，∠A = 30°，　　
A
B
C
∴ BC = AB．　　
要点归纳
判断下列说法是否正确：
1）直角三角形中 30° 角所对的直角边等于另一直角边的一半．
2）三角形中 30° 角所对的边等于最长边的一半.
3）直角三角形中较短的直角边是斜边的一半.
4）直角三角形的斜边是 30° 角所对直角边的 2 倍．
√
新课讲解
解析：在 Rt△ABC 中，∵ CD 是斜边 AB 上的高，∴∠ADC＝90°. ∴∠ACD＝∠B＝30°. 在 Rt△ACD 中，AC＝2AD＝6 cm. 在 Rt△ABC 中，AB＝2AC＝12 cm.
例1 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，CD是斜边AB上的高，AD＝3 cm，则AB的长度是 (　　)
A．3 cm B．6 cm
C．9 cm D．12 cm
注意：运用含 30° 角的直角三角形的性质求线段长时，要分清线段所在的直角三角形．
D
例题讲解
例2 如图，∠AOP＝∠BOP＝15°，PC∥OA 交 OB 于 C，PD⊥OA 于 D，若 PC＝3，则 PD 等于 (　　)
A．3 B．2
C．1.5 D．1
解析：如图，过点 P 作 PE⊥OB 于 E.
∵ PC∥OA，
∴∠PCE＝∠AOB＝∠AOP＋∠BOP＝30°.
又∵ PC＝3，∴ PE＝1.5.
∵∠AOP＝∠BOP，PD⊥OA，
∴ PD＝PE＝1.5.
E
C
例题讲解
方法总结：当题图中含 30° 角，与角平分线、垂直平分线的性质综合运用时，关键是寻找或作辅助线构造出含 30° 角的直角三角形．
新课讲解
例3 如图，在△ABC 中，∠C＝90°，AD 是∠BAC 的平分线，过点 D 作 DE⊥AB，DE 恰好是∠ADB 的平分线．CD 与 DB 有怎样的数量关系？请说明理由．
解：
理由如下：∵ DE⊥AB，
∴∠AED＝∠BED＝90°.
∵ DE 是∠ADB 的平分线，
∴∠ADE＝∠BDE.
例题讲解
在 Rt△ACD 中，∵∠CAD＝30°，
∴ AD＝BD，∠DAE＝∠B.
∴∠BAD＝∠CAD＝∠B.
∵∠BAD＋∠CAD＋∠B＝90°，
∴∠B＝∠BAD＝∠CAD＝30°.
∴ CD＝ AD＝ BD，即 CD＝ DB.
∵ AD 是∠BAC 的平分线，
又∵ DE＝DE，
∴△AED≌△BED (ASA).
新课讲解
方法总结：含 30° 角的直角三角形的性质是表示线段倍分关系的一个重要的依据，如果问题中出现探究线段倍分关系的结论时，可联想到此性质．
新课讲解
想一想：图中 BC、DE 分别是哪个直角三角形的直角边？它们所对的锐角分别是多少度？
例4 如图是屋架设计图的一部分，点 D 是斜梁 AB 的中点，立柱 BC，DE 垂直于横梁 AC，AB = 7.4 cm，∠A = 30° ，立柱 BC、DE 要多长？
A
B
C
D
E
例题讲解
A
B
C
D
E
解：∵ DE⊥AC，BC⊥AC，∠A = 30°，
∴ BC = AB，DE = AD.
∴ BC = AB = ×7.4 = 3.7 m .
又 AD = AB = 3.7 m，
∴ DE = AD = ×3.7 = 1.85 m.
答：立柱 BC 的长是 3.7 m，DE 的长是 1.85 m.
新课讲解
∴ CD = AC = ×20 = 10.
例5 如图，等腰三角形的底角为 15°，腰长为 20，求
腰上的高.
A
C
B
D
15°
15°
20
解：过 C 作 CD⊥BA，交 BA 的延长线于点 D.
∵∠B =∠ACB = 15° (已知)，
∴∠DAC =∠B +∠ACB
= 15° + 15° = 30°.
)
)
例题讲解
方法总结：在求三角形边长的一些问题中，可以构造含 30° 角的直角三角形来解决．本题的关键是作高，而后利用等腰三角形及外角的性质，得出 30° 角，利用含 30° 角的直角三角形的性质解决问题.
新课讲解
例6 如图，一艘船从 A 处出发，以每小时 10 海里的速度向正北航行，从 A 处测得一礁石 C 在北偏西 30° 的方向上.如果这艘轮船上午 8∶00 从 A 处出发，10∶00 到达 B 处，从 B 处测得礁石 C 在北偏西 60° 的方向上.
（1）画出礁石 C 的位置；
（2）求出 B 处到礁石 C 的距离.
B
C
30°
60°
A
D
解：(1)如图，以 B 为顶点，向北偏西 60°
作角， 这角一边与 AM 交于点 C，则 C 为礁石所在地.
M
例题讲解
(2)∵ ∠DBC =∠BAC +∠ACB，
∠BAC = 30°， ∠DBC = 60°，
∴ ∠ACB = 30°，即∠BAC =∠ACB，
∴ BC = AB ( 等角对等边)，
即 BC = AB = 10×(10 - 8) = 20 (海里).
答：B 处到礁石 C 的距离为 20 海里.
B
C
30°
60°
A
D
M
例题讲解
1. 如图，一棵树在一次强台风中，于离地面 3 米处折断倒下，倒下部分与地面成 30° 角，这棵树在折断前的高度为 ( )
A．6 米 B．9 米
C．12 米 D．15 米
B
课堂练习
2. 某市在旧城改造中，计划在一块如图所示的△ABC 空地上种植草皮以美化环境，已知∠A＝150°，这种草皮每平方米售价 a 元，则购买这种草皮需要 ( )
A．300a 元 B．150a 元
C．450a 元 D．225a 元
B
课堂练习
3. 如图，在 △ABC 中，∠ACB = 90°，CD 是高，
∠A = 30°，AB = 4．则 BD 的长为 .
A
B
C
D
1
课堂练习
4. 在△ABC 中，∠C = 90°，∠B = 15°，DE 是 AB 的垂直平分线，BE = 5，求 AC 的长．
解：连接 AE.
∵ DE 是 AB 的垂直平分线，
∴ BE = AE.
∴∠B = ∠EAB = 15°.
∴∠AEC = 30°.
∵∠C = 90°，
∴ AC = AE = BE = 2.5．
课堂练习
5. 在△ABC 中，AB = AC，∠BAC = 120°，D 是 BC 的中点，DE⊥AB 于 E 点，求证：BE = 3AE.
证明：∵ AB = AC，∠BAC = 120°，
∴∠B =∠C = 30°.
∵ D 是 BC 的中点，∴ AD⊥BC.
∴∠ADC = 90°，∠BAD =∠DAC = 60°.
∴ AB = 2AD. ∵ DE⊥AB，∴∠AED = 90°.
∴∠ADE = 30°，∴ AD = 2AE.
∴ AB = 4AE. ∴ BE = 3AE.
课堂练习
含30°角的直角三角形的性质应用
1.如图，在△ABC中，BC＝6，AB＝4，∠B＝30°，求△ABC的面积.
　
解:如图，过点A作AD⊥BC于点D，则∠ADB＝90°.
∵∠B＝30°，
∴AD＝ AB＝×4＝2.
∴S△ABC＝BC·AD＝×6×2＝6，
即△ABC的面积为6.
【方法归纳交流】根据化斜为直的思想，作出BC的高，再利用含30°角的直角三角形的性质求出高的长度.
2.对于“课本本节的例4”，若这艘船到达B处后继续向北航行，中午12:00到达B1处，从B1处测得礁石C在南偏西60°的方向上.
(1)画出此时船的位置.
(2)求从B1处到礁石C的距离.
解:(1)如图，过点C作AC的垂线，交AB的延长线于点B1，则B1为船的位置.
(2)在Rt△ACB1中，
∵∠CAB＝30°，
∴B1C＝AB1＝×10×(12－8)＝20.
3.如图，在△ABC中，AB＝AC＝10 cm，∠ABC＝15°，求△ABC的面积.
　
解:如图，过点C作CE⊥BA，交BA的延长线于点E.
∵AB＝AC，∠ABC＝15°，∴∠EAC＝30°，
∴CE＝AC＝×10＝5(cm).
∴S△ABC＝AB·CE＝×10×5＝25(cm2).
内容
在直角三角形中，如果一个锐角等于 30° ，那么它所对的直角边等于斜边的一半
使用要点
含 30°角的直角三角形的性质
找准 30° 的角所对的直角边，点明斜边
注意
前提条件：直角三角形中
课堂小结
谢谢观看！

展开更多......

收起↑