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【2025新教材】沪科版数学 八年级上册
第13章 三角形中的边角关系、命题证明
章末复习
知识体系
三角形中的边角关系
边的关系
按边将三角形分类
角的关系
三边长的关系
按角将三角形分类
高、角平分线、中线
几条重要线段
变式：若该函数图像与正比例函数y=mx交于点（1，3），求m的值及两直线交点坐标。（答案：m=3，交点（1，3））
（1）在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别为A（1，2）、B（-2，-1）、C（2，-3），将△ABC向上平移2个单位，再向右平移3个单位，得到△A'B'C'，求A'、B'、C'的坐标；
类型3：一次函数图像与性质应用
（2）已知点P（x，y）满足|x-2|+（y+3） =0，求点P关于x轴对称的点P1的坐标，及点P1向右平移2个单位后的坐标。
例3：已知一次函数y=(m-1)x+2-m，回答下列问题：
某小区平面如图，以大门O为原点，水平向右为x轴正方向，竖直向上为y轴正方向，1个单位代表10米。已知超市A的坐标为（3，2），便利店B在大门北偏东30°方向60米处，求便利店B的坐标，并说明超市A到便利店B的行走路线（用方向和距离描述）。
（1）若函数图像经过原点，求m的值；（2）若函数图像y随x增大而减小，求m的取值范围；（3）若函数图像经过第一、二、四象限，求m的取值范围。
学生独立完成后，小组内互评，教师对第2、3题进行集中讲解，强调解题规范。
分析：结合k、b的几何意义，列方程或不等式求解。
（五）课堂小结，反思提升（5分钟）
解：（1）过原点则b=0，即2-m=0，解得m=2，此时k=2-1=1≠0，符合条件；
- 核心知识：平面直角坐标系的概念、点的坐标特征、平移规律是本章核心，需牢牢掌握；
（2）y随x增大而减小则k<0，即m-1<0，解得m<1；
- 解题关键：遇点的位置问题，紧扣坐标特征；遇平移问题，牢记“上加下减、左减右加”；遇实际问题，先建坐标系再确定坐标；
答：函数关系式为y=$\begin{cases}10(01)\end{cases}$，3.2kg快递费用为28元。
3.2kg按4kg计算，y=6×4+4=28（元）。
解：当01时，y=10+6×(x-1)=6x+4（x取整数或小数进一）；
分析：分情况讨论，构建分段函数模型，注意自变量取值范围的划分。
例4：某快递公司收费标准：重量不超过1kg收费10元，超过1kg的部分，每千克收费6元（不足1kg按1kg计算）。设快递重量为x kg（x>0），费用为y元，求y与x的函数关系式，并计算3.2kg快递的费用。
类型4：一次函数实际应用
（3）过一、二、四象限则k<0且b>0，即$\begin{cases}m-1<0\\2-m>0\end{cases}$，解得m<1。
- 后续任务：整理本节课错题，标注错误原因，强化薄弱环节
知识体系
命题
分类
假命题
真命题
原命题
定理
关系
逆命题
基本事实
推论
互逆
复习回顾
考点1
三角形中边的关系
1.三角形的概念
由不在同一条直线上的三条线段首尾依次相接所组成的封闭图形叫作三角形.
2.三角形的要素
边
边
边
顶点
角
角
角
顶点
顶点
B
A
C
①组成三角形的线段叫作三角形的边.
②相邻两边的公共端点叫作三角形的顶点.
③相邻两边所组成的角叫作三角形的内角，简称三角形的角.
3.用符号表示三角形
B
A
C
a
b
c
记作:
△ABC
读作:
三角形ABC
字母没有先后顺序.
三角形的边有时用它所对角的相应小写字母表示.
4.按边将三角形分类
不等边三角形
底边和腰不相等的等腰三角形
等边三角形
等腰三角形
三角形
5.三角形的三边关系
C
A
B
三角形中任意两边的和大于第三边.
三角形中任意两边的差小于第三边.
注意：
1.三边关系的依据是：两点之间线段最短.
2.判断三条线段能否构成三角形的方法：只要满足较小的两条线段之和大于第三条线段，便可构成三角形；若不满足，则不能构成三角形.
3.三角形第三边的取值范围是：
两边之差＜第三边＜两边之和
练一练
已知两条线段的长分别是 3 cm、8 cm ，要想拼成一个三角形，且第三条线段 a 的长为奇数，问第三条线段应取多长？
解：由三角形两边之和大于第三边，两边之差小于
第三边，得 8 - 3＜a＜8 + 3，
∴ 5＜a＜11.
又∵第三边长为奇数，
∴ 第三条边长为 7 cm 或 9 cm.
考点2
三角形中角的关系
1.三角形的内角和
三角形的内角和等于 180°.
C
A
B
2.按边将三角形分类
直角三角形
钝角三角形
锐角三角形
钝角三角形
直角三角形
锐角三角形
考点3
三角形中的重要线段
1.三角形的高
从三角形的一个顶点到它对边所在直线的垂线段叫作三角形的高线，也叫作三角形的高.
A
B
C
D
表示方法：① AD 是△ABC 的边 BC 上的高；
② AD⊥BC 于 D；
③∠ADB =∠ADC = 90°.
2.三角形的三条高的特性
锐角三角形 直角三角形 钝角三角形
高在三角形内部的数量
高之间是否相交
高所在的直线是否相交
三条高所在直线的交点的位置
3
1
1
相交
相交
不相交
相交
相交
相交
三角形内部
直角顶点
三角形外部
三角形的三条高所在直线交于一点.
3.三角形的角平分线
C
A
B
1
2
D
三角形中，一个角的平分线与这个角对边相交，顶点与交点之间的线段叫作三角形的角平分线.
表示方法：
① AD 是△ABC 中∠BAC 的平分线.
② ∠1 =∠2 = ∠BAC.
注意：①三角形的角平分线是线段；
②三角形三条角平分线全在三角形的内部；
③三角形三条角平分线交于三角形内部一点；
4.三角形的中线
B
C
A
D
三角形中，连接一个顶点与它对边中点的线段叫作三角形的中线.
表示方法：
① AD 是△ABC 的边 BC 上的中线；
② BD = DC = BC.
注意：①三角形的中线是线段；
②三角形三条中线全在三角形的内部；
③三角形三条中线交于一点,这个交点就是三角形的重心；
④中线把三角形分成两个面积相等的三角形．
三角形的重要线段 图形 特点 数量 位置
三角形的高
三角形的中线
三角形的角平分线
锐角三角形：内部；
钝角三角形：外部；
直角三角形：直角顶点
3
3
3
交点叫作三角形的重心.在三角形内部
在三角形内部
总结
练一练
1.如图，在△ABC 中，∠ABC ，∠ACB 的平分线 BD，CE 交于点 O．
(1) 若∠A = 80°，则∠BOC =______．
(2) 你能猜想出∠BOC 与∠A 之间的数量关系吗？
A
B
C
O
E
D
130°
∠BOC = 90° + ∠A
2.如图，在△ABC中，AB = AC =8，P是边 BC 上任意一点，PD⊥AB于点 D，PE⊥AC于点 E，△ABC的面积为14，则PD+PE的值为______.
考点4
命题与证明
注意：
命题有真命题和假命题两种.
对某一事件作出正确或不正确判断的语句叫作命题.
命题由题设和结论两部分组成. 前一部分称之为条件，后一部分称之为结论.
命题通常是用“如果······ 那么······”的形式给出.
“如果 p，那么 q”中的题设与结论互换，得一个新命题：“如果 q，那么 p” 这两个命题称为互逆命题. 其中一个命题叫作原命题，另一个命题叫作逆命题.
当一个命题是真命题时它的逆命题不一定是真命题.
符合命题的题设，但不满足命题的结论的例子，称之为反例. 要说明一个命题是假命题，只要举一个反例即可.
证明命题的一般步骤:
①理解题意：分清命题的条件(已知)、结论(求证)；
②根据前边的分析，写出已知、求证，并画出图；
③分析因果关系，找出证明途径；
④有条理地写出证明过程.
练一练
写出下列命题的逆命题，并判断所得逆命题的真假，如果是假命题，请举一个反例.
(1)两直线平行，同位角相等；
(2)若k>0，b<0，则一次函数y=kx+b的图象不经过第二象限；
(3)等底等高的两个三角形面积相等.
解：(1)逆命题是“同位角相等，两直线平行”，是真命题.
(2)逆命题是“若一次函数y=kx+b的图象不经过第二象限，则k>0，b<0”，是假命题.
反例：当k>0，b=0时，一次函数y=kx+b的图象不经过第二象限.
(3)逆命题是“面积相等的两个三角形等底等高”，是假命题.
反例：底边是2、高是4的三角形与底边是4、高是2的三角形面积相等.
考点5
三角形内角和定理及其推论
1.三角形内角和定理的证明
A
B
C
E
D
A
B
C
l
A
B
C
D
E
F
A
B
C
l
A
B
C
D
E
F
转化思想：
构造平行线转化为平角或同旁内角互补.
2.三角形内角和定理的推论
推论1 直角三角形的两锐角互余.
推论2 有两个角互余的三角形是直角三角形.
推论3 三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和.
推论4 三角形的外角大于与它不相邻的任何一个内角.
三角形的外角和为 360°.
A
B
C
D
B
A
C
1
2
3
∠A +∠B =∠ACD
∠ACD＞∠A， ∠ACD＞∠B
1.判断下列命题是真命题还是假命题.
（1）三角形三个内角中至少有两个是锐角. ( )
（2）一个角的补角大于这个角本身. ( )
真命题
假命题
2.写出下列命题的逆命题，并判断原命题和它的逆命题是真命题还是假命题.
（1）在平面直角坐标系中，y轴上的点的横坐标为0；
（2）一个数能被4整除，这个数也能被2整除。
(1)逆命题：在平面直角坐标系中，横坐标为0的点在y轴上. 原命题是真命题，逆命题是真命题.
(2)逆命题：一个数能被2整除，这个数也能被4整除. 原命题是真命题，逆命题是假命题.
3.填空：
（1）有4条线段的长度分别是3cm，7cm，9cm和11cm，选择其中三条线段作三角形，共可作____种不同的三角形；
（2）已知等腰三角形的两边长为4cm和8cm，这个三角形周长是_____cm；
（3）如果△ABC的一个外角等于140°，且∠B=∠C，那么∠A=_____________.
3
20
100°或40°
4.已知三角形两边长分别为4和5，第三边长为正整数，求第三边长.
解：5－4＜第三边长＜5＋4，
∴1＜第三边长＜9.
又∵第三边长为正整数，
∴第三边长可能为2，3，4，5，6，7，8.
5.在△ABC中，∠A=64°.
(1)如图，若△ABC的两个外角平分线BP，CP交于点P，求∠P的度数；
1
2
解：(1)在△ABC中，∠A=64°.
如图，由角平分线及外角性质可知
∠1= (∠A+∠ACB)，∠2= (∠A+∠ABC).
在△PBC中，由三角形内角和可知
∠P =180°- (∠1+∠2)
=180°-[ (∠A+∠ACB)+ (∠A+∠ABC)]
=180°-[∠A+ (∠ABC+∠ACB)]
=180°-[∠A+ (180°-∠A)]
=180°-(90°+ ∠A)=90°- ∠A=58°
5.在△ABC中，∠A=64°.
(2)如果BP，CP分别是∠B，∠C两内角平分线，求∠P的度数.
(2)如图，BP，CP分别平分∠ABC，∠ACB.
由角平分线定义可知
∠1= ∠ABC，∠2= ∠ACB.
在△PBC中，由三角形内角和可知
∠P =180°- (∠1+∠2)
=180°-( ∠ABC+ ∠ACB)
=180°- (∠ABC+∠ACB)
=180°- (180°-∠A)
=180°-90°+ ∠A=90°+ ∠A=122°
6.如图，在△ABC中，∠ABC=66°，∠ACB=54°，BE，CF分别是△ABC的边AC，AB上的高，它们交于点H，求∠ABE，∠ACF和∠BHC的度数。
解:在△ABC中，∠ABC=66°，∠ACB=54°，(已知)
∴∠A=180°- ∠ABC- ∠ACB=180°-66°-54° =60°.
又因为BE⊥AC，CF⊥AB，
∴在 Rt△ABE中，∠ABE=90°-∠A=90°-60°=30°.
同理可求∠ACF=30°.
∵∠FBH=30°，∠BFH=90°，
∴∠BHC=∠FBH+∠BFH=30°+90°=120°.
(三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和)
7.如图，∠A=33°，∠ABC=83°，∠C=30°．求∠ADC的度数.
E
解:连接B，D，延长BD至点E，则∠ADC=∠ADE+∠CDE.
又∵∠ADE=∠DBA+∠A，∠CDE=∠DBC+∠C，
∴∠ADC= ∠DBA+∠A+∠DBC+∠C=∠A+∠C+∠ABC.
又∵∠A=33°，∠C=30°，∠ABC=83°，
∴∠ADC=33°+30°+83°=146°.
8.已知：如图，AB与CD交于点O，∠1=∠C，∠2=∠D.
求证：AC // DB.
证明:∵∠1=∠C，∠2=∠D，（已知）
且∠1=∠2，（对顶角相等）
∴∠C=∠D.（等量代换）
∴AC//DB.（内错角相等，两直线平行）
解：在△ABC中，∠B=38°，∠C=70°，
∴∠BAC= 180°-(∠B+ ∠ C ) = 180°-(38°+70°)= 72°.
又∵AD平分∠BAC，
∴∠DAC= ∠BAC=36°.
又∵AE⊥BC，
∴∠EAC=90°- ∠C=90°-70°=20°.
∴∠DAE= ∠DAC-∠EAC=36°-20°=16°.
9.如图，在△ABC中，AD平分∠BAC交BC于点D，AE⊥BC，垂足为点E. 若∠B=38°，∠C=70°．求∠DAE的度数.
10.如图，在△ABC中，若∠A=50°，∠C=60°，BD平分∠ABC交AC于点D，DE//BC交AB于点E .求∠BDE，∠BDC的度数.
解: ∵∠A=50°，∠C=60°，
∴∠ABC=180°- ∠A- ∠C=180°-50°-60°=70°.
∵BD平分∠ABC，
∴∠DBC= ∠ABC= ×70°=35°.
∵DE//BC，
∴∠BDE=∠DBC=35°.
∵∠C=60°，∠DBC=35°，
∴∠BDC=180°- ∠C- ∠DBC=180°-60°-35°=85°.
11.已知：如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD为边AB上的高，BE平分∠ABC，且分别交CD，AC于点F，E.
求证：∠CFE=∠CEF.
证明：在△BCE中，∠ACB=90°，则∠CEF+∠CBE=90°.(直角三角形的两锐角互余)
在△BDF中，FD⊥DB，∴∠FDB=90°，
∴∠DBF+∠DFB=90°.(直角三角形的两锐角互余)
又∵BE平分∠ABC，
∴∠CBE=∠DBF，
∴∠CEF=∠DFB.
又∵∠CFE=∠DFB，
∴∠CFE=∠CEF. (等量代换)
12.已知：如图，在△ABC中，∠B=∠C，AD平分△ABC的外角∠EAC.
求证:AD // BC.
证明：∵AD平分∠EAC，(已知)
∴2∠EAD=∠EAC. (角平分线的定义)
又∵∠B=∠C，
∴∠EAC=∠B+∠C=2∠B.
∴∠EAD=∠B.
∴AD//BC. (同位角相等，两直线平行)
1.已知：如图，直线a，b，c在同一平面内，a//c，b//c.求证：a//b.
1
2
3
证明：如图所示，作直线l分别与a，b，c相交.
∵ a// c，(已知）
∴∠1=∠3.(两直线平行，同位角相等)
又b // c，(已知)
∴∠2=∠3. (两直线平行，同位角相等)
∴∠1=∠2，(等量代换)
∴a//b. (同位角相等，两直线平行)
2.已知：如图，直线a，b，c在同一平面内，a⊥c，b⊥c.
求证: a // b.
1
2
证明：如图所示.
∵ a⊥c，(已知)
∴∠1=90°.(垂直的定义)
又∵ b⊥c，(已知)
∴∠2=90°.(垂直的定义)
∴∠1=∠2.(等量代换)
∴a//b. (同位角相等，两直线平行)
3.已知：AB// CD.
(1)如图(1)，点E在AB与CD之间，∠A，∠C与∠E有什么关系？(2)如图(2)，点E在AB与CD之间，∠A，∠C与∠E有什么关系？(3)如图(3)，点E在AB与CD之外，∠A，∠C与∠E有什么关系？
解:(1)如图①，过点E作EF//AB.
∵CD//AB，(已知) EF//AB，(所作)
∴EF//CD.(平行于同一条直线的两条直线互相平行)
由EF//AB知∠A=∠AEF.(两直线平行，内错角相等)
由EF//CD知∠C=∠CEF.(两直线平行，内错角相等)
∴∠AEC=∠AEF+∠CEF=∠A+∠C.(等量代换)
(2)如图②，过点E作EG//AB，则EG//CD.
∵EG//AB，
∴∠A+∠AEG=180°.
∵EG// CD，
∴∠C+∠CEG=180°.
∴∠AEC= ∠AEG+ ∠ CEG = (180° - ∠A)+（180° - ∠C) =360°-(∠A+∠C)，
即∠AEC+∠A+∠C=360°.
(3)设CD与AE的交点为O，如图③.
∵AB//CD，
∴∠DOE=∠A.
又∠DOE=∠C+∠E，
∴∠E=∠DOE-∠C，
即∠E=∠A-∠C.
∴∠A=∠C+∠E.
1. (1)图(1)是五角星形. 求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数；
(2)图(2)是七角星形.求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G的度数.
1
2
解：(1)如图.
∵∠1=∠B+∠E，∠2=∠A+∠D，(三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和)
又∵∠1+∠2+∠C=180°，(三角形内角和定理)
∴∠A+∠D+∠B+∠E+∠C=180°，
即∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180°.
(2)同(1)可得，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G=180°.
2.已知：如图，D是△ABC内一点. 求证：
(1)∠BDC＞∠A；
(2) AB +AC ＞ DB +DC.
E
1
证明：(1)如图，延长BD交AC于E.
∵∠1＞∠A，∠BDC＞∠1，
∴∠BDC＞∠A.
(2) ∵AB+AE>BD+DE，DE+CE>DC，
∴AB+AE+DE+CE>BD+DE+DC，
即AB+AC>BD+DC.
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