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【2025新教材】沪科版数学 八年级上册
第14章 全等三角形
章末复习
知识体系
全等形
全等三角形
定义
对应角相等
性质
判定
应用
对应边相等
SAS
ASA
SSS
AAS
HL(直角三角形)
表示方法：用 “≌” 表示，如△ABC ≌ △DEF
注意：对应顶点必须写在对应位置上（例：A D，B E，C F）
2. 对应元素的找法
方法 1：公共边、公共角为对应边、对应角
方法 2：对顶角为对应角
方法 3：最长边对最长边，最短边对最短边；最大角对最大角，最小角对最小角
方法 4：根据全等符号的对应位置确定
幻灯片 4：性质定理回顾
全等三角形的性质（“对应” 是关键）
对应边相等 → 若△ABC ≌ △DEF，则 AB=DE，BC=EF，AC=DF
对应角相等 → 若△ABC ≌ △DEF，则∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F
衍生性质：
对应中线相等、对应高相等、对应角平分线相等
周长相等，面积相等
易错提醒：
非对应边、非对应角不一定相等（例：△ABC ≌ △DEF，AB 与 EF 不是对应边，不一定相等）
幻灯片 5：判定定理梳理（重点）
一、普通三角形全等的 4 种判定方法
判定方法 条件要求 图形示意（简画） 易错点
SSS 三边对应相等 三边分别标注相等 忽略 “对应”，仅三边相等但位置不对不行
SAS 两边及其夹角对应相等 两边夹一角标注相等 “夹角”≠“对角”（例：两边及其中一边的对角相等不能判定）
ASA 两角及其夹边对应相等 两角夹一边标注相等 夹边必须是两角的公共边
AAS 两角及其中一角的对边对应相等 两角及一角的对边标注相等 注意对边与角的对应关系
二、直角三角形特有的判定：HL
条件：斜边和一条直角边对应相等（仅适用于 Rt△）
注意：HL≠SSA，SSA 在普通三角形中不成立，仅直角三角形中有效
幻灯片 6：判定定理辨析（易混点）
1. 能判定全等的情况
SSS、SAS、ASA、AAS（普通三角形）
HL（直角三角形）
2. 不能判定全等的情况
SSA（两边及其中一边的对角相等）→ 反例：画出两个三角形，两边相等但夹角不同，第三边不相等
AAA（三个角对应相等）→ 反例：两个等边三角形，角都相等但边长不同（相似而非全等）
例题：判断下列说法是否正确
有两边和一角对应相等的两个三角形全等（×）→ 可能是 SSA
有三个角对应相等的两个三角形全等（×）→ AAA
直角三角形中，斜边和一个锐角对应相等的两个三角形全等（√）→ AAS
幻灯片 7：典型题型 1—— 全等三角形的判定
例题 1：（选择）下列能判定△ABC ≌ △DEF 的是（ ）
A. AB=DE，BC=EF，∠A=∠D（SSA，错）B. ∠A=∠D，∠B=∠E，AC=DF（AAS，对）C. AB=DE，AC=DF，∠C=∠F（SSA，错）D. ∠A=∠D，AB=EF，BC=DE（对应边错误，错）
例题 2：（填空）如图，AB=CD，AC=BD，求证：△ABC ≌ △DCB
证明：在△ABC 和△DCB 中∵ AB=CD（已知）AC=BD（已知）BC=CB（公共边）∴ △ABC ≌ △DCB（SSS）
幻灯片 8：典型题型 2—— 利用全等证明线段 / 角相等
例题 3：如图，△ABC ≌ △DEF，求证：BE=CF
证明：∵ △ABC ≌ △DEF（已知）∴ BC=EF（全等三角形对应边相等）∴ BC - CE = EF - CE（等式性质）即 BE=CF
例题 4：如图，AB∥CD，AB=CD，AD 与 BC 相交于点 O，求证：∠A=∠D
证明：∵ AB∥CD（已知）∴ ∠ABO=∠DCO（两直线平行，内错角相等）在△ABO 和△DCO 中∵ AB=CD（已知）∠ABO=∠DCO（已证）∠AOB=∠DOC（对顶角相等）∴ △ABO ≌ △DCO（ASA）∴ ∠A=∠D（全等三角形对应角相等）
幻灯片 9：典型题型 3—— 直角三角形全等的判定与性质
例题 5：如图，在 Rt△ABC 和 Rt△DEF 中，∠C=∠F=90°，AB=DE，AC=DF，求证：BC=EF
证明：∵ △ABC 和△DEF 都是直角三角形在 Rt△ABC 和 Rt△DEF 中∵ AB=DE（已知）AC=DF（已知）∴ Rt△ABC ≌ Rt△DEF（HL）∴ BC=EF（全等三角形对应边相等）
变式：若添加条件∠A=∠D，还能判定全等吗？（能，AAS）
幻灯片 10：典型题型 4—— 辅助线构造全等
常用辅助线方法：
连接公共边（例：连接两点构造全等三角形）
作垂线（构造直角三角形，利用 HL 或 AAS）
能够完全重合的两个三角形叫_____________.
复习回顾
考点1
全等三角形的性质
1.全等形
能够完全重合的两个图形叫________.
全等形
全等三角形
把两个全等的三角形重合到一起，重合的顶点叫作_________，重合的边叫作_______，重合的角叫作_______.
2.全等三角形
对应顶点
对应边
对应角
如图，若△ABC≌△DEF，则其中
点 A 和 ，点 B 和 ，点 C 和 是对应顶点；
AB 和 ，BC 和 ，AC 和 是对应边；
∠A 和 ，∠B 和 ，∠C 和 是对应角.
B
C
E
F
A
D
点 D
点 E
点 F
DE
EF
DF
∠D
∠E
∠F
3.全等三角形的性质
A
C
D
F
B
E
全等三角形的对应边相等.
性质
全等三角形的对应角相等.
用几何语言表述：
∵△ABC ≌△DEF，(已知)
∴AB =DE，BC =EF，AC =DF(全等三角形的对应边相等)
∠A =∠D，∠B =∠E，∠C =∠F(全等三角形的对应角相等)
练一练
1.如图，△ABC 沿着直线 BC 向右平移得到△DEF ，则
① BE = CF；② AB∥DE；③AG = DG；
④∠ACB = ∠DEF，其中结论正确的是( )
A. ①② B. ①②④
C. ②④ D. ①③④
A
2.如图，已知△ACE≌△DBF．CE=BF，AE=DF，AD=8，BC=2．
（1）求AC的长度；
（2）试说明CE∥BF．
A
E
B
C
D
F
解：（1）∵△ACE≌△DBF，
∴AC=BD，则AB=DC，
∵BC=2，∴2AB+2=AD=8，
∴AB=3，∴AC=AB+BC=3+2=5.
（2）∵△ACE≌△DBF，
∴∠ECA=∠FBD，
∴CE∥BF．
考点2
全等三角形的判定
判定方法 简称 图示
A
B
C
C'
A'
B'
A
B
C
C'
A'
B'
A
B
C
C'
A'
B'
A
B
C
C'
A'
B'
三边分别相等
两边及其夹角分别相等
两角及其夹边分别相等
两角分别相等且其中一组等角的对边相等
SSS
SAS
AAS
ASA
HL
斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等
A
B
C
C'
A'
B'
归纳：两个三角形全等判定思路
已知条件 可选择的判定方法 寻找条件
两边
两角
SSS
SAS
HL
ASA
AAS
找第三边
找两边的夹角
看是否是直角三角形
找两角的夹边
找任意一角的对边
已知条件 可选择的判定方法 寻找条件
一边和它的邻角
ASA
SAS
AAS
AAS
HL
找这条边的另一个邻角
找这个角的另一边
找这条边的对角
找另外任意一个角
看这个角是否是直角，
若是，找任意一条直角边
一边一角
一边和它的对角
归纳：两个三角形全等判定思路
1.已知△ABC 和△DEF，下列条件中，不能保△ABC 和△DEF 全等的是 ( )
A. AB＝DE，AC＝DF，BC＝EF
B. ∠A＝∠D，∠B＝∠E，AC＝DF
C. AB＝DE，AC＝DF，∠A＝∠D
D. AB＝DE，BC＝EF，∠C＝∠F
练一练
D
2.如图所示，AB 与 CD 相交于点 O ，∠A =∠B ，OA =OB 添加条件___________________________，所以△AOC ≌△BOD 理由是____________.
ASA或AAS
∠AOC =∠BOD或∠C =∠D
A
B
C
O
D
考点3
全等三角形的性质与判定的综合运用
练一练
1.如图，AB=DE，CD=AC，∠BAC=∠D，AF⊥CD.若∠BCE=63°，则∠CAF的度数是( )
A. 23° B. 27° C. 33° D.37°
B
1.判断正误：
（1）两边分别相等且其中一组等边所对的角相等的两个三角形全等.
（2）两边分别相等的两个直角三角形全等.
（3）一个锐角和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等.
（ ）
（ ）
（ ）
×
×
√
2.已知：如图，在△ABC中，∠ABC=∠ACB，△ABC的两条角平分线BD和CE交于点O.
求证：BD =CE.
证明：∵BD，CE分别平分∠ABC，∠ACB，
∴∠CBD=∠ABC，∠BCE= ∠ACB.
∵∠ABC=∠ACB，
∴∠CBD=∠BCE.
在△BCD与△CBE中，
∠CBD=∠BCE，
BC=CB，
∠DCB=∠EBC，
∵
∴△BCD≌△CBE.
∴BD=CE.
3.已知：如图，AB=AC，DB=DC，F是AD延长线上的一点.
求证：∠BFA=∠CFA.
证明：在△ABD与△ACD中，
AB=AC，
DB=DC，
AD=AD，
∵
∴△ABD≌△ACD.(SSS)
∴∠BAD=∠CAD.
在△ABF与△ACF中，
AB=AC，
∠BAF=∠CAF，AF=AF，
∵
∴△ABF≌△ACF.(SAS)
∴∠BFA=∠CFA.
4.已知：如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，点D在BC的延长线上，且BD=AB，过点B作BE⊥AC，与BD的垂线DE交于点E.
求证：△ABC≌△BDE.
证明：设AC与BE相交于点F.
∵BE⊥AC，ED⊥BD，
F
∴∠BFC=∠D=90°.
∴∠EBC+∠BCA=90°，∠EBC+∠E=90°，
∴∠BCA=∠E.
又∵∠ABC=∠BDE=90°，AB=BD，
∴△ABC≌△BDE.(AAS)
5.如图，在Rt∠ABC中，∠ACB=90°，BC=2cm，CD⊥AB于点D，在AC上取一点E，使EC=BC，过点E作EF⊥AC，交CD的延长线于点F，若EF=5cm，求AE的长.
解：∵∠ACB=90°，CD⊥AB，EF⊥AC，
∴∠ACB=∠FEC=90°，
∠A+∠ECF=∠A+∠B=90°，
∴∠ECF=∠B.
又∵BC=CE，
∴△ABC≌△FCE.(ASA）
∴AC=FE，CE=BC=2cm.
∵EF=5 cm，
∴AE=AC-EC=FE-EC=3cm.
6.已知：如图，在△ABD和△CBE中，AD与BE交于点F，CE与BD交于点G，AB=CB，∠AFB=∠CGB，∠ABE= ∠CBD.
求证：AD=CE.
证明：在△CBG和△ABF中，
∵∠CGB=∠AFB，∠CBG=∠ABF，CB=AB，
∴△CBG≌△ABF. (AAS)
∴∠C=∠A.
又∵∠CBD=∠ABE，
∴∠CBD+∠DBE=∠ABE+∠DBE，
即∠CBE=∠ABD.
6.已知：如图，在△ABD和△CBE中，AD与BE交于点F，CE与BD交于点G，AB=CB，∠AFB=∠CGB，∠ABE= ∠CBD.
求证：AD=CE.
在△CBE和△ABD中，
∵CB=AB，∠CBE=∠ABD，∠C= ∠A，
∴△CBE≌△ABD. (AAS)
∴AD=CE.
7. 已知：如图，AB=AD，CB=CD．求证：∠B=∠D.
证明：如图所示，连接AC.
在△ADC和△ABC中，
∵AD=AB，CD=CB，AC=AC，
∴△ADC≌△ABC. (SSS)
∴∠D=∠B.
8. 已知：如图，AB=DC，AD=BC.求证：
(1) AB // DC，AD // BC；
(2)∠A = ∠C，∠B = ∠D.
证明：(1)如图所示，连接AC.
在△ADC和△CBA中，
∵CD=AB，DA=BC，AC=CA，
∴△ADC≌△CBA.（SSS）
∴∠DCA=∠BAC，∠DAC=∠BCA.
∴AB //DC，AD//BC.
8. 已知：如图，AB=DC，AD=BC.求证：
(1) AB // DC，AD // BC；
(2)∠A = ∠C，∠B = ∠D.
(2)由(1)知△ADC≌△CBA，
∴∠B=∠D.
∴∠DCA=∠BAC，∠DAC=∠BCA，
∴∠DCA+∠BCA=∠BAC+∠DAC，
即∠DCB=∠DAB.
9.如图，在雨伞的截面示意图中，伞骨AB=AC，支撑杆OE=OF，AE=AB，AF= AC. 当点O沿AD滑动时，雨伞开闭. 雨伞开闭过程中，∠BAD与∠CAD有什么关系？说明理由.
解：∠BAD=∠CAD.理由：
∵AB=AC，AE= AB，AF= AC
∴AE=AF.
在△AEO和△AFO中
AE=AF，
EO=FO，AO=AO，
∵
∴△AEO≌△AFO.(SSS)
∴∠BAD=∠CAD.
10.已知：如图，AD为△ABC的中线，BE⊥AD，垂足为点E，CF⊥AD，垂足为点F.
求证：BE=CF.
证明：BE⊥AD，CF⊥AD，
∴∠E=∠CFD=90°.
∵AD是△ABC的中线，
∴BD=CD.
又∠BDE=∠CDF，
∴△BED≌△CFD.(AAS)
∴BE=CF.
11.如图，AB⊥AC，且AB=AC，AD=AE，BD=CE. AD与AE是否垂直？若是，请给出证明；若不是，试说出理由.
解：AD⊥AE. 证明如下：
∵AB=AC，AD=AE，BD=CE，
∴△ABD≌△ACE.（SSS）
∴∠BAD=∠CAE，
∴∠BAD-∠DAC=∠CAE-∠DAC，
即∠BAC=∠DAE.
∵AB⊥AC，∴∠BAC=90°.
∴∠DAE=90°，
即AD⊥AE.
12.如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，直线MN经过点A，且点B，C在MN的同侧. BD⊥MN，CE⊥MN，垂足分别为点D，E.试判断BD+CE与DE的关系，并给出证明.
解：BD+CE=DE. 证明如下：
∵∠BAC=90°
∴∠BAD+∠CAE=180°- ∠ BAC=90°.
∵BD⊥MN，
∴∠BAD+∠ABD=90°.
∴∠CAE=∠ABD.
∵CE⊥MN，
∴∠CEA=90°.
12.如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，直线MN经过点A，且点B，C在MN的同侧. BD⊥MN，CE⊥MN，垂足分别为点D，E.试判断BD+CE与DE的关系，并给出证明.
∴∠ADB=∠CEA.
在△ABD和△CAE中，
∴△ABD≌△CAE.(AAS)
∴BD=AE，AD=CE.
即BD+CE=DE.
∠ADB=∠CEA，∠ABD=∠CAE，
AB=CA，
∵
∴BD+CE=AE+AD，
13.如图，AB=AC，点E，D分别在AB，AC上，AE=AD，BD与CE交于点O.
(1)求证：OD=OE；
(1)证明：在△ADB与△AEC中
AD=AE，∠BAD=∠CAE，
AB=AC，
∵
∴△ADB≌△AEC.(SAS)
∴∠B=∠C.
∵AB=AC，AE=AD，
∴AB-AE=AC-AD，
即BE=CD.
13.如图，AB=AC，点E，D分别在AB，AC上，AE=AD，BD与CE交于点O.
(1)求证：OD=OE；
在△BOE与△COD中，
∠B=∠C，∠BOE=∠COD，
BE=CD，
∵
∴△BOE≌△COD.(AAS)
∴OD=OE.
(2)解：AO平分∠BAC. 理由如下：
13.如图，AB=AC，点E，D分别在AB，AC上，AE=AD，BD与CE交于点O.
(2)AO平分∠BAC吗？为什么？
在△AOE与△AOD中，
AE=AD，
OE=OD，
AO=AO，
∵
∴△AOE≌△AOD.(SSS)
∴∠OAE=∠OAD.
即AO平分∠BAC.
14.已知：如图，在Rt△ABC中，∠A=90°.在BC上取一点D，使BD=AB，过点D作DE⊥BC，交AC于点E.
求证：DE=AE.
证明：连接BE.
在△ABE和△DBE中，
BE=BE，
AB=BD，
∵
∴Rt△ABE≌Rt△DBE. (HL)
∴AE=DE.
1.如图，点A，B，C，D在同一直线上，AB=CD，∠A=∠D，要使△AEC≌△DFB，还需增加一个什么条件？说出你增加的条件及理由.
解：可以增加AE=DF或∠E=∠F或∠ACE=∠DBF.
若增加AE=DF. 理由：因为AB=CD，所以 AB+BC=CD+BC，即AC=DB，又因为∠A= ∠D，AE=DF，所以△AEC≌△DFB. (SAS)
1.如图，点A，B，C，D在同一直线上，AB=CD，∠A=∠D，要使△AEC≌△DFB，还需增加一个什么条件？说出你增加的条件及理由.
若增加∠E=∠F. 理由：因为 AB=CD，所以AB+BC=CD+BC，即AC=DB，又因为∠A=∠D，∠E=∠F，所以△AEC≌△DFB. (AAS)
若增加∠ACE=∠DBF. 理由：因为AB=CD，所以AB+BC=CD+BC，即AC=DB，又因为∠A= ∠D，∠ACE=∠DBF，所以△AEC≌△DFB.(ASA)
2.已知：在△ABC中，CA=CB，∠C=90°，D为线段AB上任意一点，AE⊥CD，垂足为点E，BF⊥CD，垂足为点F.
求证：EF=|AE-BF |.
证明：分三种情况：
①当AD>BD时，如图①，
∵∠ACB=90°，AE⊥CD，BF⊥CD，
∴∠AEC= ∠CFB=90°，
∴∠ 1=∠90°-∠3，∠2=90°-∠3.
∴∠1=∠2.
2.已知：在△ABC中，CA=CB，∠C=90°，D为线段AB上任意一点，AE⊥CD，垂足为点E，BF⊥CD，垂足为点F.
求证：EF=|AE-BF |.
在△ACE和△CBF中，
∠AEC=∠CFB，∠1=∠2，
AC=CB，
∵
∴△ACE≌△CBF. (AAS)
∴AE=CF，CE=BF.
∴EF=CF-CE=AE-BF.
2.已知：在△ABC中，CA=CB，∠C=90°，D为线段AB上任意一点，AE⊥CD，垂足为点E，BF⊥CD，垂足为点F.
求证：EF=|AE-BF |.
②当AD③当AD=BD，即D为AB的中点时，D，E，F三点重合，
如图③所示，可得EF=AE-BF=0.
综上可得EF=|AE-BF|.
谢谢观看！

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