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【2025新教材】沪科版数学 八年级上册
第15章 轴对称图形与等腰三角形
章末复习
1.轴对称图形：
如果一个平面图形沿着一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，那么这个图形就叫作轴对称图形，这条直线叫作它的对称轴.
2.轴对称：
平面内两个图形在一条直线的两旁，如果沿这条直线折叠，这两个图形重合，那么称这两个图形成轴对称，这条直线就是对称轴.
一、轴对称图形与轴对称
新课导入
如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等
符号语言：∵ 在△ABC 中，∠B=∠C ∴ AB=AC（△ABC 是等腰三角形）
3. 易错提醒：
“等边对等角” 和 “等角对等边” 的条件与结论互逆，注意区分使用场景
判定时要注意 “角对边” 的对应关系（例：∠B=∠C 对应 AB=AC）
幻灯片 9：等边三角形（特殊的等腰三角形）
1. 定义：
三条边都相等的三角形叫做等边三角形（也叫正三角形）
2. 性质：
三边相等，三角都相等且均为 60°（∵ △ABC 是等边三角形 ∴ AB=BC=AC，∠A=∠B=∠C=60°）
是轴对称图形，有 3 条对称轴（每条边的垂直平分线）
满足 “三线合一”（每边上的中线、高、对角平分线重合）
3. 判定：
定义法：三边相等的三角形是等边三角形（∵ AB=BC=AC ∴ △ABC 是等边三角形）
三角相等的三角形是等边三角形（∵ ∠A=∠B=∠C ∴ △ABC 是等边三角形）
有一个角是 60° 的等腰三角形是等边三角形（∵ AB=AC，∠A=60° ∴ △ABC 是等边三角形）
幻灯片 10：典型题型 1—— 轴对称相关作图
例题 1：作△ABC 关于直线 l 的对称图形△A'B'C'
作法：
分别作出点 A、B、C 关于直线 l 的对称点 A'、B'、C'（过点作 l 的垂线，延长垂足两侧使距离相等）
连接 A'B'、B'C'、C'A'，则△A'B'C' 即为所求
例题 2：作线段 AB 的垂直平分线
作法：
分别以 A、B 为圆心，大于 1/2AB 的长为半径作弧，两弧交于 M、N 两点
过 M、N 作直线 MN，则直线 MN 即为 AB 的垂直平分线
幻灯片 11：典型题型 2—— 利用性质证明线段 / 角相等
例题 3：如图，在等腰△ABC 中，AB=AC，AD 是底边 BC 的中线，求证：∠BAD=∠CAD
证明：∵ AB=AC（已知），AD 是底边 BC 的中线（已知）∴ AD 平分∠BAC（等腰三角形三线合一）∴ ∠BAD=∠CAD（角平分线定义）
例题 4：如图，在△ABC 中，AB=AC，点 D 在 AC 上，且 BD=BC=AD，求△ABC 各角的度数
解：设∠A=x∵ AD=BD（已知）∴ ∠ABD=∠A=x（等边对等角）∴ ∠BDC=∠A+∠ABD=2x（三角形外角性质）∵ BD=BC（已知）∴ ∠C=∠BDC=2x（等边对等角）∵ AB=AC（已知）∴ ∠ABC=∠C=2x（等边对等角）∵ ∠A+∠ABC+∠C=180°（三角形内角和定理）∴ x+2x+2x=180° → 5x=180° → x=36°∴ ∠A=36°，∠ABC=∠C=72°
幻灯片 12：典型题型 3—— 等腰三角形的判定与应用
例题 5：如图，在△ABC 中，∠B=∠C，点 D、E 分别在 AB、AC 上，且 BD=CE，求证：DE∥BC
证明：∵ ∠B=∠C（已知）∴ AB=AC（等角对等边）又∵ BD=CE（已知）∴ AB-BD=AC-CE（等式性质）即 AD=AE∴ △ADE 是等腰三角形（定义法）∴ ∠ADE=∠AED（等边对等角）∵ ∠A+∠ADE+∠AED=180°，∠A+∠B+∠C=180°（三角形内角和定理）∴ ∠ADE=∠B（等量代换）∴ DE∥BC（同位角相等，两直线平行）
例题 6：如图，在 Rt△ABC 中，∠C=90°，∠A=30°，求证：BC=1/2AB
证明：作 AB 的垂直平分线交 AB 于点 D，交 AC 于点 E，连接 BE∵ DE 是 AB 的垂直平分线（作法）∴ AE=BE（线段垂直平分线性质）∴ ∠A=∠ABE=30°（等边对等角）∵ ∠C=90°，∠A=30°（已知）∴ ∠ABC=60°∴ ∠EBC=∠ABC-∠ABE=30°∴ BE=2BC（直角三角形中 30° 角所对的直角边是斜边的一半）又∵ AE=BE ∴ AC=AE+EC=BE+EC（补充：可延长 BC 至 D 使 CD=BC，连接 AD，证明△ABD 是等边三角形，更简洁）
幻灯片 13：易错点归纳
混淆 “轴对称图形” 和 “两个图形关于某直线对称” 的概念
线段垂直平分线、角平分线的性质与判定颠倒使用
等腰三角形 “三线合一” 的条件遗漏（必须是 “顶角平分线、底边上的中线、底边上的高”，腰上的中线与高不重合）
判定等边三角形时，忽略 “等腰三角形” 前提（例：仅一个角是 60° 不能判定为等边三角形）
作图时未保留作图痕迹，或未说明作图依据
幻灯片 14：章末总结
1. 核心脉络：
轴对称（概念 + 性质）→ 特殊线（垂直平分线、角平分线）→ 等腰三角形（性质 + 判定）→ 特殊等腰三角形（等边三角形）→ 应用（作图、证明、计算）
2. 关键思想：
对称思想：利用轴对称性质转化线段和角，简化问题
分类讨论思想：等腰三角形中未明确腰和底边、顶角和底角时，需分类讨论（例：已知等腰三角形一角为 80°，求另外两角）
转化思想：将线段相等、角相等的证明转化为等腰三角形或轴对称的性质应用
3. 学习建议：
熟练掌握定义、性质和判定的符号语言，规范推理过程
注重作图训练，理解作图的原理和依据
3. 轴对称图形和轴对称的区别与联系
轴对称图形
轴对称
区别
联系
图形
轴对称图形是指( )个具有特殊形状的图形，只对( ) 个图形而言
轴对称是指( )个全等
图形的位置关系，必须涉及( )个图形
如果把轴对称图形沿对称轴
分成两部分，那么这两个图形
就关于这条直线成轴对称
如果把两个成轴对称的图形
看成一个整体，那么整个图形就是一个轴对称图形
一
一
两
两
新课导入
4. 轴对称的性质：
① 如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线；
② 反过来，成轴对称的两个图形中，对应点的连线被对称轴垂直平分.
新课导入
1. 线段中垂线的性质定理：
线段垂直平分线上的点和线段两端的距离相等.
2. 逆定理：
到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上.
二、线段的中垂线
新课导入
1. 定理①：
等腰三角形的两个底角相等.（等边对等角）
2.性质②：
等腰三角形的顶角的平分线垂直平分底边.
（三线合一）.
推论：
等边三角形的三个角相等，每个内角都等于 60°.
三、等腰（边）三角形
新课导入
3.等腰(边)三角形的判定及含 30° 角的直角三角形的性质：
判定定理：
有两个角相等的三角形是等腰三角形(等角对等边).
推论①：三个角都相等的三角形是等边三角形.
推论②：有一个角是 60° 的等腰三角形是等边三角形.
定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于 30° ，那么它所对的直角边等于斜边的一半.
新课导入
1. 性质定理：
角平分线上的点到角两边的距离相等.
2. 判定定理：
角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上.
四、角平分线的性质与判定
新课导入
例1 如图，△ABC 和△A′B′C′ 关于直线 MN 对称，△A″B″C″ 和△A′B′C′ 关于直线 EF 对称.
(1) 画直线 EF;
(2) 直线 MN 与 EF 相交于点 O，试探究∠BOB″ 与直线
MN，EF 所夹锐角 α 的数量关系.
A
B
C
A′
B′
C′
A″
B″
C″
M
N
【分析】连接△A′B′C′ 和△A″B″C″中的任意一对对应点，作所得线段的垂直平分线即为直线 EF，根据轴对称的性质可求角的数量关系.
考点一 轴对称图形与轴对称
新课讲解
A
B
C
A′
B′
C′
A″
B″
C″
解：（1）如图，连接 B′B″，作线段 B′B″ 的垂直平分线EF，则直线 EF 是△A′B′C′ 和△A″B″C″ 的对称轴；
（2）连接 B″O，B′O，BO.
因为 △ABC 和△A′B′C′ 关于直线 MN 对称，
所以∠BOM =∠B′OM.
因为△A″B″C″ 和△A′B′C′
关于直线 EF 对称，
所以∠B′OE =∠B″OE.
所以∠BOB″ = 2(∠B′OM + ∠B′OE)
= 2α.
F
E
O
M
N
新课讲解
轴对称和轴对称图形的概念是本章的重点，通过观察日常生活中的轴对称现象，理解轴对称图形和轴对称的概念的区别与联系；学习轴对称变换，不但要会画一个图形关于某直线的对称图形，还要会进行简单的图案设计，利用轴对称作图确定最短路线等.
方法归纳
1.下面的图形是轴对称图形吗 如果是，你能指出它的对称轴吗
新课讲解
2. 如图所示，作出△ABC 关于直线 l 的对称图形．
A
B
C
A′
B′
C′
解：△A′B′C′ 就是所求作的图形.
l
新课讲解
例2 如图，AD 是 BC 的垂直平分线，点 C 在 AE 的垂直平分线上，AB，AC，CE 的长度有什么关系？
AB + BD 与 DE 有什么关系？
【分析】运用线段的垂直平分线的性质进行线段之间的转化即可.
A
B
C
D
E
解：∵ AD 是 BC 的垂直平分线，
∴ AB = AC，BD = CD.
∵ 点 C 在 AE 的垂直平分线上，
∴ AC = CE，∴AB = AC = CE.
∴ AB + BD = DE.
考点二 线段的垂直平分线
新课讲解
3.如图，在△ABC 中，DE 是 AC 的垂直平分线，AC = 5 cm，△ABD 的周长等于 13 cm，则△ABC 的周长是 cm.
18
C
A
B
D
E
对于求线段之间的数量关系、图形周长的和差关系等问题可以用线段的垂直平分线的性质来简化，部分题目可以结合等腰三角形的“三线合一”来思考.
针对训练
新课讲解
例3 如图所示，在△ABC中，AB = AC，BD⊥AC 于 D.求证： ∠BAC = 2∠DBC.
A
B
C
D
)
)
1
2
E
【分析】根据等腰三角形“三线合一”的性质，可作顶角∠BAC 的平分线，来获取角的数量关系.
考点三 等腰（等边）三角形的性质与判定
新课讲解
证明：作∠BAC 的平分线 AE，交 BC 于点 E，如图，
则
∵ AB = AC，∴ AE⊥BC.
∴∠2 +∠C = 90°.
∵ BD⊥AC，∴∠DBC +∠C = 90°.
∴∠2 =∠DBC.
∴∠BAC = 2∠DBC.
A
B
C
D
)
)
1
2
E
新课讲解
在涉及等腰三角形的有关计算和证明中，常见的辅助线的作法是作顶角的平分线(或底边上的高、中线)，然后利用等腰三角形“三线合一”的性质，实现线段或角之间的相互转化.
方法归纳
4. 如图，△ABC 中，∠A = 36°，AB = AC，BD 平分∠ABC 交 AC 于点 D，则图中的等腰三角形共有 个.
3
B
C
D
A
5. 如图，已知等边△ABC 中，点 D、E 分别在边 AB、BC 上，把△BDE 沿直线 DE 翻折，使点 B 落在 B1 处，DB1，EB1 分别交边 AC 于 M、H 点. 若∠ADM = 50°，则∠HEC 的度数为 .
70°
A
B
C
D
E
B1
M
H
新课讲解
分析：由角平分线的性质易想到过点 P 向∠ABC 的两边作垂线段 PE、PF，构造角平分线模型.
例4 如图，∠1 =∠2，点 P 为 BN 上的一点，∠PCB + ∠BAP = 180°.
求证：PA = PC.
B
A
C
N
)
)
1
2
P
E
F
考点四 角平分线的性质与判定
新课讲解
证明：过点 P 作 PE⊥BA，PF⊥BC，垂足分别为 E，F.
又∵∠1 =∠2，∴ PE = PF，∠PEA =∠PFC = 90°.
∵∠PCB + ∠BAP = 180°，∠BAP +∠EAP = 180°，
∴∠EAP = ∠PCB.
在△APE 和△CPF 中，
∠PEA =∠PFC = 90°，
∠EAP =∠FCP，
PE = PF，
∴△APE≌△CPF (AAS).
∴ AP = CP.
B
A
C
N
)
)
1
2
P
E
F
新课讲解
证法2 思路分析：由角是轴对称图形，其对称轴是角平分线所在的直线，所以可想到构造轴对称图形. 方法是在 BC 上截取 BD = BA，连接 PD (如图).
则有△PAB≌△PDB，再证△PDC 是
等腰三角形即可获证.
A
C
N
)
)
1
2
P
B
证明过程请同学们自行完成！
D
【归纳拓展】角的平分线的性质是证明线段相等的常用方法.应用时可依托全等三角形发挥作用.作辅助线有两种思路，一种作垂线段构造角平分线模型；另一种是构造轴对称图形.
新课讲解
6. 如图，DE⊥AB，DF⊥BG，垂足分别是 E，F， DE = DF， ∠EDB = 60°，则 ∠EBF = °，BE = .
60
BF
E
B
D
F
A
C
G
7.△ABC中，∠C = 90°，AD 平分∠CAB，且 BC = 8，BD = 5，则点 D 到 AB 的距离是 .
3
A
B
C
D
E
第6题图
第7题图
课堂练习
8. 如图所示，已知△ABC 中，PE∥AB 交 BC 于点 E，PF∥AC 交 BC 于点 F，点 P 是 AD 上一点，且点 D 到 PE 的距离与到 PF 的距离相等，判断 AD 是否平分∠BAC，并说明理由．
解：AD 平分∠BAC．理由如下：
∵D 到 PE 的距离与到 PF 的距离相等，
∴点 D 在∠EPF 的平分线上．∴∠1＝∠2．
又∵PE∥AB，∴∠1＝∠3．
同理，∠2＝∠4．
∴∠3＝∠4. ∴ AD 平分∠BAC．
A
B
C
E
F
D
(
(
(
(
3
4
1
2
P
课堂练习
12. 如图， 为等腰三角形，
，为的一条角平分线，延长到点 ，使
，过点作，垂足为，连接 .
（1）求证：为 的中点.
【证明】， .
平分， .
， .
， ，
.
为等腰三角形.
又，为 的中点.
（2）探究：当为多少度时， ？请加以证明.
【解】当 时， .证
明如下：
在和 中，
， .
，， 为等腰直角三角形.
.
又 ， 为等腰
直角三角形.
.
返回
13.（1） 【观察与发现】
小明将三角形纸片沿过点 的直线折叠，使得
落在边上，折痕为 ,展开纸片（如图①）,再次折叠该
三角形纸片，使点和点重合，折痕为,与 相交于
点,展开纸片后得到（如图②）,小明认为 是等
腰三角形，你同意吗 请说明理由.
【解】同意.理由：连接， ,如图,由第
一次折叠可知平分, .由
第二次折叠可知, ,
.
在和 中,
.
是等腰三角形.
（2）【实践与运用】
将长方形纸片沿过点的直线折叠,使点落在 边上
的点处,折痕为,可得正方形（如图③）,再沿过点
的直线折叠,使点落在上的点处,折痕为 （如图④）,
再展开纸片（如图⑤）,求图⑤中 的度数.
【解】由第一次折叠可得 ,
.
由第二次折叠知， .
,
.
返回
线段的垂
直平分线
轴
对
称
角平分线
等腰三角形
轴
对
称
图
形
线段
角
性
质
及
判
定
课堂小结
等腰三角形
等腰三角形的判定：等角对等边.
等边三角形的判定：三个角都相等的三角形是等边三角形；有一个角是 60° 的等腰三角形是等边三角形.
在直角三角形中，如果一个锐角等于 30° ，那么它所对的直角边等于斜边的一半.
课堂小结
谢谢观看！

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