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(共32张PPT)
第八章 平面解析几何
第九节 双曲线
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双曲线概念、标准方程和性质 掌握双曲线的概念、标准方程和性质及应用 (25) (30) (20) (19) (30) (19) 选择题
填空题
解答题
本节双曲线的概念方程及性质，会应用方程分析性质，同时也要会根据性质分析求解方程，以选择题、填空题的形式出现。
离心率
方程
渐近线
离心率
实轴长
方程
渐近线
离心率
1．双曲线的定义
(1)平面内与两个定点F1，F2的距离之差的绝对值等于常数(小于|F1F2|且不等于0)的点的轨迹称为双曲线，这两个定点称为双曲线的焦点，两个焦点间的距离称为双曲线的焦距．
(2)设点P为双曲线上任意一点，则有|PF1|－|PF2|＝±2a(0<2a<2c).
知识梳理
若2a＝|F1F2|，则表示两条射线；
若2a>|F1F2|，则无轨迹；
若2a＝0，则表示线段F1F2的垂直平分线．
2．双曲线的标准方程和几何性质
焦点位置 x轴，F1(－c，0)，F2(c，0) y轴，F1(0，－c)，F2(0，c)
标准方程 － ＝1(a>0，b>0) － ＝1(a>0，b>0)
图形
c
b
a
焦点到渐近线的距离为b
离心率 e＝ >1
渐近线 y＝± x y＝± x
实、虚轴长 实轴长2a，虚轴长2b 实轴长2a，虚轴长2b
焦距 2c 2c
a，b，c关系 c2＝a2＋b2
范围 x≥a或x≤－a y≥a或y≤－a
对称性 关于x轴、y轴、原点对称 关于x轴、y轴、原点对称
顶点 (－a，0)，(a，0) (0，－a)，(0，a)
(1)双曲线方程 － ＝1表示焦点在x轴上， － ＝1表示焦点在y轴上．
(2)双曲线中的a，b，c，e都有其几何意义，
a表示实半轴长，b表示虚半轴长，c是半焦距，
而离心率e＝ 表示双曲线的开口程度．
c2＝a2＋b2和e＝ 在解题中会经常用到．
牢记双曲线的离心率e>1.
【注】判断双曲线的焦点：看符号或看位置．
(3)实轴与虚轴等长的双曲线叫作等轴双曲线．
在等轴双曲线中，离心率e＝ ，渐近线方程为y＝±x(互相垂直).在解题中，一般设等轴双曲线的方程为x2－y2＝λ.
当λ>0时，焦点在x轴上；当λ<0时，焦点在y轴上．
(4)与双曲线 － ＝1(a>0，b>0)有相同的渐近线的双曲线可
设为 － ＝ λ.
【知识要点1】 双曲线的标准方程
【例1】　求满足下列条件的双曲线的标准方程：
(1)焦点在y轴上，实轴长为6，离心率为 ；
(2)离心率为 ，且与椭圆4x2＋9y2＝36有公共焦点；
(3)过点P(2，－2)，且与双曲线 －y2＝1有相同渐近线．
【解析】(1)由题意知2a＝6，则a＝3.因为e＝ ＝ ，所以c＝5.
于是b＝ ＝ ＝4.又因为焦点在y轴上，
所以 － ＝1.
(2)椭圆4x2＋9y2＝36的焦点坐标为(± ，0)，c＝ ，
而 ＝ ，所以a＝2，b＝1，故双曲线的方程为 －y2＝1.
典例分析
注意设法
【变式训练1】求满足下列条件的双曲线的标准方程：
(1)以椭圆 ＋ ＝1的长轴端点为焦点，且经过点(3， )；
解：(1)由题意得，双曲线的焦点在x轴上，且c＝2 .
设双曲线的标准方程为 － ＝1(a>0，b>0)，
则a2＋b2＝c2＝8，又经过点(3， )，
∴ － ＝1，解得a2＝3，b2＝5.
∴所求双曲线的标准方程为 － ＝1.
∴双曲线的标准方程为 － ＝1.
(2)设该等轴双曲线的方程为x2－y2＝λ.
∵双曲线过点P(4，－3)，∴λ＝42－(－3)2＝7.
（3）∵双曲线的渐近线方程为y＝± x，
∴设双曲线方程为 － ＝λ，
∵(2，－6)在双曲线上，∴ － ＝λ，解得λ＝－3，
故所求双曲线的标准方程为 － ＝1.
(2)过点P(4，－3)的等轴双曲线；
(3)渐近线方程为y＝± x，且过点(2，－6).
【例2】　已知方程 ＋ ＝1.求：
(1)当k为何值时，该方程表示圆？
(2)当k为何值时，表示椭圆？当k为何值时，该方程表示焦点在x轴上的椭圆？
(3)当k为何值时，表示双曲线？当k为何值时，表示焦点在y轴上的双曲线？
【变式训练2】 若方程 － ＝1表示焦点在y轴上的双曲线，
求实数k的取值范围，并写出其焦点坐标．
k∈(4，9).
焦点为(0， )，(0，－ ).
【知识要点2】 双曲线定义的应用
【例3】　双曲线 － ＝1上一点P到一个焦点的距离为17，求点P到另一个焦点的距离．
【解析】　由双曲线方程可知：a＝8，c＝ ＝ ＝10.
设双曲线的焦点分别为F1，F2，不妨设|PF1|＝17，由双曲线的定义可知||PF1|－|PF2||＝2a＝16，所以|PF2|＝1或33.
而双曲线上的点到焦点的距离大于等于c－a＝2，所以|PF2|＝1不成立．
故点P到另一个焦点的距离为33.
【变式训练3】设点F1，F2是双曲线 － ＝1(b＞0)的两个焦点，过点F1的直线交双曲线的左支于A，B两点，已知|AB|＝8，则△ABF2的周长是________．
36
注意检验！
【例4】设点F1，F2分别为双曲线 －y2＝1的左、右焦点，点P在双曲线上，
且 ＝0，则 的值为(　　)
A．2 B．2 C．4 D．8
A
【解析】　本题考查双曲线的定义及向量内积的性质．
∵a＝2，b＝1，
∴c2＝a2＋b2＝5，即c＝ ，
由 ＝0得 ，
∴ ＝(2c)2＝20，
即 ＝20.
【变式训练4】设点F1和F2是双曲线 － ＝1的两个焦点，点P在双曲线上
且满足∠F1PF2＝60°，求△F1PF2的面积．
解：∵a2＝16，b2＝9，∴c2＝16＋9＝25，即c＝5，|F1F2|＝2c＝10，
由双曲线定义知||PF1|－|PF2||＝8，在△F1PF2中，根据余弦定理
可得|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|·cos 60°＝102，
即(|PF1|－|PF2|)2＋2|PF1|·|PF2|－|PF1|·|PF2|＝100，
解得|PF1|·|PF2|＝100－64＝36，
∴ |PF1|·|PF2|·sin 60°＝ ×36×
【例5】　如图8－9－1所示，已知椭圆 ＋ ＝1的两个焦点分别是F1，F2，
双曲线与该椭圆有公共焦点且离心率为2. (1)求双曲线的标准方程；
(2)若椭圆、双曲线在第一象限交于点M，求线段MF1，MF2的长度．
【解析】　(1)由题意知c＝1，因为双曲线的离心率为2，
所以e＝ ＝2，解得a＝ .所以b2＝c2－a2＝1－ ＝ .
所以双曲线的标准方程为 － ＝1.
(2)因为椭圆的长半轴长为2，双曲线的实半轴长为 ，由椭圆
和双曲线的定义可知， 解得
所以线段MF1，MF2的长度分别是 ， .
【变式训练5】 已知焦点在x轴上的椭圆与双曲线有共同的焦点F1，F2，且|F1F2|＝ ，
椭圆的长半轴长与双曲线的半实轴长之差为4，椭圆与双曲线的离心率之比为3∶7.
(1)求椭圆和双曲线的标准方程；(2)若P为这两曲线的一个交点，求cos ∠F1PF2的值．
由题意可得c＝ ，椭圆的离心率为 ，双曲线的离心率为 ，
解：(1)设椭圆的长、短半轴长分别为a，b，双曲线的实、虚半轴长分别为m，n，
则
解得a＝7，m＝3.∴b＝6，n＝2.
∴椭圆的方程为 ＋ ＝1，双曲线方程为
(2)设P是第一象限的一个交点，则|PF1|＋|PF2|＝14，|PF1|－|PF2|＝6，
∴|PF1|＝10，|PF2|＝4.
又|F1F2|＝2 ，
∴cos ∠F1PF2＝ ＝ ＝ .
【知识要点3】 双曲线的几何性质
【例6】　已知圆C：x2＋y2－10y＋21＝0与双曲线 － ＝1(a>0，b>0)的渐近线相切，
则该双曲线的离心率是(　　)
A． B． C． D．
C
【解析】由双曲线 － ＝1，可得其一条渐近线的方程为y＝ x，即bx－ay＝0，
又由圆C：x2＋y2－10y＋21＝0，可得圆心为C(0，5)，半径r＝2，
所以圆心到直线的距离d＝ ＝ ，则 ＝2，可得e＝ ＝ .
【变式训练6】 已知双曲线 － ＝1(a>0，b>0)的焦点到渐近线的距离等于实轴长，
则该双曲线的离心率是(　　)
A． B． C． D．
A
b
一、选择题
1．已知双曲线 － ＝1(a>0)的右焦点为(3，0)，则双曲线的离心率等于(　　)
A． B． C． D．
C
随堂检测
2．已知双曲线 － ＝1上一点P到它的一个焦点的距离等于8，则点P到
另一个焦点的距离为(　　)
A．2 B．18 C．14 D．2或14
D
活动设计：限时12分钟，自主从1-8题中精选题目完成
3．已知双曲线C： ＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别是F1(－13，0)，F2(13，0)，
点P在双曲线C上，且|PF1|－|PF2|＝10，则双曲线C的方程是(　　)
A． － ＝1 B． － ＝1 C． － ＝1 D． － ＝1
D
4．已知双曲线的焦点分别为F1，F2，|F1F2|＝4，双曲线上一点P满
足 ＝2，则该双曲线的渐近线方程为(　　)
A．y＝± x B．y＝± x
C．y＝± x或y＝± x D．y＝±2x
C
5．已知双曲线 － ＝1的左、右焦点分别为F1，F2，P为双曲线右支上一点，|PF1|＝3|PF2|，则∠F1PF2的大小为(　　)
A．30° B．45° C．60° D．90°
C
二、填空题
6．若双曲线经过点A(2，－3)，且渐近线方程为y＝± x，则
此双曲线的标准方程为 ．
－ =1
7．若双曲线 － ＝1的实轴长、虚轴长、焦距成等差数列，
则该双曲线的离心率为________．
8．若方程 ＋ ＝1表示焦点在y轴上的双曲线，则实
数k的取值范围是________．
(－3，5)
三、解答题
9．求满足下列条件的双曲线的标准方程．
(1)已知点A(3，－4 )，B 在双曲线上；
∵点A(3，－4 )，B 在双曲线上，
解：(1)设所求双曲线的方程为mx2－ny2＝1，
∴ 解得
故所求双曲线的标准方程为 － ＝1.
(2)以椭圆 ＋ ＝1的长轴端点为焦点，且经过点P(4 ，3).
(2)椭圆 ＋ ＝1的长轴端点为(±5，0)，
则双曲线的焦点在x轴上，且c＝5，
∴b2＝c2－a2＝25－a2.
则双曲线的方程为 － ＝1，
代P(4 ,3)
得 － ＝1，解得a2＝16，
∴b2＝25－a2＝9.
∴双曲线的标准方程为 － ＝1.
A班做
10．已知双曲线的方程为 － ＝1(a＞0，b＞0)，离心率e＝ ，顶点到渐近线
的距离为 ，求双曲线的标准方程．
解：依题意，双曲线的焦点在y轴上，顶点坐标为(0，±a)，渐近线
方程为y＝± x，即ax±by＝0，
又e＝ ＝ ，解得b＝1，
所以c2－a2＝1，即 －a2＝1，解得a2＝4，
所以顶点(0，±a)到渐近线ax±by＝0的距离为
故双曲线的标准方程为 －x2＝1.
11．设双曲线C： － ＝1(a>0，b>0)，点A1，A2分别是双曲线C的左、右顶点，点P在双曲线C上．
(1)若|A1A2|＝4b，点P(2 ，－1)，求双曲线C的标准方程；
(2)若点P异于点A1，A2，且直线PA1与PA2的斜率之积为2，求双曲线C的离心率．
解：(1)由题意得 解得
故双曲线C的方程为 －y2＝1.
(2)设点P(x0，y0)，则 － ＝1，即 ＝ ，
又A1(－a，0)，A2(a，0)，则kPA1·kPA2＝
＝ ＝ ＝2，
所以2a2＝b2＝c2－a2，从而 ＝ .
所以双曲线C的离心率为 .
一、选择题
1．已知双曲线C： － ＝1的一条渐近线的倾斜角为120°，
且与椭圆 ＋ ＝1有相等的焦距，则双曲线C的方程为(　　)
A． － ＝1 B． － ＝1
C．x2－ ＝1 D． － ＝1
A
选做
2．双曲线 － ＝1与椭圆 ＋ ＝1的焦点相同，则下列结论正确的是(　　)
A．双曲线的焦点坐标为(±2，0) B．双曲线的渐近线方程为y＝±x
C．双曲线的离心率为 D．双曲线的实轴长为1
B
抓住主要条件检验排除分析
3．若双曲线C： － ＝1(a>0，b>0)的一条渐近线被圆(x－2)2＋y2＝4所截得的弦长为2，
则双曲线C的离心率为(　　)
A．2 B． C． D．
A
二、填空题
4．设F1，F2是双曲线 － ＝1的两个焦点，P是双曲线上一点，
且3|PF1|＝5|PF2|，则△PF1F2的面积等于________．
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5．与双曲线 －y2＝1有相同渐近线，且与椭圆 ＋x2＝1有共同焦点的
双曲线的标准方程是__________．
y2－ ＝1
三、解答题
6．已知双曲线与椭圆C： ＋ ＝1有公共焦点F1，F2，它们的离心率之和为 .
(1)求该双曲线的标准方程；(2)设P是该双曲线与椭圆C的一个交点，求cos ∠F1PF2的值．
解：(1)在椭圆C： ＋ ＝1中，
a2＝25，b2＝9，c2＝25－9＝16，可得a＝5，b＝3，c＝4，
∴椭圆的离心率e1＝ ＝ ，
∴双曲线的离心率为e2＝ － ＝2，
由题可设双曲线的标准方程为 － ＝1，
则 ∴
故双曲线的标准方程为 － ＝1.
课堂小结
双曲线知识体系
定义
核心：平面内与两个定点距离差的绝对值为常数（小于定点间距且不为 0）的点的轨迹
对应：定义式
标准方程
焦点在x轴的方程形式
焦点在y轴的方程形式
几何性质（焦点在x轴）
顶点：双曲线与x轴的交点
离心率：反映双曲线开口宽窄的参数
渐近线：双曲线无限接近的直线
等轴双曲线
定义：实轴与虚轴长度相等的双曲线
离心率：固定数值
渐近线：特定的直线形式
统一方程：可表示这类双曲线的通用式
1.书面必做作业：完成复习资料相关题目；
2.拓展提升作业：依据考点根据自身掌握情况，利用复习书拓展练习进一步训练巩固相关内容
布置作业
下 课
Thanks!
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