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第二十二章 二次函数的图像与性质
知识精讲
二次函数概念及解析式
定义：一般地，如果两个变量和之间的函数关系可以表示成，，是常数，且，那么称是的二次函数，其中， 叫做二次项系数，叫做一次项系数， 叫做常数项 .
2. 求二次函数解析式一般用待定系数法 .根据所给条件的不同，要灵活选用函数的解析式：
任意三点， 的形式 ;
顶点或对称轴时，的形式 ;
与轴的交点或交点横坐标时， 的形式。
知识精讲
3. 步骤：
① 设二次函数的解析式；
② 根据已知条件，得到关于待定系数的方程(组)；
③ 解方程(组)，求出待定系数的值，从而写出函数的解析式 。
二次函数概念及解析式
4. 三种解析式之间的关系
一般式
顶点式
两点式
配方
因式分解
二次函数概念
例题讲解
1. 若函数是二次函数，那么 ______ .
解：∵ 函数 是二次函数，
∴，，
解得：或
故答案为： .
2. 请写出一个开口向上，顶点为的抛物线的解析式 ___________________ .
3. 把二次函数变形为的形式为 ___________________ .
利用配方法先提出二次项系数，再加上一次项系数一半的平方来凑完全平方式，把一般式转化为顶点式。
口诀：
1. 如果函数 是关于 的二次函数，那么的值是______ .
巩固练习
练一练
2. 把配方成顶点式的形式为__________________ .
3. 抛物线与轴交于点，则该抛物线可设为：______________________________ .
知识精讲
二次函数图象与性质
函数 图象

对称轴 顶点坐标 直线
二次函数，，为常数，
知识精讲
函数 增减性
最值
在对称轴的左侧，即当时， 随 的增大而减小；
在对称轴的右侧，即当 时，随 的增大而增大;
简记为“左减右增”
在对称轴的左侧，即当时， 随 的增大而增大；
在对称轴的右侧，即当 时，随 的增大而减小;
简记为“左增右减”
抛物线有最低点，
且当时，有最小值， .
抛物线有最高点，
且当时，有最大值， .
二次函数为常数，
例题讲解
二次函数图象性质
2. 二次函数 的图象如图所示，对称轴为直线，下列结论不正确的是 ( )
A．
B．当时，随的增大而减小
C．当 时，
D．当时，函数最大值为
1. 已知二次函数 当 时，函数的最小值为 ，则的值为 __________ .
D
注意函数无图有偶
注意：
巩固练习
练一练
① 抛物线开口向下；② 当时，；
③ 抛物线的对称轴是直线 ；④ 函数 的最大值为 . 其中所有正确的结论为（ ）
A. ①②③ B. ①③ C. ①③④ D. ①②③④
1. 已知抛物线 上部分点的横坐标与纵坐标的对应值如下表：
以下结论：
A
知识精讲
字母的符号 图象的特征


系数，，与二次函数图象的关系
项目
字母
开口向下
对称轴为轴
左同右异
口诀：
开口向上
对称轴在轴左侧
对称轴在轴右侧
(与同号)
(与异号)
知识精讲
系数，，与二次函数图象的关系
字母的符号 图象的特征
c 过______
与轴正半轴相交
与轴负半轴相交
与轴有唯一公共点(顶点)
与轴有____________公共点
与轴______公共点
项目
字母
两个不同的
原点
没有
知识精讲
字母的符号 图象的特征
特殊关系 项目
字母
系数，，与二次函数图象的关系
当时，
当时，
若，即时，
若，即 时，
系数与二次函数图象
例题讲解
1. 已知二次函数 的图象如图所示 。下列结论：
① ；② ；③ ；④ 其中正确的有______ 个 。
解：① 开口向下知，，
∵ “左同右异”，∴，
∵ 抛物线与轴交于正半轴，∴， ∴．
②∵ 抛物线的对称轴在 的右边， ∴ ，
∴ ，
∵ ，∴ ，∴ ，
③当时，，即 ，
④ ，故④的结论错误；
巩固练习
练一练
1. 如图，二次函数 的图象经过点，对称轴为直线 ，下列 个结论：
① ；②；
③； ④；
⑤ . 其中正确的结论有 ______ 个 .
巩固练习
练一练
2. 如图，二次函数 图象的对称轴为直线，下列结论：
①；②；
③若为任意实数，则有 ；
④若图象经过点，方程 的两根为，则 .
其中正确的结论有______ 个.
课堂总结

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