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(共32张PPT)
华东师大版（2024）数学7年级上册
第4章 相交线和平行线
4.2.3 平行线的性质
掌握平行线的性质，会运用两条直线是平行关系判
断角相等或互补；
能够根据平行线的性质进行简单的推理.
重点
难点
# 幻灯片分页内容：平行线的判定
## 第1页：课题引入——如何判断两条直线平行？
- 情境展示：
- 图片1：平行的铁轨、黑板的上下边缘、作业本上的横线（直观呈现平行关系）；
- 动画演示：直线l 、l 被截线l 所截，转动l ，观察∠1（同位角）的变化与l 、l 位置关系的关联（∠1=∠2时，l ∥l ）。
- 提问引导：
- 生活中我们能直观判断平行，但数学中如何严谨判定两条直线平行？
- 上节课学习的同位角、内错角、同旁内角，能否作为判定平行的依据？
- 课题：今天我们学习——平行线的判定（板书课题），掌握三种核心判定方法。
## 第2页：判定方法1——同位角相等，两直线平行
- 推导过程：
- 动画演示：直线l 、l 被l 所截，保持∠1=∠2（同位角），观察l 与l 的位置关系（始终平行）；
- 抽象概括：当两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行。
- 符号表示：
- 如图，∵ ∠1=∠2（已知），∴ l ∥l （同位角相等，两直线平行）。
- 应用场景：
- 木工师傅用角尺画平行线：利用角尺构造相等的同位角，确保画出的直线平行；
- 课堂实操：用直尺和三角尺画平行线（一落、二靠、三推、四画），本质是构造相等的同位角。
## 第3页：判定方法2——内错角相等，两直线平行
- 推导过程：
- 思考：已知∠1=∠3（内错角），能否推出l ∥l ？
- 推理：∵ ∠1=∠3（已知），∠1=∠2（对顶角相等），∴ ∠2=∠3（等量代换），∴ l ∥l （同位角相等，两直线平行）。
- 结论概括：当两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行。
- 符号表示：
- ∵ ∠1=∠3（已知），∴ l ∥l （内错角相等，两直线平行）。
- 图形特征：结合“Z”形内错角，强化“相等即平行”的关联记忆。
## 第4页：判定方法3——同旁内角互补，两直线平行
- 推导过程：
- 思考：已知∠1+∠4=180°（同旁内角互补），能否推出l ∥l ？
- 推理：∵ ∠1+∠4=180°（已知），∠1+∠2=180°（邻补角互补），∴ ∠2=∠4（同角的补角相等），∴ l ∥l （同位角相等，两直线平行）。
- 结论概括：当两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行。
- 符号表示：
- ∵ ∠1+∠4=180°（已知），∴ l ∥l （同旁内角互补，两直线平行）。
- 图形特征：结合“U”形同旁内角，记住“互补即平行”的判定逻辑。
## 第5页：例题解析1——基础判定应用
- 例1：如图，直线a、b被直线c所截，已知∠1=60°，∠2=60°，判断a与b是否平行，说明理由。
- 解：a∥b，理由如下：
∵ ∠1=60°，∠2=60°（已知），∴ ∠1=∠2（等量代换），
∴ a∥b（同位角相等，两直线平行）。
- 例2：如图，∠3=∠4，求证：l ∥l 。
- 证明：∵ ∠3=∠4（已知），
∴ l ∥l （内错角相等，两直线平行）。
- 例3：如图，∠5+∠6=180°，判断直线m、n的位置关系。
- 解：m∥n，理由如下：
∵ ∠5+∠6=180°（已知），
∴ m∥n（同旁内角互补，两直线平行）。
## 第6页：例题解析2——综合判定与角度计算
- 例4：如图，∠1=∠2，∠3=110°，求∠4的度数（提示：先判定平行，再利用平行性质）。
- 解：① 判定平行：∵ ∠1=∠2（已知），∠1=∠5（对顶角相等），∴ ∠2=∠5（等量代换），∴ AB∥CD（同位角相等，两直线平行）；
- ② 计算角度：∵ AB∥CD，∴ ∠3+∠4=180°（两直线平行，同旁内角互补），又∵ ∠3=110°，∴ ∠4=70°。
- 方法总结：
- 先根据角的关系判定直线平行，再利用平行性质求未知角；
- 关键是找准“判定平行的角”和“平行后关联的角”。
## 第7页：易错点辨析与纠正
- 易错点1：混淆“判定”与“性质”
- 错误：已知l ∥l ，推出∠1=∠2（这是平行性质，而非判定；判定是由角推线，性质是由线推角）；
- 纠正：判定定理的逻辑是“角的关系→线的平行”，性质定理的逻辑是“线的平行→角的关系”，不可颠倒。
- 易错点2：找错对应的角
- 错误：将不是同位角、内错角、同旁内角的角用来判定平行（如∠1和∠6不是同位角，却用∠1=∠6判定l ∥l ）；
- 纠正：先明确“三线”（被截线、截线），再根据位置特征确定角的类型，再用判定定理。
- 易错点3：同旁内角判定时忽略“互补”
- 错误：认为同旁内角相等时两直线平行（如∠1+∠4=90°，误判l ∥l ）；
- 纠正：同旁内角必须满足“和为180°（互补）”，才能判定两直线平行。
## 第8页：课堂小结（核心回顾）
- 1. 三种核心判定方法（逻辑：角的关系→线的平行）：
- 同位角相等，两直线平行；
- 内错角相等，两直线平行；
- 同旁内角互补，两直线平行。
- 2. 关键技巧：
- 先找“三线八角”，确定角的类型；
- 区分“判定”与“性质”（判定：由角推线；性质：由线推角）。
- 3. 应用场景：
- 直接利用角的关系判定平行；
- 结合对顶角、邻补角等知识，转化角的关系后再判定。
## 第9页：课堂练习（即时巩固）
- 1. 填空：
- ∵ ∠A=∠B（已知），∴ （ ）∥（ ）（内错角相等，两直线平行）；
- ∵ ∠C+∠D=180°（已知），∴ （ ）∥（ ）（同旁内角互补，两直线平行）。
- 2. 判断下列推理是否正确，说明理由：
- （1）∵ ∠1=∠2，∴ l ∥l （ ）；
- （2）∵ ∠3=∠4，∴ AB∥CD（ ）；
- （3）∵ ∠5+∠6=180°，∴ m∥n（ ）。
- 3. 解答题：
- 如图，直线EF分别交AB、CD于点E、F，∠1=70°，∠2=110°，求证：AB∥CD（用两种判定方法证明）。
- 4. 动手操作：用直尺和三角尺画一条直线与已知直线平行，说明画图的依据（同位角相等，两直线平行）。
复习旧知
根据右图，填空：
①如果∠1＝∠C，
　那么＿＿∥＿＿（ 　　　　　 　 ）
② 如果∠1＝∠B
那么＿＿∥＿＿（ 　　 　　 　 ）
③ 如果∠2＋∠B＝180°，那么＿＿∥＿＿（ 　　 ）
AB
CD
EC
BD
同位角相等，两直线平行
内错角相等，两直线平行
EC
BD
同旁内角互补，两直线平行
E
A
C
D
B
1
2
3
4
两直线平行
1.同位角相等
2.内错角相等
3.同旁内角互补
问：通过上题可知平行线的判定方法是什么？
思考：反过来如果两条直线平行，同位角、内错角、同旁内角各有什么关系呢
新课探究
翻开你的数学练习横格本，每一页上都有许多互相平行的横线条，随意画一条斜线与这些横线条相交，找出其中任意一对同位角.观察或用量角器度量这对同位角，你有什么发现？
2
1
∠1=∠2
试一试
平行线的性质探究
活动 如图所示如果直线a与直线b平行，那么直线l与直线a、b分别交于点O与点P，其中的同位角∠1与∠2必定相等吗？
1
2
a
b
l
O
P
平行线的性质探究
如图，如果我们以点O为顶点，画另一个角∠1′，使∠1′=∠2，这样就画出了过点O的另一条直线a′.由于∠1′=∠2，根据“同位角相等，两直线平行”的基本事实，可以得到a′ ∥ b
1
2
a
b
l
a′
1′
O
P
经过点O有两条直线a、a′与b平行
经过已知直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行
矛盾
所以 ∠1与∠2一定相等
平行线的性质1
两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等.
简写成：两直线平行，同位角相等.
b
1
2
a
l
书写格式：
∵ a∥b（已知）
∴ ∠1=∠2
（两直线平行，同位角相等）
如图，已知a//b,那么 2与 3相等吗？为什么
b
1
2
a
l
3
解： ∵ a∥ b (已知),
∴ ∠1=∠2 (两直线平行，同位角相等).
又∵ ∠1=∠3 (对顶角相等),
∴ ∠2=∠3 (等量代换).
b
1
2
a
l
3
平行线的性质2
性质：两条平行直线被第三条直线所截，内错角相等.
简写成：两直线平行，内错角相等.
书写格式：
∵ a∥b（已知）
∴ ∠2=∠3
（两直线平行，内错角相等）
如图，已知a//b，那么 2与 4有什么关系呢？为什么
b
1
2
a
l
4
思 考
∴ 2+ 4=180°（等量代换）.
解： ∵a//b （已知）
∴ 1= 2（两直线平行，同位角相等）
∵ 1+ 4=180°（邻补角的性质）
平行线的性质3
性质：两条平行直线被第三条直线所截，同旁内角互补.
简写成：两直线平行，同旁内角互补.
书写格式：
∵ a∥b（已知）,
∴ ∠2+∠4=180 °
（两直线平行，同旁内角互补）
b
1
2
a
l
4
总结
平行线的性质：
1.两直线平行，同位角相等；
2.两直线平行，内错角相等；
3.两直线平行，同旁内角互补。
思考
平行线的性质与判定有什么区别呢？
线的关系
角的关系
两直线平行
线的关系
同位角相等
内错角相等
同旁内角互补
角的关系
判定
平行线的性质
平行线的判定
性质
例题分析
例4 如图，已知直线 a∥ b，∠1=50°，求∠2的度数.
∴∠2=50°（等量代换）
解：∵a∥ b（已知）
∴∠1=∠2（两直线平行，内错角相等）
∵∠1=50°（已知）
例5 如图，在四边形 ABCD 中 ，AB // CD，∠B = 60°，求∠C 的度数. 能否求得 ∠A 的度数？
根据题目的已知条件，无法求出 ∠A 的度数.
解：∵ AB// CD (已知)
∴ ∠B+∠C = 180°(两直线平行，同旁内角互补).
∵ ∠B = 60° (已知)，
∴ ∠C = 180°-∠B = 120°(等式的性质).
例6 将如图所示的方格图中的图形向右平行移动 4 格，再向上平行移动 3 格，画出平行移动后的图形.
解：如图2所示的图形，即为原图形，以及原图形向右平行移动4格，再向上平行移动3格后的图形.
从图中可以看出，原图形中的每一个顶点及每一条边都向右平行移动了4格，再向上平行移动了3格.
图1
图2
随堂练习
1.根据题图，在下列解答中，填上适当的理由: 【教材P192 练习 第1题】
（1）∵AD // BC （已知），
∴ ∠1 = ∠B（ ）；
（2）∵AB // CD (已知)，
∴ ∠1 = ∠D（ ）.
两直线平行，同位角相等
两直线平行，内错角相等
2. 在下列解答中，填空:【教材P192 练习 第2题】
（1）∵AD // BC (已知)，
∴( ) + ∠ABC = 180°
(两直线平行，同旁内角互补);
（2）∵ AB // CD (已知)，
∴∠ABC + ( ) = 180°
(两直线平行，同旁内角互补).
∠BAD
∠BCD
3.如图，两条平行直线a、b被第三条直线c所截.若∠1=52°，
那么∠2=_______, ∠3=_______, ∠4=_______, 【教材P192 练习 第3题】
1
2
3
4
a
b
c
52°
128°
52°
4.如图，将方格图中的图形向右平行移动3格，再向下平行移动4格，画出平行移动后的图形. 【教材P192 练习 第4题】
5.如图，已知直线a∥ b，∠3 = 131°，求∠1、∠2的度数.
阅读下面的解答过程，并填空(理由或数学式). 【教材P192 练习 第5题】
解 ∵ ∠3=131°（ ）
又∵∠3=∠1 （ ）
∴ ∠1=（ ）（ ）
∵a ∥ b（ ）
∴ ∠1+ ∠2=180°（ ）
∴ ∠2=（ ）（等式的性质）.
a
b
1
3
2
已知
对顶角相等
131°
等量代换
已知
两直线平行,同旁内角互补
49°
知识点1 两直线平行，同位角相等
1.如图，直线，被直线所截，， ，则 等于( )
B
（第1题）
A. B. C. D.
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2.［2025安阳月考］如图，于点，， ，则
_____.
（第2题）
返回
3.如图，，， ，则 _____.
（第3题）
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知识点2 两直线平行，内错角相等
（第4题）
4.［2024河南中考］如图，乙地在甲地的北偏东
方向上，则 的度数为( )
B
A. B. C. D.
返回
（第5题）
5.［2024泸州中考］把一块含 角的直角三角板
按如图方式放置于两条平行线间，若 ，
则 ( )
B
A. B. C. D.
返回
知识点3 两直线平行，同旁内角互补
6.［2024湖北中考改编］如图，一条公路的两侧铺设了， 两条平
行管道，并有纵向管道连通.若 ，则 的度数是_____.
返回
7.如图，若，，则 _____.
（第7题）
返回
（第8题）
8.［2025长春期末］如图，若， ，
， ，则 的度数为
( )
B
A. B. C. D.
返回
课堂小结
同位角相等
内错角相等
同旁内角互补
两直线平行
判定
性质
已知
结论
结论
已知
谢谢观看！

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