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华东师大版（2024）数学7年级上册
第4章 相交线和平行线
4.2.2 平行线的判定
掌握平行线的三种判定方法，会运用判定方法来判
断两条直线是否平行；
能够根据平行线的判定方法进行简单的推理.
重点
难点
# 幻灯片分页内容：平行线的判定
## 第1页：课题引入——如何判断两条直线平行？
- 情境展示：
- 图片1：平行的铁轨、黑板的上下边缘、作业本上的横线（直观呈现平行关系）；
- 动画演示：直线l 、l 被截线l 所截，转动l ，观察∠1（同位角）的变化与l 、l 位置关系的关联（∠1=∠2时，l ∥l ）。
- 提问引导：
- 生活中我们能直观判断平行，但数学中如何严谨判定两条直线平行？
- 上节课学习的同位角、内错角、同旁内角，能否作为判定平行的依据？
- 课题：今天我们学习——平行线的判定（板书课题），掌握三种核心判定方法。
## 第2页：判定方法1——同位角相等，两直线平行
- 推导过程：
- 动画演示：直线l 、l 被l 所截，保持∠1=∠2（同位角），观察l 与l 的位置关系（始终平行）；
- 抽象概括：当两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行。
- 符号表示：
- 如图，∵ ∠1=∠2（已知），∴ l ∥l （同位角相等，两直线平行）。
- 应用场景：
- 木工师傅用角尺画平行线：利用角尺构造相等的同位角，确保画出的直线平行；
- 课堂实操：用直尺和三角尺画平行线（一落、二靠、三推、四画），本质是构造相等的同位角。
## 第3页：判定方法2——内错角相等，两直线平行
- 推导过程：
- 思考：已知∠1=∠3（内错角），能否推出l ∥l ？
- 推理：∵ ∠1=∠3（已知），∠1=∠2（对顶角相等），∴ ∠2=∠3（等量代换），∴ l ∥l （同位角相等，两直线平行）。
- 结论概括：当两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行。
- 符号表示：
- ∵ ∠1=∠3（已知），∴ l ∥l （内错角相等，两直线平行）。
- 图形特征：结合“Z”形内错角，强化“相等即平行”的关联记忆。
## 第4页：判定方法3——同旁内角互补，两直线平行
- 推导过程：
- 思考：已知∠1+∠4=180°（同旁内角互补），能否推出l ∥l ？
- 推理：∵ ∠1+∠4=180°（已知），∠1+∠2=180°（邻补角互补），∴ ∠2=∠4（同角的补角相等），∴ l ∥l （同位角相等，两直线平行）。
- 结论概括：当两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行。
- 符号表示：
- ∵ ∠1+∠4=180°（已知），∴ l ∥l （同旁内角互补，两直线平行）。
- 图形特征：结合“U”形同旁内角，记住“互补即平行”的判定逻辑。
## 第5页：例题解析1——基础判定应用
- 例1：如图，直线a、b被直线c所截，已知∠1=60°，∠2=60°，判断a与b是否平行，说明理由。
- 解：a∥b，理由如下：
∵ ∠1=60°，∠2=60°（已知），∴ ∠1=∠2（等量代换），
∴ a∥b（同位角相等，两直线平行）。
- 例2：如图，∠3=∠4，求证：l ∥l 。
- 证明：∵ ∠3=∠4（已知），
∴ l ∥l （内错角相等，两直线平行）。
- 例3：如图，∠5+∠6=180°，判断直线m、n的位置关系。
- 解：m∥n，理由如下：
∵ ∠5+∠6=180°（已知），
∴ m∥n（同旁内角互补，两直线平行）。
## 第6页：例题解析2——综合判定与角度计算
- 例4：如图，∠1=∠2，∠3=110°，求∠4的度数（提示：先判定平行，再利用平行性质）。
- 解：① 判定平行：∵ ∠1=∠2（已知），∠1=∠5（对顶角相等），∴ ∠2=∠5（等量代换），∴ AB∥CD（同位角相等，两直线平行）；
- ② 计算角度：∵ AB∥CD，∴ ∠3+∠4=180°（两直线平行，同旁内角互补），又∵ ∠3=110°，∴ ∠4=70°。
- 方法总结：
- 先根据角的关系判定直线平行，再利用平行性质求未知角；
- 关键是找准“判定平行的角”和“平行后关联的角”。
## 第7页：易错点辨析与纠正
- 易错点1：混淆“判定”与“性质”
- 错误：已知l ∥l ，推出∠1=∠2（这是平行性质，而非判定；判定是由角推线，性质是由线推角）；
- 纠正：判定定理的逻辑是“角的关系→线的平行”，性质定理的逻辑是“线的平行→角的关系”，不可颠倒。
- 易错点2：找错对应的角
- 错误：将不是同位角、内错角、同旁内角的角用来判定平行（如∠1和∠6不是同位角，却用∠1=∠6判定l ∥l ）；
- 纠正：先明确“三线”（被截线、截线），再根据位置特征确定角的类型，再用判定定理。
- 易错点3：同旁内角判定时忽略“互补”
- 错误：认为同旁内角相等时两直线平行（如∠1+∠4=90°，误判l ∥l ）；
- 纠正：同旁内角必须满足“和为180°（互补）”，才能判定两直线平行。
## 第8页：课堂小结（核心回顾）
- 1. 三种核心判定方法（逻辑：角的关系→线的平行）：
- 同位角相等，两直线平行；
- 内错角相等，两直线平行；
- 同旁内角互补，两直线平行。
- 2. 关键技巧：
- 先找“三线八角”，确定角的类型；
- 区分“判定”与“性质”（判定：由角推线；性质：由线推角）。
- 3. 应用场景：
- 直接利用角的关系判定平行；
- 结合对顶角、邻补角等知识，转化角的关系后再判定。
## 第9页：课堂练习（即时巩固）
- 1. 填空：
- ∵ ∠A=∠B（已知），∴ （ ）∥（ ）（内错角相等，两直线平行）；
- ∵ ∠C+∠D=180°（已知），∴ （ ）∥（ ）（同旁内角互补，两直线平行）。
- 2. 判断下列推理是否正确，说明理由：
- （1）∵ ∠1=∠2，∴ l ∥l （ ）；
- （2）∵ ∠3=∠4，∴ AB∥CD（ ）；
- （3）∵ ∠5+∠6=180°，∴ m∥n（ ）。
- 3. 解答题：
- 如图，直线EF分别交AB、CD于点E、F，∠1=70°，∠2=110°，求证：AB∥CD（用两种判定方法证明）。
- 4. 动手操作：用直尺和三角尺画一条直线与已知直线平行，说明画图的依据（同位角相等，两直线平行）。
复习引入
问题1 两条不重合的直线的位置关系有哪几种？
问题2 怎样的两条直线平行？
问题3 上节课我们学了平行线的哪些内容？
相交（包括垂直）和平行两种.
在同一平面内，不相交的两条直线平行.
2.如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线互相平行.
1.经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行.
根据平行线的定义，如果同一平面内的两条直线不相交，就可以判断这两条直线平行.
思考一下
由于直线无限延伸，检验它们是否相交有困难，所以难以直接根据两条直线是否相交来判定是否平行，那么有没有其他判定方法呢？
●
一、落
二、靠
三、推
四、画
我们已经学习过用三角尺和直尺画平行线的方法.
利用同位角判定两条直线平行
b
a
（1）我们在画图过程中，什么角始终保持相等？
（2）直线a，b位置关系如何？
思考
●
1
2
1
2
a
b
A
B
由上面的操作过程，你能发现判定两直线
平行的方法吗？
两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行.
简写成：同位角相等，两直线平行.
书写格式：
因为∠1=∠2(已知)，
所以l1∥ l2（同位角相等，两直线平行）.
1
2
l2
l1
A
B
判定方法1
(1) 图中若∠1=55°，∠2=55°直线AB与CD平行吗？为什么
所以AB//CD.（同位角相等，两直线平行）
A
C
E
F
B
D
1
2
练一练
解：AB与CD平行.
因为∠1=∠2=55°（已知）
(2)如图，∠1=55°，∠2=125°，直线AB与CD平行吗 为什么
所以AB与CD （同位角相等，两直线平行）
A
C
E
F
B
D
1
2
M
N
解：AB与CD平行.
因为∠2=125°（已知）
又因为∠1=55°
所以∠ANF=180°-∠2=55°
所以∠ ANF = ∠1
除了同位角，我们能否依据内错角或同旁内角判定两直线平行呢？
如图，由∠3=∠2，可推出a//b吗？如何推出？
所以 a//b（同位角相等，两直线平行）.
2
b
a
1
3
利用内错角、同旁内角判定两条直线平行
解： 因为 ∠ 3= ∠ 2（已知），
∠ 1= ∠ 3（对顶角相等），
所以 ∠ 1= ∠ 2（等量代换）
两条直线被第三条直线所截 ，如果内错角相等，那么这两条直线平行.
简写成：内错角相等，两直线平行.
2
b
a
1
3
因为 ∠3=∠2(已知)，
所以 a∥ b（内错角相等，两直线平行）.
书写格式：
判定方法2
如图，由∠1+∠2=180°，你能判定a//b吗？
2
b
a
1
c
3
因为 ∠1+∠2=180°（已知）
∠1+∠3=180°（邻补角定义）
解：能
所以 ∠2=∠3（同角的补角相等）
所以 a∥ b（同位角相等，两直线平行）
两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行.
简写：同旁内角互补，两直线平行.
2
b
a
1
3
书写格式：
因为 ∠1+∠2=180°（已知），
所以 a∥ b（同旁内角互补，两直线平行）.
判定方法3
平行线的判定方法:
1.同位角相等，两直线平行；
2.内错角相等，两直线平行
3.同旁内角互补，两直线平行。
总结
我们已经知道利用尺规作图可以作一条线段等于已知线段，以及作一个角等于已知角的方法．那么，如何过已知直线外一点作该直线的平行线呢
由平行线的判定方法，你自然会想到在直线AB和直线外一点P处，设法如图那样构造一对相等的同位角∠1和∠ 2，那样就可以作出所需要的平行线了.
由此，你能发现利用尺规作图过已知直线外一点作该直线的平行线的方法吗
思考
A
B
P
2
1
如图，已知直线AB，以及直线AB外一点P, 试利用尺规作图按下列作法准确地过点Р作直线AB的平行线:
(1)在直线AB上取一点Q，经过点Р和点Q，作直线MN;
(2)作∠MPD = ∠PQB，并使得∠MPD与∠PQB是一对同位角;
(3)反向延长射线PD，得到直线CD .
直线CD就是过点Р所要求作的直线AB的平行线.
试一试
B
A
C
D
M
Q
P
N
例题讲解
例1 如图，直线a、b被直线l所截，已知∠1=115°, ∠2=115° ，直线a、b平行吗？为什么
1
2
a
l
b
∵ ∠1=115°（已知）
∠2=115°（已知）
∴ ∠1=∠2（等量代换）
∴ a∥ b（内错角相等，两直线平行）
解：直线a、b平行
我们用符号“∵”“∴”分别表示“因为”“所以”
演绎推理是一种从一般到特殊的推理，借助于一些公认的基本事实及由此推导得出结论，通过判断，说明最后结论的正确.
例2 如图，在四边形ABCD中，已知∠B=60°，∠C=120°, AB与CD平行吗？AD与BC平行吗？
A
B
C
D
解：AB与CD平行
∵ ∠B=60°（已知） ∠C=120°（已知）
∴ ∠B+∠C=180°（已知）
∴ AB∥ CD（同旁内角互补，两直线平行）
根据已知条件，无法判定AD与BC是否平行.
例3 如图，在同一平面内，直线CD、EF均与直线AB垂直，点D、F为垂足，试判断CD与EF是否平行.
解：
∵CD⊥AB（已知） ，EF⊥AB（已知），
∴∠ADC=∠AFE=90°.
∴CD∥ EF（同位角相等，两直线平行）
同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行.
A
B
E
F
C
D
随堂练习
1.根据题图，在下列解答中，填上适当的理由：【教材P188 练习 第1题】
A
D
C
B
1
∴AB∥CD（ ）
（1）∵∠B=∠1（已知）
（2）∵∠D =∠1（已知）
∴ AD∥ BC（ ）
同位角相等，两直线平行
内错角相等，两直线平行
2.根据题图，在下列解答中，填空： 【教材P188 练习 第2题】
（1）∵∠BAD+∠ABC=180°（已知）
∴（ ）∥（ ）（同旁内角互补，两直线平行）
（2）∵∠BCD+∠ABC=180°（已知）
∴（ ）∥（ ）（同旁内角互补，两直线平行）
A
B
C
D
AD
BC
AB
DC
3.根据图中给出的条件，指出互相平行的直线和互相垂直的直线 【教材P188 练习 第3题】
50°
40°
40°
40°
a
b
c
d
e
解：
a∥ b，c∥ d，
a⊥e，b⊥e
4.如图，已知∠1=∠3， AC平分∠DAB，你能判断哪两条直线平行？请说明理由？
2
3
A
B
C
D
）
）
1
（
∴ CD∥AB(内错角相等，两直线平行).
解： CD∥ AB
证明过程如下：
∵ AC平分∠DAB（已知），
∴ ∠1=∠2（角平分线定义）.
又∵ ∠1= ∠3（已知），
∴ ∠2=∠3（等量代换），
知识点1 同位角相等，两直线平行
（第1题）
1.如图，, 是利用三角板和直尺所画的平行线，下列
选项能说明 的条件是( )
C
A. B.
C. D.
返回
2.如图，由 ，可以推出___//___.
（第2题）
返回
知识点2 内错角相等，两直线平行
3.如图， ，要使，则 的度数是( )
D
（第3题）
A. B. C. D.
返回
4.如图,已知 ，则_________.
（第4题）
返回
5.［2024兰州中考改编］如图，小明在地图上量得 ，由此判断
幸福大街与平安大街互相平行，他判断的依据是____________________
_____.
内错角相等，两直线
平行
（第5题）
返回
知识点3 同旁内角互补，两直线平行
6.如图，一个弯形管道的拐角 ， ，管
道， 的关系是_________，依据是__________________________.
同旁内角互补，两直线平行
（第6题）
返回
7.如图，要使 ，只需添加一个条件，这个条件是________________.
（第7题）
返回
（第8题）
8.［教材P练习T变式］如图，已知 ，
，试说明： .
解： （已知），
_____（____________）.
（已知），
_________ ______，
（__________________________）.
对顶角相等
同旁内角互补，两直线平行
返回
文字叙述 符号语言 图形
相等， 两直线平行 ∵ (已知), ∴a∥b
相等, 两直线平行 ∵ (已知), ∴a∥b 互补, 两直线平行 ∵ (已知) ∴a∥b
a
b
c
1
2
4
3
课堂小结
判定两条直线平行的方法
同位角
内错角
同旁内角
∠1=∠2
∠3=∠2
∠2+∠4=180°
谢谢观看！

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