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华东师大版（2024）数学7年级上册
第4章 相交线和平行线
4.2.1 平行线
掌握平行线的公理及推论.
重点
理解平行线的定义
掌握平行线的画法
难点
# 幻灯片分页内容：同位角、内错角、同旁内角
## 第1页：课题引入——两条直线被第三条直线所截形成的角
- 情境展示：
- 图片1：两条平行的铁轨被一根枕木所截、黑板的上下两条边被竖直线所截；
- 动画演示：画出两条直线l 、l （被截线），再画一条直线l （截线），相交形成8个角（标注∠1~∠8）。
- 提问引导：
- 两条直线被第三条直线所截，会形成多少个角？（8个）
- 这些角的位置有什么规律？除了对顶角、邻补角，还有哪些特殊位置关系的角？
- 课题：今天我们学习——同位角、内错角、同旁内角（板书课题），认识这三种具有特殊位置关系的角。
## 第2页：核心概念——三线八角的定义
- 基本构成：
- 被截线：两条被第三条直线所截的直线（如l 、l ）；
- 截线：截两条被截线的第三条直线（如l ）；
- 三线八角：两条直线被第三条直线所截，共形成8个角，称为“三线八角”。
- 图示标注：
- 画出标准“三线八角”图形（l 横向截l 、l ，l 、l 水平平行），标注∠1（l 上方、l 左侧）、∠2（l 上方、l 右侧）、∠3（l 下方、l 右侧）、∠4（l 下方、l 左侧）、∠5（l 上方、l 左侧）、∠6（l 上方、l 右侧）、∠7（l 下方、l 右侧）、∠8（l 下方、l 左侧）。
- 强调：判断三种角的前提是“三线”（两条被截线、一条截线），先明确哪两条是被截线，哪一条是截线。
## 第3页：类型1——同位角
- 同位角的定义：
- 两条直线被第三条直线所截，在截线的**同一侧**，且在被截线的**同一方向**的两个角，叫做同位角。
- 位置特征（口诀：同旁同侧）：
- 截线的同一侧（如都在l 的左侧或都在右侧）；
- 被截线的同一方向（如都在l 、l 的上方或都在下方）。
- 图示识别：
- 在“三线八角”图中，∠1与∠5（都在l 左侧，都在l 、l 上方）、∠2与∠6（都在l 右侧，都在上方）、∠3与∠7（都在l 右侧，都在下方）、∠4与∠8（都在l 左侧，都在下方）是同位角；
- 形状特征：像“F”形（画出“F”形示意图，对应同位角的位置关系）。
## 第4页：类型2——内错角
- 内错角的定义：
- 两条直线被第三条直线所截，在截线的**两侧**，且在被截线的**之间**的两个角，叫做内错角。
- 位置特征（口诀：两侧之间）：
- 截线的两侧（一左一右）；
- 被截线的之间（在l 、l 中间）。
- 图示识别：
- 在“三线八角”图中，∠3与∠5（l 左侧、右侧，在l 、l 之间）、∠4与∠6（l 右侧、左侧，在l 、l 之间）是内错角；
- 形状特征：像“Z”形（画出“Z”形示意图，对应内错角的位置关系）。
## 第5页：类型3——同旁内角
- 同旁内角的定义：
- 两条直线被第三条直线所截，在截线的**同一侧**，且在被截线的**之间**的两个角，叫做同旁内角。
- 位置特征（口诀：同旁之间）：
- 截线的同一侧（都在l 左侧或都在右侧）；
- 被截线的之间（在l 、l 中间）。
- 图示识别：
- 在“三线八角”图中，∠3与∠6（都在l 右侧，在l 、l 之间）、∠4与∠5（都在l 左侧，在l 、l 之间）是同旁内角；
- 形状特征：像“U”形（画出“U”形示意图，对应同旁内角的位置关系）。
## 第6页：关键技巧——快速识别三种角的步骤
- 识别步骤：
1. 找“三线”：先确定哪两条是被截线（通常是水平或平行的两条直线），哪一条是截线（交叉的那条直线）；
2. 定位置：根据三种角的位置口诀（同位角“同旁同侧”、内错角“两侧之间”、同旁内角“同旁之间”）判断；
3. 验形状：用“F”“Z”“U”形辅助验证，符合形状特征的大概率是对应角。
- 例题：如图，直线a、b被直线c所截，判断∠1与∠2、∠3与∠4、∠2与∠3分别是什么角？
- 分析：被截线a、b，截线c；
- ∠1与∠2：截线c同侧，被截线a、b上方（同旁同侧）→ 同位角；
- ∠3与∠4：截线c两侧，被截线a、b之间（两侧之间）→ 内错角；
- ∠2与∠3：截线c同侧，被截线a、b之间（同旁之间）→ 同旁内角。
## 第7页：易错点辨析与纠正
- 易错点1：混淆被截线和截线，导致判断错误
- 错误：把截线当成被截线，如直线l 、l 被l 所截，误判为l 、l 被l 所截；
- 纠正：先看哪两条直线被第三条直线交叉连接，交叉的那条是截线，被连接的两条是被截线。
- 易错点2：只看形状不看位置，导致误判
- 错误：看到“Z”形就认为是内错角，忽略“在被截线之间”的条件；
- 纠正：形状只是辅助，核心是满足位置特征（截线、被截线的位置关系）。
- 易错点3：漏判或多判角的对数
- 错误：“三线八角”中同位角、内错角、同旁内角各有2对，误判为1对；
- 纠正：按顺序逐一找（如同位角从上方到下方、左侧到右侧），避免重复或遗漏。
## 第8页：课堂小结（核心回顾）
- 1. 三种角的前提：两条直线被第三条直线所截（三线八角）；
- 2. 位置特征与形状口诀：
- 同位角：同旁同侧（F形）；
- 内错角：两侧之间（Z形）；
- 同旁内角：同旁之间（U形）；
- 3. 识别关键：先找三线（被截线、截线），再定位置，最后验形状。
## 第9页：课堂练习（即时巩固）
- 1. 如图，直线AB、CD被直线EF所截，找出图中的同位角、内错角、同旁内角（标注角的序号，写出对应关系）；
- 2. 填空：
- ∠1与∠2是直线（ ）和（ ）被直线（ ）所截形成的（ ）角；
- ∠3与∠4是直线（ ）和（ ）被直线（ ）所截形成的（ ）角。
- 3. 判断下列说法是否正确：
- （1）同位角一定在截线的同一侧（ ）；
- （2）内错角一定在被截线的之间（ ）；
- （3）同旁内角的形状像“Z”形（ ）。
- 4. 动手操作：画出两条直线被第三条直线所截的图形，标注出一对同位角、一对内错角和一对同旁内角，并标注角的名称。
两条直线相交（其中垂直是相交的特殊情形）
生活中两条直线除了相交以外，还有什么情形呢？
想一想
前面我们学的两条直线具有怎样位置关系？
生活中两条直线除了相交以外，我们还可以看到下面情况的两条直线
思考 如图，分别将木条a、b与木条c钉在一起，并把它们想象成两端可以无限延伸的三条直线.转动a，直线a从在c的左侧与直线b相交逐步变为在右侧与b相交.想象一下，在这个过程中,有没有直线a与直线b不相交的位置呢？
a
b
c
a
b
c
a
b
c
在木条转动过程中，存在直线a与直线b不相交的情形，这时我们说直线a与b互相平行.记作a∥b.
在同一平面内不相交的两条直线叫做平行线.
注意：平行线的定义包含三层意思：
（1）“在同一平面内”是前提条件；
（2）“不相交”就是说两条直线没有交点；
（3）平行线指的是两条直线,而不是两条射线或两条线段．
a
b
c
平行线的概念
我们通常用“//” 表示平行.
C
B
A
D
a ∥ b
AB ∥ CD
a
b
读作：“AB 平行于 CD”　
读作：“a平行于b ” 　
在同一平面内，不重合的两条直线的位置关系有平行与相交两种.
平行线的表示方法
平行线的画法：
（1）落
（2）靠
（3）推
（4）画
平行线的画法、平行公理及推论
把三角板的一边落在已知直线上
紧靠三角板的另一边放一直尺
沿直尺移动三角板，使三角板与已知直线重合的那一边过已知点
沿三角板过已知点的边画直线，这条线即为已知直线的平行线
a
(3)经过点P能画出几条直线与直线a平行？
(4)过点D画一条直线与直线a平行，与(3)中所画的直线平行吗？
·
P
·
D
(1)经过点P 能画出几条直线？
无数条
1条
b
(2)与直线a平行的直线有几条？
无数条
平行
做一做
平行公理
过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行.
·
A
·
B
·
·
C
D
a
b
试一试
画一条直线 b 与直线 a 平行，再向上推三角板，画另一条直线 c，也与直线 a 平行.
如果 b∥a，c∥a，那么b∥c．
推论:
如果两条直线和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．
直线 b 与直线 c 有什么关系？
几何语言表达：
c
b
a
平行公理的推论（平行线的传递性）
如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行.
∵ a//c , c//b (已知)
∴ a//b (如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行).
1.下列说法正确的是（ ）
A.在同一平面内，不相交的两条射线是平行线
B.在同一平面内，不相交的两条线段是平行线
C.在同一平面内，两条不重合的直线的位置关系不是相交就是平行
D.不相交的两条直线是平行线
C
随堂及练
2. 下面说法中正确的有（ ）
①一条直线的平行线只有一条；
②因为 a∥ b，c∥ d，所以 a∥ d；
③过一点有且只有一条直线与已知直线平行．
A. 0 个　　 B. 1 个 C. 2 个 D. 3 个
A
3.使用直尺、量角器和三角板，在如图所示的某平面图上找出互相平行的道路和互相垂直的道路. 【教材P183 练习 第1题】
互相垂直的道路：
清华路与新民大街、新疆街、长庆路百汇路垂直
桂林路与新民大街、新疆街、长庆路百汇路垂直
互相平行的道路：
新民大街、新疆街、长庆路百汇路互相平行；
清华路与桂林路互相平行
4. 根据下列语句，利用所给三角形ABC 画出图形：【教材P184练习 第2题】
（1）过三角形ABC 的顶点 C，画出平行于 AB 的直线 MN；
（2）过三角形ABC 的边 AB 的中点 D，画出平行于 AC 的直线， 交 BC 于点 E .
如图所示
5.如图，两条直线a、b相交于点O，如果直线a∥直线c，那么直线b能与直线c平行么？为什么？ 【教材P184练习 第3题】
a
b
c
直线b不能与直线c平行
因为过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行
O
知识点1 平行线及其表示
1.有下列生活实例：
①路口的斑马线；②天上的彩虹；③体操队的纵队； 米跑道线；⑤
平直的火车铁轨.
其中大致能看成平行线的有( )
D
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
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2.在同一平面内，不重合的两条直线的位置关系是( )
C
A.平行 B.相交 C.相交或平行 D.垂直
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3.［2025南阳期末］如图，已知四条直线，，，
中的一条与挡板另一侧的直线 平行，请判断该直线是
( )
B
A. B. C. D.
返回
知识点2 平行线的画法
4.如图，已知直线外一点，过
点画直线，使 ，借助直
尺和三角板有如下操作：①固定直
尺，并沿 方向移动三角板，使
C
A.①②③④ B.②④③① C.②④①③ D.④③②①
斜边经过点；②用三角板的斜边紧贴直线 ；③沿三角板斜边画直线
；④用直尺 紧靠三角板的一条直角边.
其正确操作顺序是( )
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5.（8分）如图，已知方格纸上有两条线段
, ，根据下列要求完成以下操作：
（1）过点作的平行线 ；
解：如图.
（2）连结，取中点，过点作的平行线与交于点 .
解：如图.
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知识点3 平行线的基本事实及其推论
6.过直线外一点作 的平行线，可以作( )
A
A.1条 B.2条 C.3条 D.4条
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7.［2025郑州开学考］如图，，过点画，则与
的位置关系是______，理由是____________________________________
_______________________.
平行
如果两条直线都和第三条直线平行，那
么这两条直线也互相平行
（第7题）
返回
平行线
定义
在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线
画法
一落；二靠；三移；四画
基本事实
过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行
推论
如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行
谢谢观看！

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