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华东师大版（2024）数学7年级上册
第3章 图形的初步认识
3.6.3 余角和补角
45°
45°
30°
60°
90°
90°
和都是90°
探索新知
1
2
α
β
用量角器量一量两组图中各角的大小，看看你发现了什么？
20°
70°
40°
50°
∠1＋∠2＝90°
∠α＋∠β＝90°
1
2
α
β
两个角的和等于90°（直角），就说这两个角互为余角.
简称互余.
1
2
α
β
如果∠1＋∠2＝90°，那么∠1是∠2的余角，∠2也是∠1的余角.
两个角的和等于90°（直角），就说这两个角互为余角.
1
2
反过来，如果两个角互余，
1
那么把这两个角像这样拼一起，就构成一个直角.
α
β
# 幻灯片分页内容：余角和补角
## 第1页：课题引入——特殊的角的关系
- 情境展示：
- 图片1：三角尺的两个锐角（30°和60°、45°和45°），计算它们的和：30°+60°=90°，45°+45°=90°；
- 图片2：平角（180°）被一条射线分成两个角（120°和60°），计算它们的和：120°+60°=180°；
- 提问引导：这些角的和有什么特殊规律？（分别是90°和180°）
- 课题：今天我们学习——余角和补角（板书课题），认识这两种特殊的角的关系及性质。
## 第2页：核心概念1——余角的定义与特征
- 余角的定义：
- 如果两个角的和等于**90°（直角）**，那么这两个角互为余角（简称“互余”）。
- 符号表示：若∠α + ∠β = 90°，则∠α与∠β互为余角（∠α是∠β的余角，∠β也是∠α的余角）。
- 关键特征：
- 两个角必须是“和为90°”，与位置无关（可以相邻，也可以不相邻）；
- 只针对“两个角”，三个角的和为90°不能说它们互为余角。
- 实例：
- 30°与60°互余，70°与20°互余，45°的余角是45°；
- 误区纠正：∠1=30°，∠2=40°，∠3=20°，不能说∠1、∠2、∠3互为余角。
## 第3页：核心概念2——补角的定义与特征
- 补角的定义：
- 如果两个角的和等于**180°（平角）**，那么这两个角互为补角（简称“互补”）。
- 符号表示：若∠α + ∠β = 180°，则∠α与∠β互为补角（∠α是∠β的补角，∠β也是∠α的补角）。
- 关键特征：
- 两个角必须是“和为180°”，与位置无关；
- 同样只针对“两个角”，多个角的和为180°不叫互为补角。
- 实例：
- 120°与60°互补，90°的补角是90°，150°与30°互补；
- 生活应用：平角的两个邻补角互补（如黑板的一个角被粉笔线分成的两个角）。
## 第4页：余角和补角的性质（重点）
- 性质1：同角（或等角）的余角相等。
- 推导：若∠1 + ∠2 = 90°，∠1 + ∠3 = 90°（∠1是同角），则∠2 = ∠3（都等于90°-∠1）；
- 延伸：若∠1 + ∠2 = 90°，∠3 + ∠4 = 90°，且∠1 = ∠3（等角），则∠2 = ∠4。
- 性质2：同角（或等角）的补角相等。
- 推导：若∠1 + ∠2 = 180°，∠1 + ∠3 = 180°（∠1是同角），则∠2 = ∠3（都等于180°-∠1）；
- 延伸：若∠1 + ∠2 = 180°，∠3 + ∠4 = 180°，且∠1 = ∠3（等角），则∠2 = ∠4。
- 图示验证：画出同角的余角、等角的补角示意图，直观展示角的相等关系。
## 第5页：例题解析1——余角和补角的计算
- 例1：求50°角的余角和补角。
- 解：余角 = 90° - 50° = 40°；补角 = 180° - 50° = 130°；
- 方法总结：求一个角的余角用“90°-这个角”，求补角用“180°-这个角”。
- 例2：一个角的补角是它的余角的3倍，求这个角的度数。
- 解：设这个角为x°，则它的余角为(90 - x)°，补角为(180 - x)°；
- 根据题意列方程：180 - x = 3(90 - x)；
- 解方程：180 - x = 270 - 3x → 2x = 90 → x = 45；
- 结论：这个角是45°。
## 第6页：例题解析2——余角和补角性质的应用
- 例3：如图，∠AOB = ∠COD = 90°，求证：∠AOC = ∠BOD。
- 证明：∵ ∠AOB = 90°，∴ ∠AOC + ∠COB = 90°（∠AOC与∠COB互余）；
- ∵ ∠COD = 90°，∴ ∠BOD + ∠COB = 90°（∠BOD与∠COB互余）；
- 根据“同角的余角相等”，∴ ∠AOC = ∠BOD。
- 例4：已知∠1与∠2互补，∠3与∠4互补，且∠1 = ∠3，求证：∠2 = ∠4。
- 证明：∵ ∠1与∠2互补，∴ ∠1 + ∠2 = 180°；
- ∵ ∠3与∠4互补，∴ ∠3 + ∠4 = 180°；
- 又∵ ∠1 = ∠3，根据“等角的补角相等”，∴ ∠2 = ∠4。
## 第7页：易错点辨析与纠正
- 易错点1：混淆“互为余角”“互为补角”的定义
- 错误：认为“两个角相邻且和为90°才是互余”“和为90°的三个角互为余角”；
- 纠正：互余、互补与位置无关，只看“两个角的和”是否为90°或180°。
- 易错点2：计算余角、补角时出错
- 错误：求100°角的余角时，用90°-100°=-10°（忽略“只有锐角才有余角”）；
- 纠正：大于或等于90°的角没有余角，大于或等于180°的角没有补角。
- 易错点3：误用余角和补角的性质
- 错误：认为“同角的余角与补角相等”；
- 纠正：同角的余角相等，同角的补角相等，但余角和补角不一定相等（如50°的余角是40°，补角是130°，40°≠130°）。
## 第8页：课堂小结（核心回顾）
- 1. 两个定义：
- 余角：和为90°的两个角（互为余角）；
- 补角：和为180°的两个角（互为补角）。
- 2. 两个性质：
- 同角（或等角）的余角相等；
- 同角（或等角）的补角相等。
- 3. 两个计算方法：
- 余角 = 90° - 已知角（已知角为锐角）；
- 补角 = 180° - 已知角（已知角小于180°）。
## 第9页：课堂练习（即时巩固）
- 1. 填空：
- 65°的余角是（ ）°，补角是（ ）°；
- 一个角的余角是30°，则这个角的补角是（ ）°；
- 若∠α与∠β互余，∠α = 25°，则∠β =（ ）°。
- 2. 判断下列说法是否正确：
- （1）若∠1 + ∠2 + ∠3 = 90°，则∠1、∠2、∠3互为余角（ ）；
- （2）120°的补角是60°（ ）；
- （3）同角的补角相等（ ）。
- 3. 计算：
- 一个角的补角比它的余角大多少度？（用代数式推导或具体数值验证）
- 4. 证明：如图，∠AOB是平角，OC是射线，∠1与∠2互余，求证：∠BOC = 90°。
3
4
同样，如果两个角的和等于180°（平角），
就说这两个角互为补角，简称互补.
∠3＋∠4＝180°，所以∠3、∠4的互为补角.
1
2
3
4
想想看，如果∠1与∠2互余，∠3与∠4互余，∠2 =∠4，那么∠1和∠3有什么关系？相等角的补角又有什么关系？
∠1＝∠3
归纳总结
同角或等角的余角相等；同角或等角的补角相等.
例3 已知∠α＝50°17′，求∠α的余角和补角.
∠α的余角＝90°－50°17′＝39°43′
∠α的补角＝180°－50°17′＝129°43′
随堂练习
1. 说出图中互余和互补的角.
E
A
B
F
D
∠AED和∠DEB、
∠BEF和∠AEF
互补的角：
∠DEF和∠FEB
互余的角：
【教材P162 练习 第1题】
2．如图，有两堵围墙，有人想测量地面上所形成的∠AOB的度数，但人又不能进入围墙，只能站在墙外，请问该如何测量？
延长AO，测量∠AOB的补角即可.
提示：也可延长BO.
【教材P162 练习 第2题】
3 如图，已知∠AOB，利用尺规作图作一个角等于该角
补角.
B
O
A
C
∠COB是∠AOB是的补角
【教材P162 练习 第3题】
知识点1 余角和补角的定义
1.若 ，则 的补角为( )
D
A. B. C. D.
返回
2.若，则 的余角为( )
A
A. B. C. D.
返回
3.［2025成都期末］若两个角互补，则( )
D
A.这两个角都是锐角
B.这两个角都是钝角
C.这两个角一定一个是锐角，一个是钝角
D.以上答案都不对
返回
4.［教材P162练习T1变式］如图，，， 三点在同一条直线上，
.
（1） 的余角是_______，补角是_______；
（2）若 ，则 ______.
返回
5.若一个角的余角的3倍比这个角的补角多 ，则这个角的度数为_____.
返回
6.（8分）［教材P162练习T3变式］如图， ， 平分
， .
（1）与互余吗？与 互补吗？试说明理由.
解：与互余.与 互补.理由如下:
因为 ，平分 ，
所以 .
又因为,所以 ，
所以 ,即与 互余.
因为 ，
所以与 互补.
互 余 互 补
数量 关系
对 应 图 形
性 质
∠1＋∠2＝90°
∠3＋∠4＝180°
同角或等角的余角相等
同角或等角的补角相等
谢谢观看！

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