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华东师大版（2024）数学7年级上册
第3章 图形的初步认识
3.6.2 角的比较和运算
情境导入
下面两个钟面上，时针与分针间的夹角谁大谁小呢？
# 幻灯片分页内容：角的比较和运算
## 第1页：课题引入——生活中的“角的大小”
- 情境展示：
- 图片1：两个不同张开程度的剪刀（形成的角大小不同）、时钟上3点和6点时的时针分针夹角（90°和180°）；
- 图片2：黑板上画出两个大小不同的角∠AOB和∠COD（顶点重合，一边重合）。
- 提问引导：
- 如何判断剪刀张开的角度哪个大？时钟上不同时刻的夹角谁大谁小？
- 黑板上的∠AOB和∠COD，不测量的话能比较它们的大小吗？
- 课题：今天我们学习——角的比较和运算（板书课题），掌握角的比较方法和简单运算技巧。
## 第2页：核心方法1——叠合法（直观比较角的大小）
- 叠合法的定义：
- 把两个角的顶点重合，一条边重合，通过观察另一条边的位置来比较角的大小。
- 操作步骤（以比较∠AOB和∠COD为例）：
1. 使∠AOB的顶点O与∠COD的顶点C重合；
2. 使∠AOB的边OA与∠COD的边CD重合（两条边在同一方向）；
3. 观察另一条边的位置：
- 若OB落在∠COD的内部（如C—D—B），则∠AOB < ∠COD；
- 若OB与CE（∠COD的另一边）重合，则∠AOB = ∠COD；
- 若OB落在∠COD的外部，则∠AOB > ∠COD。
- 图示演示：分步画出三种情况的叠合示意图，标注顶点、重合边和另一条边的位置，明确大小关系。
- 生活应用：比较两个三角尺的角、判断门窗打开的角度大小，可通过叠合直观判断。
## 第3页：核心方法2——度量法（精确比较角的大小）
- 度量法的定义：
- 用量角器测量出两个角的度数（数值），通过比较数值大小来确定角的长短。
- 操作步骤：
1. 拿出量角器，明确量角器的中心点、0刻度线和刻度（内圈、外圈）；
2. 测量∠AOB：将量角器的中心点与顶点O重合，0刻度线与边OA重合，读取边OB对应的刻度值（如∠AOB = 45°）；
3. 用同样的方法测量∠COD的度数（如∠COD = 60°）；
4. 比较数值大小：45° < 60°，因此∠AOB < ∠COD。
- 注意事项：
- 中心点必须与角的顶点重合，0刻度线必须与角的一条边重合，避免错位；
- 读取刻度时，根据另一条边的位置判断读内圈还是外圈刻度（如边OB在量角器的右半部分，读外圈刻度）。
## 第4页：角的和与差运算（基础应用）
- 角的和运算：
- 定义：两个角的度数相加，得到的新角的度数等于它们的度数和。
- 图示：如图，∠AOC = ∠AOB + ∠BOC（OB在∠AOC内部，把∠AOC分成∠AOB和∠BOC）；
- 例：∠AOB = 30°，∠BOC = 20°，则∠AOC = 30° + 20° = 50°。
- 角的差运算：
- 定义：两个角的度数相减，得到的新角的度数等于它们的度数差（大角减小角）。
- 图示：如图，∠AOB = ∠AOC - ∠BOC（OC在∠AOB内部，∠AOC是大角）；
- 例：∠AOC = 70°，∠BOC = 30°，则∠AOB = 70° - 30° = 40°。
- 强调：角的和差运算本质是度数的加减，运算时单位统一（都是度）。
## 第5页：角的平分线（特殊的角的分线）
- 角的平分线定义：
- 从一个角的顶点出发，把这个角分成**两个相等的角**的射线，叫做这个角的平分线。
- 数学表示：
- 若射线OB是∠AOC的平分线，则∠AOB = ∠BOC = 1/2 ∠AOC，或∠AOC = 2∠AOB = 2∠BOC。
- 图示演示：画出∠AOC，作出其平分线OB，标注∠AOB = ∠BOC，直观体现“平分”含义。
- 实例：把一个直角（90°）用平分线分成两个45°的锐角；把一个平角（180°）分成两个直角（90°）。
## 第6页：例题解析——角的混合运算
- 例1：已知∠AOB = 50°，∠BOC = 30°，OB是∠AOC的平分线吗？为什么？
- 解：∠AOC = ∠AOB + ∠BOC = 50° + 30° = 80°；
- 1/2 ∠AOC = 40°，而∠AOB = 50° ≠ 40°，∠BOC = 30° ≠ 40°；
- 结论：OB不是∠AOC的平分线。
- 例2：已知∠AOC = 120°，OB是∠AOC的平分线，求∠AOB和∠BOC的度数。
- 解：∵ OB是∠AOC的平分线，∴ ∠AOB = ∠BOC = 1/2 ∠AOC；
- ∠AOB = ∠BOC = 120° ÷ 2 = 60°。
- 例3：已知∠1 = 35°，∠2 = ∠1 + 20°，∠3 = 90°，比较∠2和∠3的大小。
- 解：∠2 = 35° + 20° = 55°；
- ∵ 55° < 90°，∴ ∠2 < ∠3。
## 第7页：易错点辨析与纠正
- 易错点1：叠合法操作错误，导致比较失误
- 错误：叠合时顶点未重合，或一条边未重合（如∠AOB的OA与∠COD的CE未对齐）；
- 纠正：必须保证顶点重合、一条边重合，另一条边的位置才能反映角的大小。
- 易错点2：度量法读错刻度
- 错误：0刻度线与角的边未重合，或混淆内圈、外圈刻度（如把45°读成135°）；
- 纠正：测量时严格对齐中心点和0刻度线，根据另一条边的方向判断刻度（边在左读内圈，边在右读外圈）。
- 易错点3：角的和差运算中，忽略角的位置关系
- 错误：认为∠AOC一定是∠AOB + ∠BOC（未考虑OB在∠AOC外部的情况）；
- 纠正：先判断角的位置关系（一条边是否在另一个角内部），再确定是和运算还是差运算。
- 易错点4：混淆“角的平分线”与“线段的中点”
- 错误：把角的平分线说成“把角分成两个相等线段的线”；
- 纠正：角的平分线是射线（从顶点出发），线段的中点是点，二者本质不同。
## 第8页：课堂小结（核心回顾）
- 1. 两种比较方法：
- 叠合法：顶点重合、一边重合，看另一边位置（直观快捷）；
- 度量法：量角器测量度数，比较数值（精确可靠）。
- 2. 角的运算：
- 和差：度数的加减（先判断位置关系）；
- 平分线：把角分成两个相等的角（∠AOB = ∠BOC）。
- 3. 关键提醒：
- 测量时规范操作，运算时注意位置关系，避免概念混淆。
## 第9页：课堂练习（即时巩固）
- 1. 用叠合法比较下图中∠1和∠2的大小，写出结论；
- 2. 用量角器测量下列角的度数，比较它们的大小：
- ∠α =（ ）°，∠β =（ ）°，结论：∠α（ ）∠β（填“>”“<”或“=”）；
- 3. 填空：
- 若∠AOB = 25°，∠BOC = 35°，则∠AOC =（ ）°（OB在∠AOC内部）；
- 若OB是∠AOC的平分线，∠AOC = 100°，则∠AOB =（ ）°；
- 4. 计算：
- 30°20′ + 45°30′ =（ ）°（ ）′；
- 90° - 25°40′ =（ ）°（ ）′；
- 5. 动手操作：画一个60°的角，作出它的平分线，用量角器验证平分线分成的两个角是否相等。
探索新知
O
A
B
D
E
F
C
G
H
观察如图所示的三个角，哪一个最大？
∠AOB与∠CGH的大小关系不太明显. 那么如何比较，才能得到准确的结果呢？
叠合法
O
A
B
C
G
H
G(O)
H(B)
如图所示,把一个角放到另一个角上,使它们的顶点重合,其中的一边也重合,并使两个角的另一边都在重合的这一条边的同侧.
∠CGH＞∠AOB 或 ∠AOB＜∠CGH
度量法
O
A
B
C
G
H
D
E
F
读数为60°
读数为36°
读数为65°
∠CGH＞∠AOB＞∠DEF
45°
45°
30°
60°
一副三角尺上的角是一些常用的角，除了可以用它们直接画出30°、45°、60°和90°的角之外，还可以画出其他一些特殊的角.
75°
15°
角的大小与它的开口大小有关.
如下图，∠2＞∠1，以两个角的顶点为圆心，相同长为半径作弧
2
1
开口越大，角越大，圆弧与角两边的交点之间的线段也越长.
做一做
如图，∠AOB为已知角，试用直尺和圆规按下列步骤准确地作一个角等于∠AOB.
A
O
B
A
O
B
O′
A′
（1）作射线O′A′；
作法：
（2）以点O为圆心，适当长为半径作弧，交射线OA于点C，交射线OB于点D；
C
D
A
O
B
O′
A′
C
D
（3）以点O′为圆心、线段OC长为半径作弧，交射线O′A′于点C′ ；
（4）以点C′为圆心、线段CD长为半径作弧，交前一条弧于点D′ ；
C′
D′
（5）经过点D′作射线O′B′，则∠A′O′B′就是所要求作的角.
B′
作法：
人们将利用没有刻度的直尺和圆规这两种工具作几何图形的方法称为“尺规作图”.
A
A
B
O
过点A作直线
过点A、B作直线
以点O为圆心作圆
角的运算：
我们可以对角进行简单的加减运算，两个角相加或相减得到的和或差也是角.
设有两个角∠1和∠2（∠1＞∠2），如图：
当∠2的另一边在∠1 的外部时，
它们的另两边所成的角就是∠1与∠2的和.
当∠2的另一边在∠1 的内部时，
它们的另两边所成的角就是它们的差.
如图，用量角器和直尺在纸上画∠AOB=84°，然后沿点О对折，使边OA和OB重合，那么折痕把角分成了大小相等的两部分.
做一做
A
O
B
C
角平分线
42°
42°
角的平分线：
A
O
B
C
从一个角的顶点引出的一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线.
随堂练习
1. 先观察下列各组角，其中哪一个角较大？然后用量角器量一量每个角，看看你的观察结果是否正确.
（1）
（2）
120°
130°
65°
70°
【教材P160 练习 第1题】
2．请利用三角尺中的角估计下列角的度数，并按大小顺序用“>”号连接这四个角.
∠3＞∠2＞∠1＞∠4
【教材P160 练习 第2题】
3. 如图，点O是直线AB上的一点，∠AOC = 55°．画出∠BOC的平分线OD，并计算∠AOD的度数.
∠BOC＝180°－55°＝125°
∠BOD＝∠COD＝62.5°
D
∠AOD＝55°＋62.5°＝117.5°
【教材P161 练习 第3题】
4.已知∠AOB，利用尺规作图作一个角，使它等于
已知角的2倍.
A
O
B
【教材P161 练习 第4题】
知识点1 角的比较
1. 用“叠合法”比较与 的大小，正确的是( )
D
A. B. C. D.
返回
2.如图，在正方形网格中有 和 ，则 和 的大小关系是
( )
A
（第2题）
A. B.
C. D.无法确定
返回
3.［2025宁德期末］如图①②所示，把一副三角板先后放在 上，
则 的度数可能是( )
C
（第3题）
A. B. C. D.
返回
知识点2 用尺规作角
4.如图，用直尺和圆规作 的过程中，弧③是( )
D
（第4题）
A.以为圆心， 长为半径画弧
B.以为圆心， 长为半径画弧
C.以为圆心， 长为半径画弧
D.以为圆心， 长为半径画弧
返回
5.如图，尺规作图保留了作图痕迹 ，我们
得到的 ，那么 _____.
（第5题）
返回
知识点3 角的度量与换算
6.［2025长春期末］如图，把两块三角板拼在一起，则 等于
( )
B
（第6题）
A. B. C. D.
返回
（第7题）
7.如图， ， ，
则 的大小为( )
C
A. B. C. D.
返回
8.［教材习题 变式］计算：
（1） ________；
（2） ___________;
（3） ___________.
返回
课堂小结
角的比较和运算
角的比较
度量法
叠合法
角的运算
代数型的角的加减运算（两个角的度数进行加减运算）
几何型的角的加减运算（根据图形之间的关系，进行角的加减运算）
角的平分线
谢谢观看！

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