资源简介

(共25张PPT)
华东师大版（2024）数学7年级上册
第4章 相交线和平行线
4.1.1 对顶角
观察下图剪刀剪开纸片过程中有关角的变化. 你能说出其中的原理么
此时如果把剪刀抽象成一个几何图形，会是什么样的图形？
试一试在笔记本中画出来
# 幻灯片分页内容：对顶角
## 第1页：课题引入——相交线中的特殊角
- 情境展示：
- 图片1：十字路口的两条交叉道路、剪刀张开时的两片刀刃、圆规的两条腿；
- 动画演示：两条直线AB和CD相交于点O，形成四个角∠1、∠2、∠3、∠4（标注角的位置）。
- 提问引导：
- 两条直线相交会形成几个角？（4个）
- 这些角之间有什么位置关系？哪些角看起来大小相等？
- 课题：今天我们学习——对顶角（板书课题），认识对顶角的定义、特征和性质。
## 第2页：核心概念——对顶角的定义
- 对顶角的定义：
- 两条直线相交时，**有公共顶点**且**两边互为反向延长线**的两个角，叫做对顶角。
- 关键词解析：
- 公共顶点：两个角必须有同一个顶点（如∠1和∠3的顶点都是O）；
- 两边互为反向延长线：一个角的两条边是另一个角两条边的反向延长线（如∠1的边OA是∠3的边OC的反向延长线，∠1的边OB是∠3的边OD的反向延长线）。
- 图示识别：
- 画出直线AB和CD相交于O，标注∠1与∠3、∠2与∠4是对顶角；
- 强调：对顶角是“成对出现”的，两条直线相交只能形成两组对顶角。
## 第3页：对顶角的性质——对顶角相等
- 性质推导（直观验证+简单推理）：
- 直观验证：用量角器测量动画中∠1和∠3的度数（如∠1=60°，∠3=60°），∠2和∠4的度数（如∠2=120°，∠4=120°），发现对顶角度数相等；
- 简单推理：∵ 直线AB是平角，∴ ∠1 + ∠2 = 180°（邻补角互补）；
∵ 直线CD是平角，∴ ∠3 + ∠2 = 180°（邻补角互补）；
∴ ∠1 = ∠3（同角的补角相等）；同理可证∠2 = ∠4。
- 性质总结：对顶角相等（板书：对顶角相等）。
- 强调：这是对顶角的核心性质，是几何计算和证明的重要依据。
## 第4页：例题解析1——对顶角的识别与判断
- 例1：下列图形中，∠1和∠2是对顶角的是（ ）（给出4个选项图形）
- 选项A：两条直线相交，∠1和∠2有公共顶点，两边互为反向延长线（正确）；
- 选项B：两个角有公共顶点，但一边不互为反向延长线（错误）；
- 选项C：两个角没有公共顶点（错误）；
- 选项D：两条直线不相交，只是顶点重合（错误）；
- 判断技巧：
- 先看是否有公共顶点；
- 再看两边是否互为反向延长线（即两条边是否在同一直线上，方向相反）。
## 第5页：例题解析2——利用对顶角相等进行计算
- 例2：如图，直线AB和CD相交于点O，若∠1=50°，求∠3、∠2、∠4的度数。
- 解：∵ ∠1和∠3是对顶角，∴ ∠3 = ∠1 = 50°（对顶角相等）；
- ∵ ∠1和∠2是邻补角，∴ ∠2 = 180° - ∠1 = 180° - 50° = 130°；
- ∵ ∠2和∠4是对顶角，∴ ∠4 = ∠2 = 130°（对顶角相等）。
- 例3：如图，直线a、b相交于点O，∠AOC=70°，求∠BOD、∠AOD的度数。
- 解：∵ ∠AOC和∠BOD是对顶角，∴ ∠BOD = ∠AOC = 70°；
- ∵ ∠AOC和∠AOD是邻补角，∴ ∠AOD = 180° - 70° = 110°。
- 方法总结：
- 已知一个角的度数，求对顶角直接用“对顶角相等”；
- 求邻补角用“180° - 已知角的度数”。
## 第6页：易错点辨析与纠正
- 易错点1：对顶角识别错误
- 错误：认为有公共顶点的两个角就是对顶角（如邻补角）；
- 纠正：必须同时满足“有公共顶点”和“两边互为反向延长线”两个条件，缺一不可。
- 易错点2：误用对顶角性质
- 错误：认为相等的角就是对顶角（如两个直角相等，但不一定是对顶角）；
- 纠正：对顶角一定相等，但相等的角不一定是对顶角，需结合位置关系判断。
- 易错点3：计算时忽略邻补角关系
- 错误：已知∠1=60°，求邻补角∠2时，直接用∠2=∠1=60°；
- 纠正：邻补角互补（和为180°），应计算180°-60°=120°。
## 第7页：课堂小结（核心回顾）
- 1. 对顶角的定义：两条直线相交，有公共顶点且两边互为反向延长线的两个角；
- 2. 对顶角的性质：对顶角相等（几何计算和证明的重要依据）；
- 3. 关键应用：
- 识别对顶角：抓住“公共顶点”和“两边互为反向延长线”；
- 计算角度：利用对顶角相等求未知角，结合邻补角互补计算相关角。
## 第8页：课堂练习（即时巩固）
- 1. 识别下列图形中的对顶角（给出3个相交线图形，标注角，写出对顶角组合）；
- 2. 填空：
- 直线AB和CD相交于点O，若∠AOB的对顶角是∠（ ），∠AOD的对顶角是∠（ ）；
- 若对顶角∠1和∠3的度数和为120°，则∠1=（ ）°，∠3=（ ）°。
- 3. 计算：
- 如图，直线l 和l 相交于点O，∠1=35°，求∠2、∠3、∠4的度数；
- 如图，直线AB、CD、EF相交于点O，∠AOC=40°，∠BOE=60°，求∠DOF的度数（提示：先找对顶角）。
- 4. 判断下列说法是否正确：
- （1）有公共顶点的两个角是对顶角（ ）；
- （2）对顶角一定相等（ ）；
- （3）相等的角是对顶角（ ）。
相交线：如图，两条直线AB、CD都经过同一个点O，我们就说这两条直线相交于点O，点O是他们的交点。
角 ∠1与∠2 ∠1与∠3
位置关系
数量关系
相邻
互补
相邻
互补
B
1
2
3
A
C
D
O
4
思考：大家仔细观察所画的图形，两条直线相交时形成四个角，这几个角都有什么样的位置关系呢？
想一想：
图中∠1的邻补角为_______
图中∠4的邻补角为________
如果两个角既相邻又互补，那么这两个角互为邻补角.如∠1和∠2
C
1
2
3
A
B
D
O
4
∠2，∠3
∠2，∠3
邻补角的概念
从位置关系和数量关系上看，图中还有哪些角之间存在着某种关系呢？
1
2
3
A
B
C
D
O
4
∠1和∠4
∠2和∠3
问：图中∠1的对顶角是______. 图中∠2的对顶角是______.
如果两个角有一个公共顶点，并且其中一个角的两边是另一个角的两边的 ，那么这两个角互为对顶角.
1
2
3
A
B
C
D
O
4
反向延长线
∠4
∠3
对顶角的概念
下列各图中，∠1与∠2是对顶角的是（ ）
1
2
C
1
2
D
D
1
2
A
1
2
B
方法总结：
对顶角是由两条相交直线构成的；
只有两条直线相交时，才能构成对顶角．
牛刀小试
C
O
A
B
D
4
3
2
1
请你猜一猜，剪刀剪东西的过程中∠1与∠3这两个角的大小保持怎样的关系
对顶角的性质
猜想： ∠1=∠3
A
B
O
C
D
4
3
2
1
例1：直线AB与CD相交于O点(如图)，∠1=30°,那么∠2，∠3和∠4各等于多少度？图中存在哪些相等关系？
解：因为直线AB与CD相交于O点,
由此我们得到
∠1=∠3，∠2=∠4.
结论：两条直线相交对顶角相等
∠4=180°-∠1=180°-30°=150°
∠3=180°-∠2=180°-150°=30°
∠2=180°-∠1=180°-30°=150°
例2 如图4.1.3，直线AB、CD相交于点E，∠AEC=50°，求∠BED的度数.
A
B
C
D
E
图4.1.3
解：因为直线AB、CD相交于点E，所以∠AEC与∠BED是对顶角。
根据对顶角相等，得∠BED= ∠AEC=50°
(3) 若 1: 2 = 2:7，则∠1，∠2，∠3，∠4的度数
分别为________________________.
(2) 若∠2是∠1的 3倍，则∠1，∠2，∠3，∠4的度
数分别为________________________.
(1) 若∠1+∠3= 60 ，则∠1，∠2，∠3，∠4的度数
分别为________________________ .
30 、150 、30 、150
45 、 135 、 45 、 135
40 、140 、40 、140
1.根据图形回答下列问题：
随堂练习
2.如图，直线 AB，CD，EF 相交于点 O.
(1)写出∠AOC， ∠BOE的邻补角；
(2)写出∠DOA， ∠EOC的对顶角；
(3)如果∠AOC =50°，求∠BOD，∠COB的度数.
A
E
D
B
F
C
O
解:(1)∠AOC的邻补角是∠AOD和∠COB;
∠BOE的邻补角是∠EOA和∠BOF.
(2)∠DOA的对顶角是∠COB；
∠EOC的对顶角是∠DOF.
(3)∠BOD=∠AOC= 50°,
∠COB=180°-∠AOC=130°.
3.下列各图中的∠1与∠2是不是对顶角？【教材P172 练习 第1题】
1
2
1
2
1
2
不是
不是
不是
4.如图，∠1与∠2是对顶角，∠1=180°-∠A，∠2=35°，则∠A=____° 【教材P172 练习 第3题】
1
2
145
5.如图，直线AB、CB分别与直线DE相交于点F、G，直线IJ、KL分别与直线MN相交于点O、P，说出各图中的对顶角. 【教材P172 练习 第2题】
A
B
C
E
F
D
G
(1)
K
P
L
N
O
J
M
I
(2)
解:(1)∠AFE与∠DFB， ∠AFD与∠EFB， ∠CGE与∠DGB， ∠CGD与∠BGE
解:(2) ∠MOI与∠JON， ∠MOJ与∠IOP， ∠MPL与∠KPN， ∠MPK与∠LPN
知识点1 邻补角的定义与性质
1.［2024开封期末］下列各图中，与 互为邻补角的是( )
D
A. B. C. D.
返回
2.［教材例1变式］如图，直线与相交于点， 的邻补
角是_______________；若 ，则 的度数为______.
和
返回
知识点2 对顶角的定义
3.［2025商丘期末］下面四幅图中，与 是对顶角的是( )
A
A. B. C. D.
返回
4. 如图，当光线从空气射入水中时，光线的传播方向
发生了改变，这就是折射现象.图中与 ______（填“是”或“不是”）
对顶角.
不是
返回
5.如图，直线、、相交于点， 的对顶角是_______，
的对顶角是_______.
返回
知识点3 对顶角的性质
6.如图，直线、相交于点，则推导出“ ”的依据是
( )
C
（第6题）
A.同角的余角相等 B.等角的余角相等
C.同角的补角相等 D.等角的补角相等
返回
（第7题）
7.［2025太原期中］如图，我们把剪刀的两边抽象成
两条相交的直线，若 ，则 ( )
A
A. B. C. D.
返回
8. 如图，为了测量古塔外墙底角 的度数，王明设
计了如下方案：作，的延长线，，量出 的度数，就
得到了 的度数，王明这样做的依据是____________.
对顶角相等
返回
B
A
C
D
O
1
2
3
4
1.有公共顶点
归类
∠1和∠2、∠2和∠3、∠3和∠4、∠4和∠1
∠1和∠3、
∠2和∠4、
1.有公共顶点
位置关系
邻补角
对顶角
2.有一条公共边
3.另一边互为反向延长线
2.没有公共边
两直线相交
3.两边互为反向延长线
名称
数量关系
对
顶
角
相
等
邻
补
角
互
补
提示：考虑角的位置关系可从角的顶点和角的边入手!
谢谢观看！

展开更多......

收起↑