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华东师大版（2024）数学7年级上册
第2章 整式及其加减
2.4.2.合并同类项
1.掌握合并同类项的法则，并能准确合并同类项.
2.能在合并同类项的基础上进行化简、求值运算.
# 2.4.2 合并同类项（幻灯片分页内容）
## 第1页：课题导入——“同类项”的合并魔法
### 核心内容：
1. 回顾旧知：
- 同类项定义：所含字母相同，且相同字母的指数也相同的项（常数项都是同类项）。
- 即时判断：`3x`与`-5x`、`2xy `与`7xy `、`-4`与`9`是否为同类项？（是）
2. 情境类比：
- 生活场景：3个苹果 + 5个苹果 = 8个苹果；2支铅笔 - 1支铅笔 = 1支铅笔。
- 数学情境：`3x + 5x = ？` `2xy - 7xy = ？` `-4 + 9 = ？`
3. 引出课题：像这样把多项式中的同类项合并成一项，叫做**合并同类项**，它是整式加减的基础。
## 第2页：核心法则——合并同类项的“运算法则”
### 核心内容：
1. 法则推导（以`3x + 5x`为例）：
- 依据乘法分配律：`3x + 5x = (3 + 5)x = 8x`
- 同理：`2xy - 7xy = (2 - 7)xy = -5xy `
- 常数项：`-4 + 9 = ( -4 + 9 ) = 5`（常数项的“字母”可看作`x `）
2. 法则总结：
- ① 同类项的系数相加，所得的结果作为新的系数；
- ② 字母和字母的指数保持不变。
3. 口诀：系数相加，字母不变，指数不变。
## 第3页：合并步骤——合并同类项的“四步法”
### 核心内容：
1. 规范步骤（以“合并多项式`3x - 2xy + 5y - 7xy + 4x - 9`的同类项”为例）：
- ① 找：找出多项式中的所有同类项（用不同符号标记）；
标记结果：`3x `（△）、`-2xy`（○）、`5y `（□）、`-7xy`（○）、`4x `（△）、`-9`（☆）
- ② 移：利用加法交换律和结合律，将同类项移到一起（注意带着项的符号）；
移项后：`3x + 4x - 2xy - 7xy + 5y - 9`
- ③ 合：按照合并法则，合并同类项；
合并过程：
- `3x + 4x = (3 + 4)x = 7x `
- `-2xy - 7xy = (-2 - 7)xy = -9xy`
- `5y `（无同类项，保留）、`-9`（无同类项，保留）
- ④ 查：检查结果是否还有同类项（确保合并彻底）。
最终结果：`7x - 9xy + 5y - 9`
2. 关键提醒：移项时必须带着项的符号，避免符号错误。
## 第4页：例题解析1——基础题型（直接合并）
### 核心内容：
1. 例题1：
- 题目：合并同类项`-5x + 3x - 2x`。
- 解答过程：
① 找同类项：`-5x`、`3x`、`-2x`（都是同类项）；
② 移项（无需移动，已在一起）：`-5x + 3x - 2x`；
③ 合并系数：`(-5 + 3 - 2)x = (-4)x = -4x`；
④ 检查：无剩余同类项，结果为`-4x`。
2. 例题2：
- 题目：合并同类项`2a b - 3ab + a b - 5ab + 7`。
- 解答过程：
① 找同类项：`2a b`与`a b`，`-3ab `与`-5ab `，`7`（常数项）；
② 移项：`2a b + a b - 3ab - 5ab + 7`；
③ 合并：`(2 + 1)a b + (-3 - 5)ab + 7 = 3a b - 8ab + 7`；
④ 检查：无剩余同类项，结果为`3a b - 8ab + 7`。
3. 即时练习：合并`4x - 2x + 5x + 7x `（答案：`9x + 5x `）。
## 第5页：例题解析2——进阶题型（含括号的合并）
### 核心内容：
1. 例题3：
- 题目：先去括号，再合并同类项`3(2x - y) - 2(3x + 1) + 5y`。
- 解答过程：
① 去括号（注意符号）：`6x - 3y - 6x - 2 + 5y`；
② 找同类项：`6x`与`-6x`，`-3y`与`5y`，`-2`（常数项）；
③ 移项：`6x - 6x - 3y + 5y - 2`；
④ 合并：`(6 - 6)x + (-3 + 5)y - 2 = 2y - 2`；
⑤ 检查：无剩余同类项，结果为`2y - 2`。
2. 方法总结：含括号的多项式，需先去括号（括号前是负号，括号内各项变号），再按步骤合并同类项。
3. 练习：先去括号再合并`-2(x - 3xy) + 3(2x - xy)`（答案：`-2x + 6xy + 6x - 3xy = 4x + 3xy`）。
## 第6页：易错辨析——常见错误与纠正
### 核心内容：
1. 易错点1：合并时改变字母或指数
- 错误：`3x + 2x = 5x `（指数相加）、`2xy + 3xy = 5x y `（字母指数都改变）
- 纠正：`3x + 2x = 5x `（字母和指数不变）、`2xy + 3xy = 5xy`
2. 易错点2：移项时遗漏符号
- 错误：合并`3x - 5 + 2x`时，写成`3x + 2x + 5`（遗漏`-5`的负号）
- 纠正：`3x + 2x - 5 = 5x - 5`
3. 易错点3：系数计算错误（含负数）
- 错误：`-4x + 3x = -7x`（系数相加错误：-4 + 3 = -1）
- 纠正：`-4x + 3x = -x`
4. 易错点4：未合并彻底
- 错误：合并`2x + 3x - x `时，结果为`2x - x + 3x`（未完成系数相加）
- 纠正：`(2 - 1)x + 3x = x + 3x`
5. 易错点5：非同类项强行合并
- 错误：`3x + 2y = 5xy`（x和y不是同类项，不能合并）
- 纠正：非同类项保持原样，结果为`3x + 2y`
## 第7页：课堂小结——合并同类项的核心要点
### 核心内容：
1. 法则：系数相加，字母和指数不变；
2. 步骤：找同类项→移项（带符号）→合并系数→检查；
3. 注意事项：
- 非同类项不能合并；
- 移项时必须带着项的符号；
- 含括号先去括号，再合并；
- 系数计算注意正负号，合并要彻底。
4. 应用价值：合并同类项可简化多项式，为后续整式的加减、求值打下基础。
定义：所含字母相同，并且相同字母的指数都相等的项叫做同类项.
判断同类项的关键是“一相同”“一相等”“两无关”：
①“一相同”：所含字母完全相同；
②“一相等”：相同字母的指数都相等；
③“两无关”：与系数无关，与字母的排列顺序无关.
注意：所有的常数项都是同类项.
妈妈：2个包子和1根油条.
爸爸：3个包子和2根油条.
小明：1个包子和2根油条.
6个包子
5根油条
生活中我们经常会根据实际的需要把同类事物合并起来。
如果你是小明，你会怎么买？
情景导入
探索新知
1.运用运算律计算：8×2+5×2
=(8+5)×2=26.
2.类比数的运算，计算：3x2y+5x2y.
3x2y+5x2y
=(3+5)x2y
=8x2y
如果一个多项式中含有同类项，那么我们可以把同类项合并起来，使结果得以简化.
对多项式3x2y-4xy2-3+5x2y+2xy2+5进行合并：
3x2y-4xy2-3+5x2y+2xy2+5
=3x2y+5x2y-4xy2+2xy2-3+5
加法的交换律
=(3x2y+5x2y)+(-4xy2+2xy2)+(-3+5)
加法的结合律
=(3+5)x2y+(-4+2)xy2+(-3+5)
乘法的分配律
=8x2y-2xy2+2
把多项式中的同类项合并成一项叫做合并同类项.
3x2y+5x2y=(3+5)x2y=8x2y
相加
不变
合并同类项
系数相加
字母及其指数不变
合并同类项的法则：把同类项的系数相加，所得的结果作为和的系数，字母和字母的指数保持不变.
简记为：一相加，两不变
例3
合并下列多项式中的同类项：
（1）2a2b-3a2b+
解：2a2b-3a2b+
三项都是同类项
（2）a3-a2b+ab2+a2b-ab2+b3
解：a3-a2b+ab2+a2b-ab2+b3
=a3 +(-a2b+a2b)+(ab2-ab2)+ b3
=a3+b3
=a3 +(-1+1)a2b +(1-1)ab2 + b3
合并同类项的步骤：
1.找出同类项，当项数较多时，用记号标出各同类项，注意每一项的符号；
2.根据加法的交换律和结合律，将同类项集中在一起；
3.根据合并同类项的法则合并同类项；
4.写出合并后的结果.
一找
二移
三合
四写
解：3x2+4x-2x2-x+x2-3x-1
例4
求多项式3x2+4x-2x2-x+x2-3x-1的值，其中x=-3.
先合并同类项
=(3-2+1)x2+(4-1-3)x-1
=2x2-1
当x=-3时，原式=2×(-3)2-1=17.
试一试，把x=-3直接代入多项式求值. 比较一下，哪个解法更简便？
先合并同类项，将多项式化简，再求值，比较简便.
例5
如图所示的窗框，上部分为半圆，下部分为6个大小一样的长方形，长方形的长与的比为3∶2. 如果长方形的长分别为0.4m、0.5m、0.6m等，那么窗框所需材料的长度分别是多少 如果长方形的长为 a m呢
a
a
a
a
解：我们不妨先解答最后一问，即：如果长方形的长为 a m，求窗框所需材料的长度.
如果长方形的长为a m，那么它的宽为 a m.由图不难知道，窗框所需材料的长度为
=(9+6+π)a
=(15+π)a（m）.
a
a
要解答第一问，只需分别将a=0.4、0.5、0.6等代入上式求值即可.
例如当长方形的长为0.4m时，求窗框所需材料的长度（要求精确到0.1m，π取3.14），有
(15+π)a
≈(15+3.14)×0.4
=18.14×0.4
=7.256
≈7.3(m).
所以，当长方形的长为 0.4m时，窗框所需材料的长度约为7.3m.
a
a
当a=0.5时，
(15+π)a
≈(15+3.14)×0.5
=18.14×0.5
=9.07
≈9.1(m).
当a=0.6时，
(15+π)a
≈(15+3.14)×0.6
=18.14×0.6
=10.884
≈10.9(m).
所以，当长方形的长为 0.5m时，窗框所需材料的长度约为9.1m；当长方形的长为 0.6m时，窗框所需材料的长度约为10.9m.
随堂练习
1.如果两个同类项的系数互为相反数，那么合并同类项后，结果是______.
0
2.下列等式成立的是（ ）
A.3a+2b=5ab B.a2+2a2=3a4
C.5y3-3y3=2y3 D.3x3-x2=2x
C
【选自教材P105 练习 第1题】
3.先标出下列各多项式中的同类项，再合并同类项：
（1）3x-2x2+5+3x2-2x-5
解：3x-2x2+5+3x2-2x-5
=3x-2x-2x2+3x2+5-5
=(3-2)x+(-2+3)x2+(5-5)
=x+x2
【选自教材P105 练习 第2题】
（2）a3+a2b+ab2-a2b-ab2-b3
（3） 6a2-5b2+2ab+5b2-6a2
解：a3+a2b+ab2-a2b-ab2-b3
=a3+a2b-a2b+ab2-ab2-b3
=a3+(a2b-a2b)+(ab2-ab2)-b3
=a3-b3
解：6a2-5b2+2ab+5b2-6a2
=6a2-6a2-5b2+5b2+2ab
=(6-6)a2+(-5+5)b2+2ab
=2ab
4.求下列多项式的值：
7x2-3x2-2x-2x2+5+6x，其中x=-2；
5a-2b+3b-4a-1，其中a=-1， b=2；
2x2-3xy+y2-2xy-2x2+5xy -2y+1，其中x = ，y =-1.
（1）解： 7x2-3x2-2x-2x2+5+6x
=7x2-3x2-2x2-2x+6x+5
=(7-3-2)x2+(-2+6)x+5
=2x2+4x+5
当x=-2时，原式=2×(-2)2+4×(-2)+5=5.
【选自教材P105 练习 第3题】
（2）解：5a-2b+3b-4a-1
=5a-4a-2b+3b-1
=(5-4)a+(-2+3)b-1
=a+b-1
当a=-1， b=2时，原式=(-1)+2-1=0.
4.求下列多项式的值：
7x2-3x2-2x-2x2+5+6x，其中x=-2；
5a-2b+3b-4a-1，其中a=-1， b=2；
2x2-3xy+y2-2xy-2x2+5xy -2y+1，其中x = ，y =-1.
【选自教材P105 练习 第3题】
（3）解：2x2-3xy+y2-2xy-2x2+5xy -2y+1
=2x2-2x2-3xy-2xy+5xy+y2-2y+1
=(2-2)x2+(-3-2+5)xy+y2-2y+1
=y2-2y+1
当x = ，y =-1时，原式=(-1)2-2×(-1)+1=4.
4.求下列多项式的值：
7x2-3x2-2x-2x2+5+6x，其中x=-2；
5a-2b+3b-4a-1，其中a=-1， b=2；
2x2-3xy+y2-2xy-2x2+5xy -2y+1，其中x = ，y =-1.
【选自教材P105 练习 第3题】
5.某环保组织有三个工作组，这三个组参加了植树造林活动，其中甲组植树x棵，乙组的植树棵数比甲组的2倍少5，丙组的植树棵数比甲组的一半多10.
（1）这三个组一共植树多少棵
（2）当甲组植树40棵时，这三个组一共植树多少棵
解：（1）根据题意，得乙组植树(2x-5)棵，丙组植树 ( x+10)棵，
所以这三个组一共植树x+2x-5+ x+10=(1+2+ )x+(-5+10)= x+5（棵）.
（2）当x=40时， x+5= ×40+5=145（棵），所以这三个组一共植树145棵.
知识点 合并同类项及其应用
1.合并同类项 时，依据的运算律
是( )
C
A.乘法交换律 B.加法结合律 C.分配律 D.乘法结合律
返回
2.［2024常州中考］计算 的结果是( )
B
A.2 B. C. D.
返回
3.下列计算正确的是( )
B
A. B.
C. D.
返回
4.在,,, 中，有两个是同类项,它们的和是______.
返回
5.某场电影成人票25元/张，学生票15元/张，均卖出 张，共得票款
______元.
返回
课堂小结
同类项
①“一相同”：所含字母完全相同；
②“一相等”：相同字母的指数都相等；
③“两无关”：与系数无关，与字母的排列顺序无关.
合并同类项
①系数相加
②字母及其指数不变
一找
二移
三合
四写
步骤
法则
谢谢观看！

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