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华东师大版（2024）数学7年级上册
第2章 整式及其加减
2.3.3.升幂排列和降幂排列
1.理解并能描述什么是升幂排列和降幂排列.
2.能够将一个多项式按某一字母升幂或降幂排列.
# 2.3.3 升幂排列和降幂排列（幻灯片分页内容）
## 第1页：课题导入——为什么要给多项式“排序”？
### 核心内容：
1. 情境设问（对比展示）：
- 未排序多项式：`3x - 5x + 2x - 1`（项的顺序混乱，不易观察次数和结构）
- 排序后多项式：`-5x + 3x + 2x - 1`（按x的指数从高到低排列，结构清晰）
2. 提问互动：
- 排序后的多项式有什么优点？（便于观察最高次项、合并同类项、计算代数式的值）
3. 引出课题：为了让多项式的结构更清晰、运算更简便，我们需要对多项式进行“升幂排列”或“降幂排列”。
## 第2页：核心概念——升幂排列与降幂排列的定义
### 核心内容：
1. 前提条件：
- 针对“只含一个字母”的多项式（或指定某一个字母作为排序依据）。
2. 定义阐释：
- 降幂排列：把多项式的各项按某一字母的指数从大到小的顺序排列，叫做这个多项式按该字母的降幂排列。
- 示例：多项式`2x - 3x + x + 5`按x的降幂排列为：`-3x + x + 2x + 5`
- 升幂排列：把多项式的各项按某一字母的指数从小到大的顺序排列，叫做这个多项式按该字母的升幂排列。
- 示例：同上多项式按x的升幂排列为：`5 + 2x + x - 3x `
3. 关键词解析：
- “按某一字母”：若多项式含多个字母，需明确排序依据（如`x y + xy - x + y `可按x排序，也可按y排序）。
- “指数从小到大/从大到小”：常数项的指数视为0（如5的指数是0，排在升幂排列的最前面、降幂排列的最后面）。
## 第3页：排序步骤——多项式排序的“三步法”
### 核心内容：
1. 规范步骤（以“将多项式`4x - 2x + 3x - 1`按x的降幂排列”为例）：
- ① 找指数：找出每一项中指定字母的指数；
各项指数：`4x `（2）、`-2x `（4）、`3x`（1）、`-1`（0）
- ② 定顺序：按指数从大到小（降幂）或从小到大（升幂）排序；
降幂顺序：指数4→2→1→0
- ③ 写式子：按排序后的顺序写出多项式，注意保留各项的符号；
结果：`-2x + 4x + 3x - 1`
2. 口诀：先找指数，再定顺序，保留符号，依次排列。
## 第4页：例题解析1——单一字母的升幂与降幂排列
### 核心内容：
1. 例题1：
- 题目：将多项式`3x - x + 5x - 2`分别按x的降幂排列和升幂排列。
- 解答过程：
① 找各项x的指数：
`3x`（1）、`-x `（2）、`5x `（3）、`-2`（0）
② 降幂排列（指数3→2→1→0）：
`5x - x + 3x - 2`
③ 升幂排列（指数0→1→2→3）：
`-2 + 3x - x + 5x `
2. 即时练习：
- 将多项式`-2x + 7x - 4x + 1`按x的降幂排列：`-2x - 4x + 7x + 1`；升幂排列：`1 + 7x - 4x - 2x `（答案）。
## 第5页：例题解析2——指定字母的排序（含多个字母）
### 核心内容：
1. 例题2：
- 题目：将多项式`x y + xy - x + y `分别按x的降幂排列和按y的升幂排列。
- 解答过程：
① 按x的降幂排列（只看x的指数，忽略y的指数）：
各项x的指数：`x y`（2）、`xy `（1）、`-x `（3）、`y `（0）
排序结果：`-x + x y + xy + y `
② 按y的升幂排列（只看y的指数，忽略x的指数）：
各项y的指数：`x y`（1）、`xy `（2）、`-x `（0）、`y `（3）
排序结果：`-x + x y + xy + y `（巧合一致，实际需根据指数严格排序）
2. 拓展练习：
- 将多项式`2a b - 3ab + a - 4b `按b的降幂排列（看b的指数：3→2→1→0）：`-4b - 3ab + 2a b + a `（答案）。
## 第6页：易错辨析——常见错误与纠正
### 核心内容：
1. 易错点1：遗漏项的符号
- 错误：将`3x - x - 5`按x的降幂排列为`x + 3x - 5`（遗漏`-x `的负号）
- 纠正：`-x + 3x - 5`（各项符号必须保留）
2. 易错点2：混淆指数判断（常数项指数）
- 错误：将`2x - 1 + 4x`按x的升幂排列为`2x + 4x - 1`（误将常数项指数视为1）
- 纠正：`-1 + 4x + 2x `（常数项指数为0，排在最前面）
3. 易错点3：未明确排序字母（含多个字母）
- 错误：直接将`x y + xy `排序为`xy + x y`（未说明按x或y排序）
- 纠正：需注明排序依据，如“按x的升幂排列”或“按y的降幂排列”
4. 易错点4：指数判断错误（多字母项）
- 错误：判断`x y`中x的指数为4（误将x、y指数相加）
- 纠正：按x排序时，只看x的指数（3），y的指数不影响，`x y`的x指数是3。
## 第7页：课堂小结——升幂与降幂排列的核心要点
### 核心内容：
1. 排序目的：使多项式结构清晰，便于运算（合并同类项、求值等）；
2. 两大定义：
- 降幂排列：按指定字母指数从大到小排列；
- 升幂排列：按指定字母指数从小到大排列；
3. 关键注意：
- 必须明确排序字母（含多个字母时）；
- 常数项指数视为0；
- 保留各项的符号，不能遗漏；
4. 口诀：指定字母，找准指数；升幂从小到大，降幂从大到小；符号不变，顺序重组。
复习导入
什么是单项式？
由数和字母的乘积组成的代数式叫做单项式.
什么是多项式？
几个单项式的和叫做多项式.
例：单项式a2b2c的系数是_____，次数是_____.
多项式3x3y-5y2z+x2-y-1的四次项系数是_____，三次项系数是_____，常数项是_____ ，它是____________.
1
5
3
-5
-1
四次五项式
思考：多项式x2+x+l的项分别是__________.
x2、x、1
问题1：运用加法交换律，将多项式x2+x+1中各项的位置任意交换，可以得到哪些不同的排列方式？
x2+x+1
x2+1+x
x+x2+1
x+1+x2
1+x2+x
1+x+x2
问题2：众多的排列方式中，你认为哪几种比较整齐？
x2+x+1
1+x+x2
这两种排列方式有什么特点？
按字母x的指数从大到小的顺序排列的.
把一个多项式的各项按某一个字母的指数从大到小的顺序排列，叫做把这个多项式按这个字母的降幂排列．
按字母x的指数从小到大的顺序排列的.
把一个多项式的各项按某一个字母的指数从小到大的顺序排列，叫做把这个多项式按这个字母的升幂排列．
例4
把多项式 按r的升幂排列.
解：按r的升幂排列为：
按r的降幂排列应该怎样排呢？
按r的降幂排列为：
1
0
3
2
注意：
1.找准字母，分清是“升”还是“降”；
2.在字母上标记好指数；
3.重新排列多项式时，每一项一定要连同它的正负号一起移动；
4.常数项一般是最先或最后排.
例5
把多项式 重新排列：
a3+b2-3a2b-3ab3
（1）按a的升幂排列；
（2）按a的降幂排列.
解 （1）按a的升幂排列为：
3
0
2
1
b2-3ab3-3a2b+a3
（2）按a的降幂排列为：
a3-3a2b-3ab3+b2
试试看，你能将这个多项式按b的升幂（或降幂）排列吗
例5
把多项式 重新排列：
（1）按b的升幂排列；
（2）按b的降幂排列.
a3+b2-3a2b-3ab3
0
2
1
3
解 （1）按b的升幂排列为：
a3-3a2b+b2-3ab3
-3ab3+b2-3a2b+a3
（2）按b的降幂排列为：
注意：含有两个或两个以上字母的多项式，通常按其中某一个字母的升幂或降幂排列.
补充例题
把多项式 重新排列：
3mn2-2m2n3+5-8m3n
（1）按m的降幂排列；
（2）按n的升幂排列.
-8m3n-2m2n3+3mn2+5
5-8m3n+3mn2-2m2n3
反过来应该怎样排呢？
补充例题
把多项式 重新排列：
3mn2-2m2n3+5-8m3n
（1）按m的升幂排列；
（2）按n的降幂排列.
-2m2n3+3mn2-8m3n+5
5+3mn2-2m2n3-8m3n
随堂练习
1.把多项式 重新排列：
（1）按x的升幂排列；
（2）按x的降幂排列.
2
3
1
4
0
【选自教材P100 练习 第1题】
2.把多项式 重新排列：
x4-y4+3x3y-2xy2-5x2y3
（1）按x的降幂排列；
（2）按x的升幂排列.
x4+3x3y-5x2y3-2xy2-y4
4
0
3
1
2
-y4-2xy2-5x2y3+3x3y+x4
按y的升幂和降幂排列应该怎样排呢？
【选自教材P100 练习 第2题】
2.把多项式 重新排列：
（3）按y的降幂排列；
（4）按y的升幂排列.
x4-y4+3x3y-2xy2-5x2y3
0
4
1
2
3
x4+3x3y-2xy2-5x2y3-y4
-y4-5x2y3-2xy2+3x3y+x4
3.已知多项式-2+xm-1y+x2-nx2y3是关于x、y的四次三项式.
（1）求m和n的值；
（2）把这个多项式按x的升幂排列.
（2）根据（1）得该多项式为-2+x3y+x2，把这个多项式按x的升幂排列为-2+x2+x3y.
解：（1）由多项式-2+xm-1y+x2-nx2y3是关于x、y的四次三项式，得n=0，m-1+1=4，所以m=4，n=0.
知识点1 升幂排列
1.［教材习题变式］把多项式按 的升幂排列，下列
结果正确的是( )
D
A. B. C. D.
返回
2.将多项式按字母 的升幂排列为___________
______________.
返回
3.（4分）把多项式按 的升幂排列，并求出当
， 时的值.
解：把多项式按的升幂排列为 .当
， 时，
.
返回
知识点2 降幂排列
4.［教材P练习T变式］将多项式按字母 的降幂排
列正确的是( )
A
A. B.
C. D.
返回
5.把多项式按字母 的降幂排列，排在第三项
的是________.
返回
6.把多项式 重新排列.
（1）按 的降幂排列为__________________________；
（2）按 的降幂排列为________________________.
返回
7.（8分）已知多项式 .
（1）按 的降幂排列为______________________；
（2）当， 时，求该多项式的值.
解：当，时， .
返回
8.多项式 是按( )
A
A.的升幂排列的 B. 的降幂排列的
C.的升幂排列的 D. 的降幂排列的
返回
9.［2025许昌期中］将多项式 按某一个字母的
升幂排列，正确的是( )
B
A. B.
C. D.
返回
课堂小结
把一个多项式的各项按某一个字母的指数从大到小的顺序排列，叫做把这个多项式按这个字母的降幂排列．
把一个多项式的各项按某一个字母的指数从小到大的顺序排列，叫做把这个多项式按这个字母的升幂排列．
注意：
1.重新排列多项式时，每一项一定要连同它的正负号一起移动.
2.含有两个或两个以上字母的单项式，常常按照其中某一字母的指数进行升幂或降幂排列.
谢谢观看！

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