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华东师大版（2024）数学7年级上册
第1章 有理数
1.9.2 有理数乘法的运算律
有理数的乘法法则：
两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；
任何数与 0 相乘，都得 0 .
先确定积的正负号，
然后把绝对值相乘．
进行有理数的乘法运算的步骤：
旧知回顾
有理数两数相乘法则：同号得正，异号得负，绝对值相乘；任何数与 0 相乘得 0。
小学乘法运算律：交换律 a×b = b×a、结合律 (a×b)×c = a×(b×c)、分配律 a×(b + c)=a×b + a×c。
问题引导
引入负数后，这些乘法运算律还能使用吗？比如计算 (-2)×3 和 3×(-2) 结果是否相等？今天我们就来探究有理数乘法的运算律及其应用。
第 2 页：核心知识 1—— 乘法交换律
定义
两个有理数相乘，交换因数的位置，积不变。
符号表示
对于任意有理数 a、b，有
a×b=b×a
。
验证示例
计算 (-5)×4 和 4×(-5)：
(-5)×4：异号得负，绝对值相乘 5×4=20，结果为 - 20；
4×(-5)：异号得负，绝对值相乘 4×5=20，结果为 - 20。
两者结果相等，验证交换律成立。
应用价值
交换因数位置可凑整简化计算，如
2
1

×( 6)
交换后为
( 6)×
2
1

，可快速得出结果 - 3。
第 3 页：核心知识 2—— 乘法结合律
定义
三个有理数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积不变。
符号表示
对于任意有理数 a、b、c，有
(a×b)×c=a×(b×c)
。
验证示例
计算 [(-2)×3]×(-4) 和 (-2)×[3×(-4)]：
[(-2)×3]×(-4)=(-6)×(-4)=24；
(-2)×[3×(-4)]=(-2)×(-12)=24。
两者结果相等，验证结合律成立。
应用价值
灵活分组可减少计算步骤，尤其适合多个数相乘时使用。
第 4 页：核心知识 3—— 乘法对加法的分配律
定义
一个有理数同两个有理数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，再把积相加。
符号表示
对于任意有理数 a、b、c，有
a×(b+c)=a×b+a×c
。
拓展形式
a×(b+c d)=a×b+a×c a×d
（括号内为和差形式仍适用）。
验证示例
计算 (-3)×(2 + (-5)) 和 (-3)×2 + (-3)×(-5)：
(-3)×(2 + (-5))=(-3)×(-3)=9；
(-3)×2 + (-3)×(-5)= -6 + 15=9。
两者结果相等，验证分配律成立。
第 5 页：例题解析 1—— 交换律与结合律的综合应用
例题 1
计算 (-2)×(-3)×4×(-5)
解题步骤
同号结合分组：=[(-2)×(-3)]×[4×(-5)]
分别计算每组：=6×(-20)
得出结果：=-120
例题 2
计算
(
2
1

)×( 4)×( 3)×
3
1

解题步骤
凑整结合分组：=[(-\frac {1}{2})\times (-4)]×[(-3)\times\frac {1}{3}]
分步计算：=2×(-1)
得出结果：=-2
第 6 页：例题解析 2—— 分配律的灵活应用
例题 3
计算 (-10)×(3 +
5
1

-
2
1

)
解题步骤
运用分配律展开：=(-10)×3 + (-10)×
5
1

- (-10)×
2
1

分别计算乘法：=-30 + (-2) + 5
计算最终结果：=-27
例题 4
计算 (5 - 0.02)×(-5)
解题步骤
分配律简化：=5×(-5) - 0.02×(-5)
计算得：=-25 + 0.1
结果：=-24.9
第 7 页：易错点辨析 —— 常见错误纠正
易错点 1
分配律应用漏乘项
错误：2×(3 - (-4))=2×3 - (-4)=6 + 4=10
纠正：应将 2 分别与两项相乘，原式 = 2×3 - 2×(-4)=6 + 8=14
易错点 2
交换因数时漏带符号
错误：(-2)×3×(-4)=(-2)×4×(-3)（4 的符号错误）
纠正：交换时连同符号一起移动，原式 =(-2)×(-4)×3=8×3=24
易错点 3
结合分组时符号出错
错误：(-3)×(-4)×(-5)=[(-3)×(-4)] + (-5)=12 - 5=7
纠正：结合后仍是乘法运算，原式 = 12×(-5)=-60
第 8 页：课堂练习 —— 分层巩固
基础题（必做）
(-4)×(-5)×(-2) = __________
3×(-2 + 5) = __________
(
3
1

)×( 6)×(
2
1

)
= __________
提高题（选做）
计算：(-20)×(
4
1

-
5
1

+
2
1

)
运用运算律计算：(-12.5)×3.1×0.8
第 9 页：知识小结 —— 核心要点回顾
三大运算律对有理数乘法完全适用，符号表达式要牢记。
交换律和结合律常搭配使用，适合多个数相乘，核心是凑整、同号结合。
分配律适合含加减混合的乘法运算，能将复杂和式转化为简单乘法。
关键注意事项：运算时带着符号移动因数，分配律要做到不重不漏，确保每一步符号正确。
小学里我们学习了哪些乘法的运算律？
乘法的交换律：
乘法的结合律：
乘法的分配律：
a×b＝b×a
（a×b）×c＝a×（b×c）
（a＋b）×c＝ac＋bc
在小学里我们知道，数的乘法满足交换律和结合律，例如：
3×5 = 5×3
（3 ×5） × 2 = 3 × （5×2）
引进了负数以后，这些运算律是否还成立呢？也就是说，上面两个等式中，将 3、5、2 换成任意的有理数，是否仍然成立？
知识点 1
乘法交换律和乘法结合律
（1）任意选择两个有理数（至少有一个是负数），分别填入下列□和○内，并比较两个运算结果：
×
×
和
7 ×(﹣5 ) = (﹣5 )× 7 =
(﹣8 )× (﹣4 ) = (﹣4 )×(﹣8 ) =
﹣35
32
32
﹣35
乘法交换律：两个数相乘，交换乘数的位置，积不变．
ab = ba
有理数的乘法仍满足交换律．
你发现了什么？
（2）任意选择三个有理数（至少有一个是负数），分别填入下列□ 、○和◇内，并比较两个运算结果：
（ ）
（ ）
×
×
和
×
×
乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积不变．
[(﹣2)× 4 ]× (﹣3) = (﹣2)×[ 4 × (﹣3) ] =
[(﹣4)× (﹣6)] × (﹣2) = (﹣4)×[ (﹣6) × (﹣2)] =
﹣48
﹣48
24
24
( ab ) c = a ( bc )
有理数的乘法仍满足结合律．
你发现了什么？
根据乘法交换律和乘法结合律，三个或三个以上的有理数相乘，可以任意交换乘数的位置，也可以先把其中的几个数相乘．
思考：计算 (﹣2 )×5×(﹣3 ) 有哪些不同的算法？哪种算法比较简便？
(﹣2 )×5×(﹣3 )
= (﹣10 )×(﹣3 )
= 30
(﹣2 )×5×(﹣3 )
= (﹣2 )×(﹣3 )×5
= 6×5
= 30
(﹣2 )×5×(﹣3 )
= (﹣2 )×[5×(﹣3 )]
= (﹣2 )×(﹣15 )
= 30
计算：
例2
解
凑整
2
﹣2
2
积的正负号与乘数的正负号有什么关系？
积的绝对值与乘数的绝对值有什么关系？
你能根据 直接写出下列各式的结果吗？
知识点 2
积的正负号与乘数的关系
﹣
﹣
﹣
﹣
﹣
﹣
﹣
﹣
﹣
﹣
﹣
﹣
﹢
﹢
一般地，我们有：
几个不等于 0 的数相乘，积的正负号由负乘数的个数决定，
当负乘数的个数为奇数时，积为负；
当负乘数的个数为偶数时，积为正．
1．先确定积的正负号；
2．然后把绝对值相乘．
计算几个不等于 0 的数相乘的步骤：
0
几个数相乘，有一个乘数为 0，积就为 0．
试一试
直接写出下列各式的结果：
﹣
30
计算：
例3
解
想一想：三个数相乘，如果积为负，其中可能有几个乘数为负数？四个数相乘，如果积为正，其中可能有几个乘数为负数？
1, 3
0, 2, 4
奇
偶
引进了负数以后，分配律是否还成立呢？
知识点 3
分配律
小学里我们还学过乘法对加法的分配律，例如
任意选择三个有理数（至少有一个是负数），分别填入下列□ 、○和◇内，并比较两个运算结果：
5×[(-3)+(-2)]=
5×(-3)+5×(-2)=
(-7)×(10+3)=
(-7)×10+(-7)×3=
4×[25+(-2)]=
4×25+4×(-2)=
1.
2.
3.
-25
-25
-91
-91
92
92
你能发现什么？
×（
＋
）和
×
＋
×
分配律：一个数与两个数的和相乘，等于把这个数分别与这两个数相乘，再把积相加．
a（b+c）＝ab+ac
有理数的运算仍满足分配律．
计算：
例4
解
变形以运用分配律简化计算
计算：
例5
解
（1）
你还有其他的解法吗？
（2）
反向运用分配律
变形
（2）
变形
反向运用分配律
（1）(﹣4 )×(﹣7 )×(﹣25 )
（2）
（3）
巩固练习
【教材P45 练习 第1题】
1．计算：
＝﹣( 4×25 )×7
＝﹣700
（1）
（2）
（3）(﹣3 )×(﹣7 )﹣3×(﹣6 )
（4）1﹣(﹣1 )×(﹣1 )﹣(﹣1 )×0×(﹣1 )
【教材P45 练习 第2题】
2．计算：
【教材P47 练习 第1题】
3．计算：
（1）
（2）
（3）(﹣1002 )×17
【教材P48 练习 第2题】
4．计算：
知识点1 乘法交换律与乘法结合律
1.把下列等式所用的运算律填在题后的括号内：
（1） ;（____________）
（2） ;（____________）
（3） .（____________）
乘法交换律
乘法交换律
乘法结合律
返回
2.计算： ________.
[解析] 点拨： .
返回
3.（8分）［教材P45练习T1变式］计算：
（1） ；
解：原式 .
（2） .
解：原式 .
返回
知识点2 多个有理数相乘
4.计算下列式子，结果为正数的是( )
D
A. B.
C. D.
返回
5.已知三个有理数的积为负数，和为正数，则这三个数( )
D
A.都是正数 B.都是负数 C.一正两负 D.一负两正
返回
6.［2025开封月考］已知，，，， ，
则 ___.
0
返回
运算律
有理数乘法的运算律
交换律：
结合律：
分配律：
利用有理数乘法的运算律简便计算
几个有理数相乘，有一个乘数为0，积就为0
几个不等于 0 的数相乘
负乘数的个数为奇数时，积为负
负乘数的个数为偶数时，积为正
ab＝ba
a（b+c）＝ab+ac
（ab）c＝a（bc）
积的正负号与乘数的关系
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