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(共17张PPT)
16.3 乘法公式
16.3.1 平方差公式
第十六章 整式的乘法
人教版2024·八年级上册
导入新课
王先生去商店买了单价为9.7元/kg的糖果10.3kg,售货员刚拿起计算器,王先生就说出应付99.91元,结果与售货员计算出的结果相同．
售货员惊讶地问:“你怎么算得这么快 ”
王先生说:“我利用了一个公式．”
9.7×10.3=99.91
学了本节之后,你就能解决这个问题了
你知道王先生用的是什么数学公式吗
新知探究
探究点1
认识平方差公式
③（2x＋ 1)(2x－1）
计算下列多项式的积，你能发现什么规律？
做一做
①（x ＋ 1)( x－1）
②（m ＋ 2)( m－2）
（1）多项式与多项式是如何相乘的？
(a + b)(m + n)
=am
+an
+bm
+bn
多项式与多项式相乘, 先用一个多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项, 再把所得的积相加.
1
2
3
4
1
2
3
4
二项式与二项式相乘结果一定是四项是吗？
新知探究
探究点1
认识平方差公式
做一做
（2）完成下列填空
①（x ＋ 1)( x－1）= =
③（2x＋ 1)(2x－1）= =
② （m ＋ 2)(m －2）= =
相加和为0
新知探究
探究点1
认识平方差公式
做一做
（3）你能发现什么规律？
二项式与二项式相乘结果不一定是四项式
③（2x＋ 1)(2x－1）
①（x ＋ 1)( x－1）
②（m ＋ 2)( m－2）
算式有什么结构特征？
结果有什么结构特征？
两项的和乘以两项的差
结果是两项平方差
新知探究
探究点1
认识平方差公式
议一议
(a ＋ b)(a － b)
= a2－ab＋ab－b2
= a2－b2
合并同类项
平方差公式
某些特殊形式的多项式相乘，可以写成公式的形式，当遇到形式相同的多项式相乘时，就可以直接运用公式写出结果。
新知探究
探究点1
认识平方差公式
归一归
平方差公式
(a+b)(a b)=
a2 b2
字母表示
两数和与这两数差的积,等于这两数的平方差.
文字表示
多项式乘法的特殊情形
(a + b) ( a - b) = a2 - b2
特征
两数的和
两数的差
这两数的平方差
注：这里的a、b可以是两个单项式也可以是两个多项式等．
新知探究
探究点1
认识平方差公式
议一议
平方差公式中两项符号有什么特征？
(a + b) (a － b) = a2－b2
符号相同项
符号相反项
等号左边两个二项式相乘，一项相同，一项互为相反数
等号右边是乘式中两项的平方差.
(相同项)2-(相反项)2
一同一反
典例分析
探究点1
认识平方差公式
例1　运用平方差公式计算：　
(1) (3x + 2)(3x – 2)
(2) (–x + 2y)(–x – 2y)
分析
(1) a = ___，b = ____
(3x + 2) ( 3x – 2 )
(a + b) ( a - b) = a2 - b2
3x
2
先把要计算的式子与公式对照，确定哪个是公式中的 a， 哪个是 b
解：
(3x + 2)(3x – 2)
=（3x）2 － 22
=9x －4
=（3x）2 - 22
典例分析
探究点1
认识平方差公式
例1　运用平方差公式计算：　
(1) (3x + 2)(3x – 2)
(2) (–x + 2y)(–x – 2y)
分析
(2) a = ___，b = ____
(a + b) ( a - b) = a2 - b2
(–x + 2y) (–x – 2y)
–x
2y
先把要计算的式子与公式对照，确定哪个是公式中的 a， 哪个是 b
解：（2）
(–x + 2y)(–x – 2y)
=（-x）2 － （ 2y ）2
=x －4y 2
=（－x）2 －（2y）2
新知探究
探究点2
几何验证平方差公式
边长为a的正方形纸板缺了一个边长为b的正方形角，经裁剪后拼成了一个长方形.
议一议
（1）你能分别表示出裁剪前后的的纸板的面积吗？
a
b
b
a
(a – b)
(a – b)
裁剪后面积：________________
裁剪前面积：_________________
裁剪前后纸板的面积相等
a-b
b
a
b
b
根据图形前后变化的面积关系直观地说明平方差公式吗
新知探究
探究点2
几何验证平方差公式
议一议
前后变化的面积相等
典例分析
(1) (x – 1)(x + 1)(x2 + 1)；
(2) (y + 2)(y – 2) – (y – 1)(y + 5) ；
例3　计算：　
(3) 102×98.
解：(1) (x – 1)(x + 1)(x2 + 1)
= (x2 – 1)(x2 + 1)
= x4 – 1
符合平方差公式
符合平方差公式
不符合平方差公式
(2) (y + 2)(y – 2) – (y – 1)(y + 5)
= y2 – 22 – (y2 + 4y – 5)
= y2 – 4 – y2 – 4y + 5
= – 4y + 1
100+2
100-2
(3) 102×98
= (100 + 2)(100 – 2)
= 1002 － 22
= 10000－4
= 9996
通过合理变形，利用平方差公式，可以简化运算.
巩固练习
1. 计算：
（1）(a + 3b)(a – 3b)；
（3）(xy + 1)(x2y2 + 1)(xy – 1)；
（2）(3 + 2a)(–3 + 2a)；
（4）(3x + 4)(3x – 4) –
(2x + 3)(3x – 2)；
解：(1) 原式＝
a2 – (3b)2
= a2 – 9b2
(2) 原式＝
(2a + 3)( 2a – 3 )
= (2a)2 – 32
= 4a2 – 9
(3) 原式＝
(xy + 1)(xy – 1)(x2y2 + 1)
= [(xy)2 – 12](x2y2 + 1)
= (x2y2 – 1)(x2y2 + 1)
= (x2y2) 2 – 12
= x4y4 – 1
巩固练习
1. 计算：
（1）(a + 3b)(a – 3b)；
（3）(xy + 1)(x2y2 + 1)(xy – 1)；
（2）(3 + 2a)(–3 + 2a)；
（4）(3x + 4)(3x – 4) –
(2x + 3)(3x – 2)；
(4) 原式＝
(3x)2 – 42 – (6x2 – 4x + 9x – 6)
= 9x2 – 16 – 6x2 – 5x + 6
= 3x2– 5x – 10
应用公式注意：
准确确定公式中的a和b
符号相同的项是a,符号相反的项是b
结果=(相同项)2－(相反项)2
课堂小结
(a ＋ b)(a－b)=
a2－b2
两数和与这两数差的积，等于它们的平方差
注意
（1）左边为两个数的和与差的积,右边为两个数的平方差
（2）有些式子通过适当变形可以用公式
（3）公式中的a和b可以是数,也可以是整式
（4）最后结果必须化简
平方差公式
课后作业
第一组：
P117 习题16.3 第1题
第二组：
P114 练习题 第2、3题
第三组：
P114 练习题 第2题

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