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16.3.1平方差公式
新人教版八年级上册
第十六章 整式的乘法
(a+b)(m+n)=am+an+bm+bn
多项式与多项式相乘的法则是什么？
温故知新
多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加
①（x ＋ 4)( x－4）
②（1 ＋ 2a)( 1－2a）
③（3m＋ 6n)( 3m－6n）
算一算，比一比，看谁算得又快又准
=x2－16
=1－4a2
=9m2－36n2
它们的结果有什么特点？
x2 － 42
12－(2a)2
(3m)2－(6n)2
a2-b2
(a+b)(a-b) =
猜想：
计算下列各式，你能发现什么规律：
(m + 2 )( m – 2) = = ，
(a + 1 )( a - 1) = = ，
(2x + 3 )( 2x - 3) = = ，
a2- 12
m2- 22
(2x)2- 32
探究新知
a2- 1
m2- 4
4x2- 9
猜想：
验证1：
具体----抽象的思想方法
探究新知
a
a
验证2：
a-b
a-b
b
b
a
b
a-b
拼成的长方形的面积可表示为＿＿＿＿＿.
这张纸片的面积可表示为___________.
(a+b)(a-b)
(a+b) (a-b)=a2-b2
a2-b2
体会数形结合的思想
探究新知
图一
图二
图三
平方差公式：
=
两个数的和与这两个数的差的积,等于这两数的平方差.
和
差
平方差
相同项
相反项
1、等号左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式有一项完全相同，另一项互为相反项。
2、等号右边是这两项的平方差（相同项的平方减去相反项的平方）
归纳新知
(1) (a+b)(a b) ；
(2) (a b)(b a) ;
(3) (a+2b)(2b+a);
(4) -(a b)(a+b) ;
(5) (2x+y)(y 2x).
(能)
下列式子可用平方差公式计算吗 为什么 如果能够，怎样计算
(不能)
(不能)
(能)
(能)
只有符合公式特征才能使用公式
(a+b)(a-b) a b a2-b2 结果
(3x+2)(3x-2) 3x 2 (3x)2-22 9x2-4
(-x+2y)(-x-2y) -x 2y (-x)2-(2y)2 x2-4y2
思考：能运用平方差公式计算的式子有什么特点？
特征
相同项
相反项
例1 计算：(1) (3x＋2 )( 3x－2 )
解：原式＝ (－x)2 － (2y)2
＝x2 －4y2
解：原式＝(3x)2－22
＝9x2－4
典例精析
(2)（－x+2y)(－x－2y)
方法总结：应用平方差公式计算时，应注意以下几个问题：(1)左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数；(2)右边是相同项的平方减去相反项的平方；(3)公式中的a和b可以是具体数，也可以是单项式或多项式．
口答下列各题：
(l)(-a+b)(a+b)=_________
(2)(a-b)(b+a)= __________
(3)(-a-b)(-a+b)= ________
(4)(a-b)(-a-b)= _________
a2-b2
a2-b2
b2-a2
b2-a2
练习
1. 下面的计算是否正确 如果不正确，应当怎样改正
(1) (x+2)(x-2)=x2-2;
(2)(-a-2)(a-2)=a -4;
(3)(x+2y)(-x-2y)=x2-4y2;
(4) (3a+4b)(3a-4b)=
例2 计算:
(1) (y+2) (y-2) – (y-1) (y+5); (2) 102×98 .
解:原式= y2-22
=y2-4-(y2+4y-5)
= - 4y + 1
-(y2+5y-y-5)
= 9 996.
原式=(100+2)(100-2)
=10 000 – 4
= 1002-22
例题学习
=y2-4-y2-4y+5
2.计算：(1) (a+3b)(a-3b); (2)(3+2a)(-3+2a);
(3) (xy+1)(x -y )(xy-1); (4) (3x+4)(3x-4)-(2x+3)(3x-2);
例3 先化简，再求值：(2x－y)(y＋2x)－(2y＋x)(2y－x)，其中x＝1，y＝2.
原式＝5×12－5×22＝－15.
解：原式＝4x2－y2－(4y2－x2)
＝4x2－y2－4y2＋x2
＝5x2－5y2.
当x＝1，y＝2时，
例4 对于任意的正整数n，整式(3n＋1)(3n－1)－(3－n)(3＋n)的值一定是10的整数倍吗？
即(3n＋1)(3n－1)－(3－n)(3＋n)的值是10的倍数．
解：原式＝9n2－1－(9－n2)
＝10n2－10.
∵(10n2－10)÷10=n2-1.
n为正整数，
∴n2-1为整数
1.计算 20042 － 2003×2005;
拓展提升
解：
20042 － 2003×2005
= 20042 － (2004－1)(2004+1)
= 20042
－ （20042－12 )
= 20042
－ 20042+12
=1
2.化简
a
b
+
( a + b )
( a - b )
=
a2 - b2
a
-
b
与
的积等于
两数和
这两数的平方差
这两数差
规律：1）左边是两个二项式相乘；
2）在两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数；
3）右边为相同项的平方减互为相反数的项的平方.
平方差公式的特点：
平方差公式
总结
运用公式的技巧：
先确定相同项和相反项
(a+b)(a-b) a b a2-b2 结果
(2x+2)(2x-2)
(-a+4b)(-a-4b)
(m+0.3n)(0.3n-m)
(x-1)(-x+1)
作业布置：

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