资源简介

(共24张PPT)
最短路径问题(1)
综合与实践
人教版八年级数学上册
学习目标
1.能利用轴对称解决简单的最短路径问题；
2.能将实际问题中的元素抽象为数学中的“点”与“线”；
3.利用轴对称或平移将线段和最小问题转化为“两点之间，线段最短”
问题.在探索最短路径的过程中，体会轴对称或平移的“桥梁”作用，
感悟“转化思想”.
学习重难点
学习重点：利用轴对称将最短路径问题转化为“两点之间，线段最短”问题.
学习难点：如何利用轴对称将最短路径问题转化线段和最小问题.
复习回顾
1. 如图1，连接A、B两点的所有连线中，哪条最短？为什么？
②最短，因为两点之间，线段最短
2. 如图2，点P是直线l外一点，点P与该直线l上各点连接的所有线段中，
哪条最短？为什么？
PC最短，因为垂线段最短
A
B
①
②
③
图1
P
l
A
B
C
D
图2
像“两点的所有连线中，线段最短”，“连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短”等问题称为最短路径问题
预备知识
3.如图，已知点A和直线l，求作点A关于l的对称点A′.
A
l
A ′
l
B
A
思考
问题1：如图，点A，B分别是直线l异侧的两个点，如何在l上找到一个点，使得这个点到点A、点B的距离的和最短？
C
C
点C是直线l的动点，当点C在直线l什么位置时，AC＋BC的值最小？
转化
C
∵两点之间，线段最短.
∴连接AB，交直线l于点C.
化折为直
点C为所求点.
还需要证明这个点是唯一的
l
B
A
证明
如图，点C是直线l的动点，证明：当点C是直线l与AB的交点时，AC＋BC的值最小.
C'
C
证明：
在直线l上另外任意取一点C'，连接AC'，BC'.
∵两点之间，线段最短.
∴AC'＋BC'＞AB＝AC＋BC.
分析：只需证明直线l上除点C外任意一点到点A，点B的距离的和都大于AC＋BC.
在亚历山大城有一位精通数学和物理的学者，名叫海伦.一天，一位罗马将军专程去拜访他，向他请教一个百思不得其解的问题.
溯源
将军饮马
问题2：[将军饮马问题]如图，将军从军营A出发先到河边饮马，再去同侧的B地
开会，应该怎样走才能使路程最短？
B地
军营A
A
B
C
问题3：点C是直线l的动点，当点C在直线l什么位置时，AC＋BC的值最小？
转化
l
探究
A
B
C
l
问题3：点C是直线l的动点，当点C在直线l什么位置时，AC＋BC的值最小？
B'
思考：如果能在另一侧找到一个点B'，使得对于直线上任意一点C，都 有BC＝B'C.
思考：这个点B'是否存在，若存在，与点B有什么关系？
转化
l
B
A
C
已解决
探究
A
B
C
l
问题3：点C是直线l的动点，当点C在直线l什么位置时，AC＋BC的值最小？
B'
如图，作点B关于l的对称点B'，
利用轴对称的性质，可得BC＝B'C.
故有AC＋BC＝AC＋B'C.
点C是直线l的动点，当点C在直线l什么位置时，AC＋B'C的值最小？
转化
同侧转化异侧
探究
A
B
l
问题3：点C是直线l的动点，当点C在直线l什么位置时，AC＋BC的值最小？
B'
如图，做点B关于l的对称点B'，
点C是直线l的动点，当点C在直线l什么位置时，AC＋B'C的值最小？
转化
C
连接AB'，AB'与直线l的交点C.
点C为所求点.
探究
证明：点C是直线l的动点，点B与点B'关于直线l对称，当点C是直线l与
AB'的交点时，AC＋BC的值最小？
A
B
l
B'
C
证明：
在直线l上另外任意取一点C'，连接AC'，BC'.
C'
只需证明AC'＋BC'＞AC＋BC.
连接B'C'.
∵两点之间，线段最短，
∴AC'＋B'C'＞AC＋B'C.
∵点B与点B'关于直线l对称，
∴BC'＝B'C'，BC＝B'C.
∴AC'＋BC'＞AC＋BC.
总结
问题3：点C是直线l的动点，当点C在直线l什么位置时，AC＋BC的值最小？
A
B
l
B'
C
①将实际问题抽象成数学问题，用数
学语言表达.
②利用轴对称转移线段，将问题转化
为已解决的问题，即两点之间，线
段最短.
③用符号语言证明结论.
课堂小结
1.将军饮马问题：如图，点C是直线l的动点，当点C在直线l什么位置时，
AC＋BC的值最小？
l
B
A
C
A
B
l
B'
C
依据：两点之间，线段最短.（化折为直）
方法：利用轴对称实现线段的转移.将困难
问题转化为容易解决的问题.
注意：区分哪些是定点，哪些是
动点，简化问题.
4. 如图，在直线l上分别找出点P，使PA＋PB最小.
A
B
l
①
②
A
B
l
P
A'
P
解：如图所示：
例题讲解
5.如图，牧童在A处放牛，他的家在B处，l为河流所在直线，晚上回家时要到河边让牛饮一次水，饮水的地点(用点P表示)选在何处，牧童所走的路程最短？
解：如图所示：
巩固练习
6. 如图：
(1)画出△ABC关于y轴对称的△A′B′C′；
(2)在y轴上找出点P，使得PA＋PC最小，并写出点P的坐标.
解：(1)如图，△A′B′C′
即为所求作；
(2) 如图，P点即为所
求点，P(0，3).
例题讲解
巩固练习
7. 如图：
(1)画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1；
(2)在x轴上找出点P，使得△ABP的周长最小，并写出点P的坐标.
解：(1)如图，△A1B1C1
即为所求作；
(2) 如图，P点即为
所求点，P(－3，0).
草地
河
l1
l2
草地
河
l1
l2
拓展探究
问题3：如图，将军从A地出发，先到草地边某一处牧马，再到河边饮马，然后回到A处.将军怎样走可使所走的路径最短？
A
A'
A "
B
C
D
A
l1
l2
A
D
AB＋BC＋AC
2AD
l2
l1
A
A'
A "
B
C
l1
l2
A
D
拓展探究
问题3：如图，将军从A地出发，先到草地边某一处牧马，再到河边饮马，然后回到A处.将军怎样走可使所走的路径最短？
草地
河
AB＋BC＋AC与2AD比较大小
∵AB＋BC＋AC＝A'B＋BC＋A"C
2AD＝A'D＋A"D
A'B＋BC＋A"C＜A'D＋A"D
∴AB＋BC＋AC＜2AD
8.如图，邮递员小王的家在两条公路OM和ON之间的A处，小王每天都要到在射线OM方向行驶的车上取下快件，然后再送到在射线ON方向行驶的车上．为使小王每天接送快件的行程最短，请帮助他找出在公路OM和ON上的等车地点.
解：如图所示，点B和点C即为等车地点.
巩固练习
课堂小结
l
B
A
C
A
B
l
B'
C
l1
A'
A "
B
C
A
l2
D
拓展探究
l
P
B
A
8.如图，点A，B和直线l的位置如图所示，点P是直线l上的动点.当在何处时，
使|PA－PB|最长.
l
B
A
P
l
B
A'
P
A
9. 如图，在4×4的正方形网格中，格点A，B和直线l的位置如图所示，
点P在直线l上.
(1)请分别在图1和图2中作出点P，使PA＋PB最短；
(2)请分别在图3和图4中作出点P，使PA－PB最长.
解：如图所示.
B
A
图1
图2
P
A
B
B'
P
图3
A
B
B'
P
图4
A
B
P
巩固练习

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