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《等比数列及其通项公式》教学设计
一、内容分析
本节课是高中数学选择性必修第一册《第1章 数列》中的第三节《1.3 等比数列》的第一课时，是在学完数列的概念和等差数列之后进行的，是学生学习的第二个基本数列模型，也是非常重要的数列模型。一方面等比数列与现实的生产生活紧密联系，有着广泛的应用，如复利的计算等；另一方面，在数列求和、利用递推公式求通项等问题中，等比数列定义及其通项公式也发挥着重要的作用。
本课时先结合实例引入等比数列的定义；接着从定义出发类比等差数列通项公式得到等比数列的通项公式，并在通项公式的基础上继续通过与等差数列类比得到等比数列的常见性质；最后是等比数列定义与通项公式的初步应用，具体的有等比数列基本量的计算与性质运用，根据定义证明等比数列，等比数列在实际中的应用。
不论是学习内容、研究路径，还是具体的解决问题的方法，本节课都是在与等差数列类比的基础上学习的。在具体的教学过程中，可在教师的引导下，让学生自主确定研究思路、研究方法，并积极付诸实践。在此过程中，学生经历了丰富的情境抽象过程，富有逻辑的学习活动，进一步培养了学生数学抽象、逻辑推理、数学运算和数学建模等核心素养。
二、教学目的
掌握等比数列的定义、通项公式，并能进行简单的应用；
通过思考教学过程，感受数列的研究方法，体会类比、转化等数学基本思想。
三、重点难点
重点：理解等比数列的概念和通项公式的意义；会用等比数列的定义、通项公式及性质解决一些简单的问题。
难点：等比数列概念的理解；通过与等差数列类比，得到等比数列的相对应知识，体会等比数列与等差数列的联系与区别。
四、核心素养
○直观想象 ●数学运算 ○数据分析 ●数学抽象 ●逻辑推理 ●数学建模
五、教学准备
课件
六、教学流程
创设情境 概念引入 新知探究 典例剖析 练习巩固 归纳小结
教学设计
教学 环节 教学内容 师生活动 设计意图 时间 分配
（一） 创设 情境 情境问题：研究下列数列有什么共同特点？ 计算机的内存容量通常是指随机存储器的容量，是内存条的关键性参数，进入21世纪以来，计算机中主流采用的内存容量（单位：MB）从小到大组成数列：2048, 4096, 8192，16384,32768 ① 若某张报纸的厚度记为，面积记为，将其重复对折6次，对折过程中厚度和报纸面积分别组成数列：，，，，，， ② ，，，，， ， ③ 图中的三角形图案称为谢宾斯基三角形，途中绿色三角形的个数依次组成数列：1,3,9,27， ④ 开始语：前面我们学习了等差数列，今天我们来学习另一种典型数列，大家先来看几个例子。 2、给出三个具体数列例子，让学生思考这三个数列的共同特点。其中（1）可直接给出，（2）和（3）可给出问题和图形，让学生自己从中抽象写出数列，在写的过程中体会数列前项与后项的关系，从而抽象出共同特点。 让学生通过观察具体的例子，体会、抽象出等比数列所具有的本质特征。 3分钟
（二） 概念 引入 问题1：类比等差数列定义，如何对具有上述特点的数列进行定义？ 问题2：能否用符号语言表示上述等比数列定义？ 问题3：根据上述定义，研究等比数列的公比与每一项有何限制条件？ 问题4：是否存在即是等差数列、又是等比数列的数列？ 让学生类比等差数列的定义，给出等比数列的定义。 2、在定义的基础上，教师以问题串的方式提问，引导学生对等比数列的定义有更深入的思考，理解公比与每一项的限制条件。体会等比数列与等差数列的不同之处。 让学生在观察的基础上自己归纳抽象出等比数列定义，并对定义符号语言化。 通过提问，让学生对等比数列定义的细节、与等差数列的差异有更深入的理解。 3分钟
（三） 新知 探索 问题5：类比等差数列的研究内容及思路，要对等比数列进行研究，需研究哪些内容？ 问题6：类比等差数列通项公式的形式及推导方法法，等比数列的通项公式是什么？如何推导？ 问题7：类比等差数列的常用性质，尝试写出等比数列的对应性质，并利用通项公式进行证明。 1、学生回顾等差数列的研究思路、通项公式及常见性质。 2、在类比等差数列的基础上，学生自主研究等比数列的通项公式与常见性质，并进行初步推导与证明。 3、教师在学生的基础上进行补充与完善，指出等比数列与等差数列研究思路的相同点和不同点。 让学生类比等差数列的研究内容、通项公式及常用性质，自主研究等比数列的对应内容。充分调动学生的自主思维能力，培养学生数学抽象、数学运算、逻辑推理等核心素养。 10分钟
（四） 典例 剖析 已知数列是公比为的等比数列. 若，，求的通项公式； 若，，，求； 证明；非零实数成等比数列的充要条件是. 问题8：类比等差中项的定义，尝试给出等比中项的定义。对于任意两个实数是否都有等比中项存在？若存在，如何计算？ 例3、某污水处理厂采用技术手段清除水中污染物的同时，还能生产出有用的肥料和清洁用水，在处理过程中，每小时可以从处理池中清除掉残留污染物的. 一天后污染物含量降低到什么程度？ 使污染物含量减半至少要多少小时（log0.880.5≈5.42，结果保留整数）？ 例1：给出题目，引导学生思考利用等比数列通项公式解题时，对于式子的运算处理与等差数列相比有何不同。同时对题目进行一题多解，让学生体会解此类问题的两种基本思路：基本量法和性质法。 例2：给出题目，引导学生用定义法证明等比数列。 让学生类比等差中项定义写出等比中项定义，思考对于任意两个实数，是否都有等比中项存在？若存在，如何计算？从中体会等比中项与等差中项的不同点。 若学生的基础较好，也可对命题进行推广：对于各项均不为的数列，若 则数列是等比数列。 例3：给出题目，引导学生发现问题中呈等比关系的量，并构造等比数列刻画这个量。具体分析时，可引导学生采用从特殊到一般的方法，采用不完全归纳法抽象出等比数列。 例1是通过对等比数列的通项公式的简单应用，帮助学生理解公式所涉及的几个基本量：，，和之间的关系，知道其中三个可求剩下的一个。对基本量法和性质法有初步的体会和掌握。 例2从知识的角度，给出等比中项的定义。原题目的解答体现了用定义证明等比数列的方法。同时例2的命题可推广为另一种证明等比数列的方法：等比中项法。 例3让学生从实际问题中抽象等比数列，并应用等比数列知识解决实际问题。培养学生数学抽象、逻辑推理等核心素养。 15分钟
（五） 练习 巩固 练习1、设是等比数列，且，，求的通项公式。 练习2、数列共有5项，前三项成等比数列，后三项成等差数列，第三项等于，第2项与第4项的和等于136，第1项与第5项的和等于132，求这个数列。 给出练习1、练习2、请学生在学案上写出答案。然后利用授课助手，依次展示两个学生练习，请其余学生判断正误，补充完善，进行一题多解。 例1是对学生利用等比数列通项公式及性质解题的强化。 练习2在练习1的基础上引导学生如何巧妙的表示等比数列的项。 7分钟
（六） 归纳 小结 本节课学习了什么内容？ 对于新内容的研究采用了什么方法？ 使用思维导图总结。 系统梳理整节课所学内容。 2分钟
八、板书设计
大致板书如下：
等比数列及其通项公式 （定义） （通项公式及累乘法推导） （性质） （等比中项定义） （例1过程） （例2过程） （例3过程） （练习1,2关键步骤）(共18张PPT)
等比数列
第1课时
情景与问题
等比数列及通项公式
①
1.计算机的内存容量通常是指随机储存器的容量,是内存条的关键性参数进入21世纪以来,计算机中主流采用的内存容量(单位:MB)从小到大组成数列:
等比数列及通项公式
②
2.《庄子·天下》中提到:“一尺之锤,日取其半,万世不竭.”如果把“一尺之锤”的长度看成单位“1”,那么从第1天开始,每天得到的“锤”的长度依次是
等比数列及通项公式
3.在营养和生存空间没有限制的情况下,某种细菌每20min就通过分裂繁殖一代那么一个这种细菌从第1次分裂开始,各次分裂产生的后代个数依次是:
③
知识讲解
等比数列及通项公式
类比等差数列的研究,你认为可以通过怎样的运
算发现以上数列的取值规律 你发现了什么规律
①
②
③
等比数列及通项公式
数列②
数列③
数列①
上述3组数列中,从第二项起,每一项与前一项的比都等于同一个常数
等比数列及通项公式
设一个等比数列的公比为.根据等比数列的定义
符号语言
可得
所以
一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的比都等于同一个常数,那么这个数列叫作等比数列,这个常数叫作等比数列的公比,公比通常用字母表示(显然)
等比数列及通项公式
化简得到
又
因此,首项为,公比为的等比数列的通项公式
为
等比数列及通项公式
①
②
据此,我们可以得到课前3组数列的通项公式分别为:
③
等比数列及通项公式
等比数列的定义
等比数列的通项公式
观察
分析
抽象
推理
问题解决
等比数列及通项公式
已知数列是公比为的等比数列
(1)若,,求的通项公式
(2)若,,,求
例1
等比数列及通项公式
解:(1)由等比数列的通项公式可知
①
②
②①得
,即
因此
这个数列的通项公式
等比数列及通项公式
解:(2)由等比数列的通项公式,得:
又因为
因此
,即
等比数列及通项公式
证明:非零实数a,b,c成等比数列的充要条件是
如果非零实数a,b,c满足
证明:如果非零实数a,b,c成等比数列,由等比数列的定义得
那么,
由等比数列的定义知,a,b,c成等比数列
因此,非零实数a,b,c成等比数列的充要条件是
那么
在两个数a,b之间插入数G,使a,G,b成等比数列,则G称为a与b的等比中项
例2
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