资源简介

(共42张PPT)
函数y=Asin(ωx＋φ)的图象与性质
一 函数y=Asin(ωx＋φ)的图象与性质
一
函数y=Asin(ωx＋φ)的图象与性质
　　在现实世界中，周期现象比比皆是.例如，在物理和工程技术中，为了表示交流电的电流y与时间t的关系，简谐振动中位移y与时间t的关系等，人们往往用形如y＝Asin(ωx＋φ) (其中A，ω，φ是常数)的函数来表示.
　　例如，简谐振动中(如图5.4-1)，弹簧下面悬挂着的小球在位置O处于平衡状态.将小球竖直向下拉到某个位置，然后放开，小球就在平衡位置的附近往复运动．为了描述小球的坐标位置y(又称位移)随着时间t的变化图象，我们在小球上安装一支绘图笔，让一条纸带在与小球振动方向垂直的方向上匀速运动，笔在纸带上画出的就是小球的振动图象，如图5.4-2.
一
函数y=Asin(ωx＋φ)的图象与性质
图5.4-1
图5.4-2
一
函数y=Asin(ωx＋φ)的图象与性质
　　我们还可以借助传感器和计算机描绘小球振动的图象，如图5.4-3所示.
图5.4-3
一
函数y=Asin(ωx＋φ)的图象与性质
　　上图与我们熟悉的正弦曲线很相似，那么函数y＝sinx与函数y＝Asin(ωx＋φ)之间有哪些关系呢？显然，前者就是后者在A=1，ω=1，φ=0时的特殊情况. 下面，我们来探索函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象，并分析参数A，ω，φ对y＝Asin(ωx＋φ)的图象的影响.
一
函数y=Asin(ωx＋φ)的图象与性质
　　　　在同一直角坐标系中画出y＝sin x，y＝2sin x，y＝　sinx在［－π，π］上的图象，观察它们之间的关系，并说出这三个函数的周期、最大值、最小值、值域之间的关系．
　解　函数y＝sinx，y＝2sinx，y＝　sinx的周期都是2π，在［－π，π］上分别求出这三个函数的图象上的五个关键点，并作出它们在一个周期内的简图，如图5.4-4.
例
1
　　如何找到画这三个函数图象的关键五点？试列表，并比较这五点坐标的异同.
一
函数y=Asin(ωx＋φ)的图象与性质
　　　　
图5.4-4
　　这三个函数的奇偶性、单调区间是一样的吗？
一
函数y=Asin(ωx＋φ)的图象与性质
　　观察图5.4-4，可以看出：
　　y＝2sinx的图象可以由y＝sinx的图象上每一点(x，sinx)的横坐标不变、纵坐标乘以2(到x轴的距离放大到原来的2倍)得到．因而y＝2sinx的周期仍是2π，最大值和最小值分别变为2和－2，值域变成了［－2，2］，也就是说“振动幅度”扩大到y＝sin x的2倍．
　　类似地，y＝　sinx的图象可以由y＝sinx的图象上每一点(x，sinx)的横坐标不变、纵坐标乘以　到x轴的距离缩短到原来的　)得到．因而y＝　sinx的周期仍是2π，最大值和最小值分别变为　和－　，值域变为　　　 ，“振动幅度”缩小为y＝sinx的 .
一
函数y=Asin(ωx＋φ)的图象与性质
　　一般地，对任意A＞0且A≠1，函数y＝Asinx的图象可以由y＝sinx的图象上每一点的横坐标不变、纵坐标乘以A得到．y＝Asinx的周期仍是2π，值域为［－A，A］，最大值和最小值分别为A和－A.
　　这个结论可以推广到余弦函数的情况吗？为什么？
一
函数y=Asin(ωx＋φ)的图象与性质
　　　　在同一直角坐标系中画出y＝sinx，y＝sin2x，y＝sin　x在［－2π，2π］上的图象，观察它们之间的关系，并说出这三个函数的周期、最大值、最小值、值域之间的关系．
　解　通过“五点法”作出函数y＝sinx，y＝sin2x，y＝sin　x在区间［－2π，2π］上的简图，如图5.4-5.
例
2
图5.4-5
一
函数y=Asin(ωx＋φ)的图象与性质
　　观察图5.4-5，可以看出：
　　y＝sin2x的图象可以由y＝sinx的图象上每一点(x，sinx)的纵坐标不变、横坐标除以2(到y轴的距离缩短到原来的　)得到．因而y＝sin2x的值域、最大值、最小值都与y＝sinx相同，周期缩短为
　　y＝sin　x的图象可以由y＝sinx的图象上每一点(x，sinx)的纵坐标不变、横坐标除以　(到y轴的距离放大到原来的2倍)得到．因而y＝sin　x的值域、最大值、最小值都与y＝sinx相同，周期扩大为2π·2＝4π.
一
函数y=Asin(ωx＋φ)的图象与性质
　　一般地，对任意ω>0且ω≠1，函数y＝sinωx的图象可由y＝sinx的图象上每一点的纵坐标不变、横坐标伸长(0＜ω＜1)或缩短(ω＞1)为原来的　而得到.y＝sin ωx的值域为［－1，1］，周期为
　　这个结论可以推广到余弦函数的情况吗？为什么？
一
函数y=Asin(ωx＋φ)的图象与性质
　　　　作出函数　　　　 在长度为一个周期的闭区间上的简图，并说明
的图象是由函数y＝sinx的图象经过怎样的变化而得到的.
　解　函数　　　　　的周期为 　　　　，在　　　 上求出函数　　　　　图
象上的五个关键点，列表如下：
例
3
一
函数y=Asin(ωx＋φ)的图象与性质
　　描点，连线，作出函数　　　　　　　　　　 的大致图象，如图5.4-6所示.
图5.4-6
一
函数y=Asin(ωx＋φ)的图象与性质
　　从图5.4-6可以看出，函数 的图象可以用下面的方法得到：先把函数y＝sinx的图象上每一点的纵坐标不变、横坐标缩短到原来的 ，再把所得图象上各点的横坐标不变、纵坐标伸长到原来的3倍，即得到函数 的图象.
一
函数y=Asin(ωx＋φ)的图象与性质
　　1.用“五点法”作下列函数在长度一个周期的闭区间上的简图：
　　(1) ； (2) ；
　　(3) .
　　2.试说明第1题中每个函数的图象可以由y＝sinx的图象经过怎样的变化而得到.
练 习
一
函数y=Asin(ωx＋φ)的图象与性质
　　　　在同一直角坐标系中画出 y＝sinx， y＝　　　　 ，
一个周期内的图象，分析它们之间的变化关系．
　解　通过“五点法”画出函数y＝sinx ，　　　　　　，　　　　　　在一个周期内的简图，如图5.4-7.
例
4
图5.4-7
一
函数y=Asin(ωx＋φ)的图象与性质
　　观察图5.4-7，可以发现：
　　　　　　　　的图象可以由y＝sinx的图象上每一点(x，sinx)的纵坐标不变、横坐标减去　得到，也就是将y＝sinx的图象向左平移　个单位长度得到．
　　　　　　　　的图象可以由y＝sinx的图象上每一点(x，sinx)的纵坐标不变、横坐标加上　得到，也就是将y＝sinx的图象向右平移　个单位长度得到．
一
函数y=Asin(ωx＋φ)的图象与性质
　　一般地，y＝sin(x＋φ)(x∈R，常数φ≠0)的图象可以由y＝sinx的图象向左(当φ＞0)或向右(当φ＜0)平移|φ|个单位长度得到．
　　这个结论可以推广到余弦函数的情况吗？为什么？
一
函数y=Asin(ωx＋φ)的图象与性质
　　　　画出函数　　　　　　　　　　图象，并求出这个函数的周期和值域．
　解　（方法一）函数　　　　　　　的周期　　　　　，我们先用“五点法”作出它在一个周期内的图象.
例
5
一
函数y=Asin(ωx＋φ)的图象与性质
　　令　　　　 ，得 　 ，把　　　作为第一点的横坐标，依次递加一个周期的 ，即 ，就可以得到其余四个点的横坐标.列表如下：
一
函数y=Asin(ωx＋φ)的图象与性质
　　作出函数在　　　　 上的简图，并左右连续地平移，就可以得到这个函数的图象，如图5.4-8.
　　函数　　　　　　　　的值域为［－2，2］ .
图5.4-8
一
函数y=Asin(ωx＋φ)的图象与性质
　　（方法二）先作出函数y＝sinx的图象，将正弦曲线向左平移　个单位长度，得到函数　　　　　　 的图象，值域仍为［－1，1］，周期仍为2π.
　　再将　　　　　　的图象上每一点的纵坐标不变、横坐标缩短为原来的　，得到函数　　　　　　　 的图象，这个函数的值域仍为［－1，1］，周期变成
一
函数y=Asin(ωx＋φ)的图象与性质
　　将函数　　　　　　　的图象上每一点的横坐标不变、纵坐标扩大为原来的2倍，就得到函数　　　　　　　 的图象，如图5.4-9．
函数 　　　　 　的周期为π，值域为［－2，2］ .
图5.4-9
一
函数y=Asin(ωx＋φ)的图象与性质
　　一般地，设A＞0，ω＞0，φ是常数，函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象可经过以下步骤得到：
　　将正弦曲线y＝sinx向左(当φ＞0)或向右(当φ＜0)平移|φ|个单位长度；
　　再将所得曲线上每一点的横坐标伸长(0＜ω＜1)或缩短(ω＞1)为原来的　　　 　
(纵坐标不变)；
　　进一步将所得曲线上每一点的纵坐标扩大(A＞1)或缩小(0＜A＜1)为原来的A倍(横坐标不变)．
　　函数y＝Asin(ωx＋φ)的值域为［－A，A］，周期为　　 .
一
函数y=Asin(ωx＋φ)的图象与性质
　　现在，我们回过头来重新审视本节开头提到的简谐振动的图象(图5.4-2、图5.4-3).数学上可以证明，这些图象所对应的函数解析式为y＝Asin(ωx＋φ)的
形式，而式子中的参数在物理中有明确的意义.例如简谐振动中，A表示这个振动物体偏离平衡位置的最大距离，称为振幅．
　　若x表示时间(x∈［0，+∞))，则这个简谐振动的周期是　　　，而f＝　＝　　
　 表示单位时间内往复振动的次数，称为频率①. ωx＋φ 称为相位．x＝0时的相位 φ 称为初相．
①在国际单位制中，周期的单位是秒(s)，频率f的单位是赫兹(Hz)，1Hz=1 s－1.．
一
函数y=Asin(ωx＋φ)的图象与性质
　　　　图5.4-10为某简谐振动的图象，试根据图象回答下列问题：
　　(1)求该简谐振动的振幅、周期、频率和初相；
　　(2)求t=15 s时，振子相对于平衡位置的位移；
　　(3)写出这个简谐振动的函数解析式.
例
6
图5.4-10
一
函数y=Asin(ωx＋φ)的图象与性质
　　解　(1)从图象上可以看出，这个简谐振动的振幅为2cm，周期为4s, 频率为 Hz ，初相为0.
　　(2)由于振动的周期为4s，因此当t=15s时，位移y为－2cm.
　　(3) 设这个简谐振动的函数解析式为
y＝Asin(ωt＋φ)，t∈［0，+∞).
　　由　　　，得　　　.
　　又A=2，φ=0，于是该简谐振动的函数解析式为
y=2sin　t ， t∈［0，+∞).
一
函数y=Asin(ωx＋φ)的图象与性质
　　1.作出下列函数图象的简图，并说明它们的图象可由正弦曲线做怎样的变化而得到：
　　(1) 　　　　　　； 　(2) 　　　　　 ；　 (3)　　　　　　　　 .
　　2.填空：
　　(1)为了得到函数　　　　　　的图象，只需把函数y＝sinx的图象上所有的点向
　　平移　　个单位长度；
　　(2)为了得到函数　　　　　　　的图象，只需把函数y＝sin2x的图象上所有的点向　　平移　　个单位长度；
　　(3)将函数y＝sinx的图象上所有的点向右平移 个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图象的函数解析式是　　　　　　　.
练 习
一
函数y=Asin(ωx＋φ)的图象与性质
　　3. 做简谐振动的小球上下运动，它在时刻 t(s)时相对于平衡位置O的位移y(cm)由下列函数关系式确定：
　　(1)以t为横坐标，y为纵坐标，作出这个函数的简图；
　　(2)求该简谐振动的振幅、周期、频率和初相.
练 习
一
函数y=Asin(ωx＋φ)的图象与性质
探索函数y＝Asin(ωx＋φ)的周期
　　对于函数y＝Asin(ωx＋φ)(其中A，ω，φ为常数，且A≠0，ω>0) ，我们设其最小正周期为T，由周期函数的定义有
Asin(ωx+φ)=Asin［ω(x+T)+φ］=Asin［(ωx+φ)+ωT］
对所有x都成立.
　　记θ=ωx+φ，则Asin θ=Asin(θ+ωT)对所有的θ成立.
　　又函数f(θ)=sin θ的最小正周期为2π，
　　故使得Asin(θ+ωT)=Asin θ的最小正数ωT=2π， 因此　　　　.
　　对于余弦函数y=Acos(ωx+φ)，同样的道理可以推出其周期　　　 .
多知道一点
返回目录
二 习题5.4
二
习题5.4
学而时习之
　　1.作出下列函数图象的简图：
　　(1) y＝3sin ；　　　　　 (2) y=2sin ；
　　(3) 　　　 ；　(4)
　　2. 选择题：
　　(1)为了得到函数　　　　　　　的图象，只需把函数　　　　　　　的图象上所有的点（　　　）
　　(A)向左平移 个单位长度　 　(B)向右平移　个单位长度
　　(C)向左平移　 个单位长度　　(D)向右平移 个单位长度
二
习题5.4
　　(2)要得到函数y＝cos(2x＋1)的图象，只需把函数y＝cos2x的图象上所有的点( )
　　(A)向左平移1个单位长度 　　 　(B)向右平移1个单位长度
　　(C)向左平移　个单位长度　　　　(D)向右平移　个单位长度
　　3.不画图，直接写出下列简谐振动的振幅、周期与初相，并说明它们的图象可由正弦曲线经过怎样的变化而得到：
　　(1) ；　　　 (2) ； 　
　　(3) ；　　 (4)
二
习题5.4
　　4. 已知函数
　　(1)用“五点法”作出函数在一个周期内的简图.
　　(2)该函数图象可由正弦曲线经过怎样的变化而得到？
　　(3)写出该函数的定义域、值域、周期，单调区间、对称中心坐标和对称轴方程.
　　5.在匀强磁场中，匀速转动的线圈所产生的电流I(A)是时间t(s)的正弦函数，关系式为 ，试求它的初始(t＝0)电流、最大电流和周期．
二
习题5.4
温故而知新
　　6.将函数f(x)＝sinωx(其中ω>0)的图象上所有的点向右平移　个单位长度，所得图象经过点　　　 ，则ω的最小值是多少？
　　7.将函数 的图象做怎样的变化可以得到函数y=cosx的图象？
　　8.如图，质点P在半径为2cm的圆周上逆时针运动，其初始位置为　　　　　，角速度为1 rad/s.
　　(1)求点P的纵坐标y关于时间t的函数解析式；
　　(2)求点P的运动周期和频率.
（第8题）
返回目录
三 数学实验
三
数学实验
用计算机作函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象
　　借助“超级画板”或其他有类似功能的软件，可在计算机上作出函数y＝Asin(ωx＋φ)的动态图象．拖动参数A，ω和φ，能观察到图象随参数变化的情形．
操作步骤如下：
　　1.输入函数解析式：在右键菜单里单击“函数或参数方程曲线”，在打开的对话框里选“y＝ f(x)”，在激活的输入栏里填写a*sin(b*x＋c)，曲线的点数设置为1000，参数范围为－15到15，单击“确定”．
　　2.作出可控制参数点：作坐标点(a，－1)，(b，－2)，(c，－3)，顺次标注为A，ω和φ.自这三点分别向y轴引垂线．
三
数学实验
　　3.作出cos x的曲线，作为比较，线型可选择虚线．
　　4.测量变量a，b，c，在测量值显示框里将等号左边的变量名分别改为A，ω和φ.
　　5.加上标题“正弦波的振幅、频率和相角”和“y＝Asin(ωx＋φ)”，再添加上其他必要的说明．
三
数学实验
　　6.用鼠标分别拖动点A，ω和φ，或选择其中一点用左右箭头键驱动，观察图象的变化(如图1)．
　　图1中虚线是y＝cos x的图象．
　　调整参数A，ω和φ ，使动态曲线和虚线尽可能重合. 这时，三个参数的值分别是多少？
图1
返回目录
谢谢观看

展开更多......

收起↑