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华东师大版（2024）版数学8年级上册
第10章 数的开方
10.1.2 立方根
1．掌握立方根的概念，学会对一个数进行开立方；
2．会用根号表示一个数的立方根；
3. 会使用计算器算立方根；
# 幻灯片分页内容：10.1.2 立方根
## 第1页：课题引入——逆向思维求“棱长”
- 情境展示：
- 问题1：一个正方体包装盒的棱长为4厘米，它的体积是多少？（4×4×4=64立方厘米，引导学生回忆正方体体积公式：体积=棱长×棱长×棱长）；
- 问题2：一个正方体包装盒的体积是27立方厘米，它的棱长是多少？（设棱长为x，则x×x×x=27，引导学生思考“哪个数的立方等于27”）。
- 提问引导：
- 已知一个数的立方，如何求这个数？
- 这样的数有几个？与平方根的情况有什么不同？
- 课题：今天我们学习——立方根（板书课题），解决“已知立方求原数”的问题，掌握立方根的定义、性质和表示方法。
## 第2页：核心概念——立方根的定义
- 立方根的定义：
- 如果一个数x的立方等于a，即x = a，那么这个数x就叫做a的立方根（也叫做三次方根）。
- 符号表示：
- 数a的立方根记作“ a”，读作“三次根号a”，其中“ ”是立方根符号（三次根号），a叫做被开方数，“3”是根指数（不能省略）。
- 举例说明：
- ∵ 3 = 27，∴ 3是27的立方根，记作 27 = 3；
- ∵ (-2) = -8，∴ -2是-8的立方根，记作 (-8) = -2；
- ∵ 0 = 0，∴ 0是0的立方根，记作 0 = 0。
- 关键强调：
- 立方根的被开方数a可以是任意实数（正数、0、负数都有立方根），这与平方根不同。
## 第3页：立方根的性质——正数、0、负数的立方根情况
- 分情况讨论：
1. 正数的立方根：
- 性质：正数有一个正的立方根；
- 示例：64的立方根是4（ 64 = 4），125的立方根是5（ 125 = 5）。
2. 0的立方根：
- 性质：0有一个立方根，就是0本身；
- 示例： 0 = 0。
3. 负数的立方根：
- 性质：负数有一个负的立方根；
- 示例：-27的立方根是-3（ (-27) = -3），-1/8的立方根是-1/2（ (-1/8) = -1/2）。
- 口诀记忆：“正数正根，负数负根，0根为0，一个就够”。
## 第4页：立方根的计算——求一个数的立方根
- 计算方法：
- 利用立方与开立方的互逆关系，找到立方后等于被开方数的数；
- 对于简单的完全立方数（如1、8、27、64、125等），直接写出其立方根；
- 对于小数或分数，先转化为整数或最简分数，再求立方根；
- 注意： (-a) = - a（负数的立方根等于它相反数的立方根的相反数）。
- 例题解析：
- 例1：求下列各数的立方根：
（1）125 解：∵ 5 = 125，∴ 125 = 5；
（2）-64 解：∵ (-4) = -64，∴ (-64) = -4；
（3）27/64 解：∵ (3/4) = 27/64，∴ (27/64) = 3/4；
（4）-0.008 解：∵ (-0.2) = -0.008，∴ (-0.008) = -0.2；
（5）0 解： 0 = 0。
- 注意事项：
- 求立方根时，结果的符号与被开方数的符号一致（正数得正，负数得负）；
- 根指数“3”不能省略，区分平方根（√a）和立方根（ a）的符号。
## 第5页：立方根与平方根的区别与联系
- 对比梳理（重点区分核心差异）：
| 特征 | 平方根（√a） | 立方根（ a） |
|--------------|-----------------------------|-----------------------------|
| 被开方数范围 | a≥0（非负数） | a为任意实数（正数、0、负数）|
| 结果个数 | 正数有2个（互为相反数），0有1个 | 任意实数都只有1个 |
| 结果符号 | 正数的平方根一正一负，0为0 | 与被开方数符号一致（正得正，负得负） |
| 根指数 | 可省略（写作√a） | 不能省略（必须写 a） |
- 例题对比：
- 求√16和 16：√16 = 4（算术平方根），±√16 = ±4（平方根）； 16不能直接开方（不是完全立方数），保留 16即可；
- 求√(-8)和 (-8)：√(-8)无意义（负数没有平方根）； (-8) = -2（负数有立方根）。
## 第6页：易错点辨析与纠正
- 易错点1：混淆立方根与平方根的符号和个数
- 错误：认为 27 = ±3（立方根只有1个正根）；认为√(-8) = -2（负数没有平方根）；
- 纠正：立方根只有1个，符号与被开方数一致；负数没有平方根，有一个负的立方根。
- 易错点2：省略立方根的根指数
- 错误：把 64写作√64（混淆平方根和立方根符号）；
- 纠正：平方根根指数为2可省略，立方根根指数为3不能省略，避免符号混淆。
- 易错点3：计算负数立方根时出错
- 错误： (-27) = 3（符号错误）；
- 纠正：负数的立方根是负数， (-27) = -3，结果符号与被开方数一致。
- 易错点4：分数立方根计算错误
- 错误： (8/27) = 2/3 （正确），但 (8/27) = 8/27（分子分母未分别开方）；
- 纠正：分数的立方根等于分子的立方根除以分母的立方根，即 (a/b) = a / b（b≠0）。
## 第7页：课堂小结（核心回顾）
- 1. 立方根的定义：x = a → x是a的立方根（a为任意实数）；
- 2. 立方根的性质：
- 正数→正立方根，负数→负立方根，0→0；
- 任意实数都只有1个立方根，符号与被开方数一致。
- 3. 符号表示： a（根指数3不能省略）， (-a) = - a；
- 4. 与平方根的关键区别：被开方数范围、结果个数、符号规律。
## 第8页：课堂练习（即时巩固）
- 1. 填空：
- 64 = ______， (-125) = ______， 0 = ______；
- 一个数的立方根是-3，这个数是______；
- √9的立方根是______（提示：先求√9=3，再求 3）。
- 2. 求下列各数的立方根：
- （1）-216 （2）1/125 （3）0.125 （4）-343/512
- 3. 判断下列说法是否正确：
- （1）任意实数都有立方根（ ）；
- （2） (-a) = - a（ ）；
- （3）2是8的立方根，也是8的平方根（ ）；
- （4）立方根等于本身的数是0和1（ ）（提示：还有-1，∵ (-1) =-1）。
- 4. 解答题：
- 已知 (x-1) = 2，求x的值；
- 比较 (-9)和-2的大小（提示：先求-2的立方是-8，∵ -9 < -8，∴ (-9) < -2）。
温故知新
1）
2）
正数a的平方根是：
正数a的算术平方根是：
3）
0的平方根是：
0的算术平方根是：
0
0
1.平方根的定义
2.我们把求平方根的运算称之为
开平方
开平方运算与乘方运算是
互逆运算
问题1
要做一只容积为125cm3的正方体纸盒，正方体的棱长是多少？
思考：这个实际问题，在数学上可以转化成一个怎样的计算问题？
与“平方根”类似，试作一些讨论和研究.
解：设正方体的棱长为x cm，则
x3=125
这就是要求一个数，使它的立方等于125.
因为53=125，
所以x=5.
所以正方体的棱长为5 cm.
问题2
要做一只容积为10cm3的正方体纸盒，正方体的棱长是多少？
思考：根据问题1的计算情况，这个正方体的棱长是多少呢？
知识点一 立方根的概念
概括
如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根，也叫做a的三次方根，记作
一个数a的立方根可以表示为：
根指数
被开方数
读作：三次根号a.
其中a是被开方数，3是根指数，3不能省略.
求一个数的立方根的运算，叫做开立方．
数a的立方根的表示方法：
数a的立方根，
读作“三次根号a”。
a称为被开方数，3称为根指数。
记作
试
一
试
（1）64的立方根是什么？
（2）-27的立方根是什么？
（3）0的立方根是什么
4
-3
0
所以
例1
求下列各数的立方根：
解：
　 (1) ; (2)-216; (3)-0.027
（1） 因为( )3= ，
所以
（2） 因为（ ）3＝－216，
（3）因为_______________________，
所以________________.
－6
－6
知识点二 立方根的性质
（1）27的立方根是什么？
（2）-27的立方根是什么？
（3）0的立方根是什么
3
-3
0
通过这些题目的解答，你能发现什么？
思考：正数有立方根吗？如果有，有几个？负数呢？零呢？
一个正数有一个正的立方根，一个负数有一个负的立方根，0的立方根是0.
探究
根据立方根的意义填空.
因为23=8，所以8的立方根是(　)
因为( )3=0.125,所以0.125的立方根是(　)
因为( )3＝－8，所以－8的立方根是( )
因为( )3 ＝ ，所以 的立方( )
2
-2
因为( )3 ＝0，所以0的立方根是(　)
0
0
-2
被开方数 平方根 立方根
有两个互为相反数
有一个,是正数
无平方根
零
有一个,是负数
零
正数
负数
零
讨论:你能归纳出平方根和立方根的异同点吗
典例精析
【例2】已知，则的值为（ ）
A．5 B．-5 C．25 D．-25
【详解】∵，
∴=0，b-3=0
∴a=-125，b=3．
∴=-5
故选B．
知识点三 用计算器求一个数的立方根
例3、用计算器求下列各数的立方根：
（1）1331；
（2）9.263（精确到0.01）.
说明：用计算器求一个有理数的立方根，只需直接按书写顺序按键即可.
解：（1）在计算器上依次键入：
，
显示结果为11，所以
1
3
3
1
SHIFT
=
是键 的第二功能，启用第二功能，需先按 键.
SHIFT
解：（2）在计算器上依次键入：
，
显示结果为2.1001511606987 ，所以
9
.
2
6
SHIFT
3
=
（2）9.263（精确到0.01）.
1．立方根等于2的数是（ ）
A．8 B．4 C．±4 D．±8
【详解】解：∵23=8，
∴，
故选：A．
1. 下列说法正确的是( )
A. 的立方根是
B. 都是64的立方根
C. 27的立方根与9的平方根相同
D. 等于
√
返回
2. 利用计算器计算时，按
键 ，显示 ，
则按键
的计算结果约为（保留三位小数）( )
A. B. 144.225
C. 14.422 D. 1.442
√
返回
3. ［2025晋城期中］一个正方体由8个形状、大小完全相同
的小正方体组成.已知该几何体的体积为120（小正方体之间
的缝隙忽略不计），则每个小正方体的棱长 的取值范围为
( )
A. B.
C. D.
√
返回
4. 数轴上表示 的点一定在( )
A. 第①段 B. 第②段 C. 第③段 D. 第④段
5.计算： ___.
√
返回
6.若与是同类项，则 的立方根是
___.
2
【点拨】与 是同类项，
解得
的立方根是2.
返回
7. 我们规定：若一个实数的算术平方根等于它
的立方根，则称这样的实数为“最美实数”.若 是“最美
实数”，则 _____________；
或
【点拨】是“最美实数”， 或1，解得
或 .
返回
立方根的特征
一个正数有一个正的立方根；
一个负数有一个负的立方根，
零的立方根是零。
任何一个数 a 都只有一个立方根
谢谢观看！

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