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华东师大版（2024）版数学8年级上册
第10章 数的开方
10.2.2实数的运算
1. 知道有理数的运算法则、运算律对于实数仍然成立;
2.知道学过的有关数、式、方程(组)的性质、法则、解法，对于实数仍然成立；
学生能清晰阐述单项式与单项式相乘、单项式与多项式相乘、多项式与多项式相乘的运算法则，并能准确运用这些法则进行运算。
熟练掌握整式乘法的运算技巧，能够对复杂的整式乘法式子进行化简和求值，确保计算结果的准确性。
（二）过程与方法目标
经历整式乘法运算法则的推导过程，培养学生观察、归纳、类比、推理的能力，提升逻辑思维水平。
引导学生在解决整式乘法问题的过程中，体会从特殊到一般，再从一般到特殊的数学思想方法，增强分析和解决问题的能力。
（三）情感态度与价值观目标
通过自主探究与合作交流，激发学生对数学的探索热情，培养学生勇于创新和团队协作的精神。
让学生感受整式乘法运算的简洁美和规律性，体会数学在实际生活中的广泛应用，增强学习数学的兴趣和自信心。
二、教学重难点
（一）教学重点
深入理解单项式与单项式相乘、单项式与多项式相乘、多项式与多项式相乘运算法则的推导过程。
熟练运用整式乘法运算法则进行准确计算，包括单项式、多项式的乘法运算及混合运算。
（二）教学难点
理解多项式与多项式相乘时，乘法分配律的运用以及如何准确合并同类项。
灵活运用整式乘法运算法则解决复杂问题，避免在计算过程中出现符号错误和运算顺序错误。
# 幻灯片分页内容：10.2.2 实数的运算
## 第1页：课题引入——有理数运算的拓展
- 情境展示：
- 问题1：我们已经学过有理数的哪些运算？（加、减、乘、除、乘方、开方）；
- 问题2：计算√2 + √3、π×2、√5 - 1.2，这些算式中的数是有理数吗？结果是什么数？（√2、√3、π是无理数，结果是实数）。
- 提问引导：
- 有理数的运算性质和法则，能推广到实数吗？
- 实数的运算需要注意什么？（无理数的近似值处理、运算顺序等）
- 课题：今天我们学习——实数的运算（板书课题），掌握实数的运算性质、法则和实际应用，体会有理数运算与实数运算的一致性。
## 第2页：核心性质——实数的运算性质（与有理数类比）
- 实数的运算性质（与有理数完全一致）：
1. 加法交换律：a + b = b + a（如√2 + √3 = √3 + √2）；
2. 加法结合律：(a + b) + c = a + (b + c)（如(√2 + √5) + √7 = √2 + (√5 + √7)）；
3. 乘法交换律：a×b = b×a（如π×3 = 3×π）；
4. 乘法结合律：(a×b)×c = a×(b×c)（如(√2×√3)×√5 = √2×(√3×√5)）；
5. 乘法分配律：a×(b + c) = a×b + a×c（如√2×(√3 + √5) = √2×√3 + √2×√5）。
- 强调：
- 所有有理数的运算性质和运算律，对实数同样适用；
- 运算时，无理数可看作一个整体参与运算，遵循与有理数相同的运算逻辑。
## 第3页：实数的运算法则（重点关注无理数运算）
- 1. 加减法：
- 法则：同类二次根式（被开方数相同的二次根式）可以合并，非同类二次根式不能合并；
- 示例：
- 可合并：√2 + 3√2 = (1 + 3)√2 = 4√2；5√3 - 2√3 = (5 - 2)√3 = 3√3；
- 不可合并：√2 + √3（被开方数不同，无法合并，保留原式即可）。
- 2. 乘除法：
- 法则：√a×√b = √(ab)（a≥0，b≥0）；√a÷√b = √(a/b)（a≥0，b>0）；
- 示例：
- 乘法：√2×√3 = √(2×3) = √6；√4×√9 = √(4×9) = √36 = 6；
- 除法：√6÷√2 = √(6÷2) = √3；√(8/2) = √4 = 2。
- 3. 乘方：
- 法则：(√a) = a（a≥0）；(a√b) = a ×b（b≥0）；
- 示例：(√5) = 5；(2√3) = 2 ×3 = 4×3 = 12。
## 第4页：实数的运算顺序（与有理数一致）
- 运算顺序：
1. 先算乘方和开方，再算乘除，最后算加减；
2. 有括号的先算括号里面的（小括号→中括号→大括号）；
3. 同级运算从左到右依次进行。
- 例题解析：
- 例1：计算√(4×9) + √3×√6 - (√2)
- 解：原式 = √36 + √(3×6) - 2 = 6 + √18 - 2 = 6 + 3√2 - 2 = 4 + 3√2；
- 例2：计算(√5 - √3)×√2 + √12÷√3
- 解：原式 = √5×√2 - √3×√2 + √(12÷3) = √10 - √6 + √4 = √10 - √6 + 2。
- 注意事项：
- 运算时先化简二次根式（如√18 = 3√2、√12 = 2√3），再进行后续运算；
- 涉及无理数的乘法，可利用法则简化计算，避免直接用近似值导致误差。
## 第5页：无理数的近似值运算（实际应用场景）
- 当题目要求“精确到某一位”或“保留几位小数”时，需将无理数取近似值后运算：
- 常用无理数近似值：√2≈1.414，√3≈1.732，√5≈2.236，π≈3.1416；
- 步骤：先取无理数的近似值（保留的小数位数比题目要求多1位），再进行运算，最后按要求取结果。
- 例题解析：
- 例3：计算√2 + √3（精确到0.01）
- 解：√2≈1.414，√3≈1.732，∴ 原式≈1.414 + 1.732 = 3.146≈3.15；
- 例4：计算π×√5（保留两位小数）
- 解：π≈3.1416，√5≈2.2361，∴ 原式≈3.1416×2.2361≈7.02。
- 注意事项：
- 取近似值时，遵循“四舍五入”原则；
- 中间步骤保留的小数位数要足够，避免最终结果误差过大。
## 第6页：例题解析——综合运算与化简
- 例5：化简并计算：√18 - √8 + √(1/2)
- 解：先化简各二次根式：√18 = 3√2，√8 = 2√2，√(1/2) = √2/2；
- 再合并同类二次根式：3√2 - 2√2 + √2/2 = (3 - 2 + 0.5)√2 = 1.5√2 = 3√2/2；
- 例6：计算(√3 + 2)(√3 - 2)（利用平方差公式）
- 解：原式 = (√3) - 2 = 3 - 4 = -1；
- 例7：计算√(27)×√(1/3) - √(4)×√(2)
- 解：原式 = √(27×1/3) - √(4×2) = √9 - √8 = 3 - 2√2≈3 - 2.828≈0.17（精确到0.01）。
- 方法总结：
- 综合运算中，先化简二次根式，再利用运算律和法则简化计算；
- 遇到形如(a + b)(a - b)的式子，可利用平方差公式快速计算。
## 第7页：易错点辨析与纠正
- 易错点1：非同类二次根式合并错误
- 错误：√2 + √3 = √5（被开方数不能直接相加）；
- 纠正：非同类二次根式不能合并，保留原式√2 + √3即可。
- 易错点2：二次根式乘除法法则应用条件忽略
- 错误：√(-2)×√(-3) = √6（被开方数为负数，无意义）；
- 纠正：乘除法法则要求被开方数非负，负数不能直接开平方，此类运算无意义。
- 易错点3：近似值运算时误差过大
- 错误：计算√2 + √3时，√2≈1.4，√3≈1.7，结果≈3.1（精确到0.01时误差过大）；
- 纠正：中间步骤保留更多小数位（如√2≈1.414，√3≈1.732），再计算结果。
- 易错点4：运算顺序错误
- 错误：√4 + 2×√3 = (√4 + 2)×√3 = (2 + 2)×√3 = 4√3（先算加法再算乘法）；
- 纠正：先算乘除后算加减，原式 = 2 + 2√3，无法进一步合并。
## 第8页：课堂小结（核心回顾）
- 1. 运算基础：实数运算遵循有理数的运算性质、法则和顺序；
- 2. 关键法则：
- 加减法：同类二次根式可合并，非同类不能合并；
- 乘除法：√a×√b = √(ab)、√a÷√b = √(a/b)（a≥0，b>0）；
- 乘方：(√a) = a（a≥0）。
- 3. 两种运算形式：
- 精确运算：保留无理数形式，化简合并同类二次根式；
- 近似运算：取无理数近似值，按要求精确到指定位数。
- 4. 核心原则：先化简，再运算，合理运用运算律简化过程。
## 第9页：课堂练习（即时巩固）
- 1. 化简：
- （1）√12 + √27 （2）√(18/2) - √(4×3) （3）(√5) - √(25)
- 2. 计算（精确到0.01）：
- （1）√3 + √5 （2）π - 2√2 （3）√6÷√2 + √3
- 3. 综合运算：
- （1）(√2 + √3)×√6 （2）√(48) - √(12) + √(1/3) （3）(√7 - 2)(√7 + 2)
- 4. 判断下列计算是否正确，错误的请改正：
- （1）√2×√3 = √5（ ） （2）√8 - √2 = √6（ ） （3）(2√3) = 6（ ）
议一议
对于实数 a，它有几个平方根，几个立方根呢？
每个正实数有且只有两个平方根，它们互为相反数.
0的平方根是0.
在实数范围内，负实数没有平方根.
在实数范围内，每个实数a有且只有一个立方根.
方法（1）：对实数a、b，如果a-b>0，则a>b；反之，则a方法（2）：正实数大于一切负实数，两个负实数比较，绝对值大的反而小； （定义与绝对值法）
方法（3）：数轴上右边的点表示的实数总比左边的点表示的实数要大. （数轴法）
原点
0
正实数
负实数
<
思 考
两个实数是否可以比较大小？都有哪些比较大小的方法呢？
若 a > b，则 ，反过来也成立.
若 a > b，则 ，反过来也成立.
两个正实数 a，b：
比较下列各组数的大小.
（1）2.5 与 ；（2）3 与 ；（3）－3 与 .
解（1）2.52 = 6.25， ，又6.25<7，所以 2.5< .
（2）33 = 27， ，又27 > 25，所以 3 > .
（3）因为 |－3|=3， ，由（2）知 3 > ，
所以－3 < .
例题讲解
例1
若 a > b，则 ，反过来也成立.
若 a > b，则 ，反过来也成立.
两个正实数 a，b：
探究新知
思 考
不用计算器，分别估计 与 在哪两个相邻整数之间.
所以 应介于 10 和 11 之间，
即 10 < < 11.
由于 102 = 100 < 115，
，112 = 121 > 115，
由于 43 = 64 < 121，
，53 = 125 > 121，
所以 应介于 4 和 5 之间，
即 4 < < 5.
例题讲解
例3
用计算器计算：2× （结果精确到 0.01）.
解 依次按键：
显示结果：4.472 135 955.
所以 2× ≈ 4.47 .
1. ［2024自贡］在0，，， 四个数中，最大的数是
( )
A. B. 0 C. D.
2. ［2025成都新津区月考］在与 之间的整数是( )
A. ，，0，1，2，3 B. ， ，0，1，2
C. ，0，1，2 D. ，0，1，2，3
√
√
返回
3. 下列说法中，不正确的是( )
A. 的绝对值是
B. 的相反数是
C. 的立方根是2
D. 的倒数是
4. 数轴上表示， 的点分别为，，是线段 的中点，
则点 所表示的数是( )
A. B. C. D.
√
√
返回
5.（1）已知，，，则，， 三个数的大
小关系为__________.
（2）已知，，则， 的大小关系为______.
6.已知有理数,满足，则 ___.
1
【点拨】,,
为有理数，，，， ，
.
返回
7.计算：
（1） ；
【解】原式 .
（2） .
原式 .
返回
8. 已知实数， 在数轴上如图所示，
.化简 .
【解】由题图得， ，
， .
.
返回
9. 若一个数的绝对值是，则 的值为( )
A. B. C. 或 D. 或
10. ［2025周口期中］已知实数，，，，，，且，
互为倒数，，互为相反数，的绝对值为， 的算术平方
根是8，则 的值是( )
A. B. C. D.
√
√
返回
11. ［2025苏州期中］已知的整数部分为 ，小数部分
为，则 的值为( )
A. B. C. D. 5
√
返回
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