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华东师大版（2024）版数学8年级上册
第11章 整式的乘除
11.3.2两数和（差）的平方
1.理解并掌握完全平方公式的推导过程、结构特点、几何解释并能够灵活应用.
2.理解完全平方公式的结构特征，灵活应用完全平方公式.
“11.3.1两数和乘以这两数的差”核心是平方差公式的学习，下面以幻灯片形式呈现教学内容，涵盖公式推导、例题解析、易错点等，适配课堂教学：
# 幻灯片分页内容：11.3.1两数和乘以这两数的差
## 第1页：课题引入——旧知铺垫引新知
- 复习回顾：
1. 多项式与多项式相乘法则：先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加，即\((m + n)(p + q)=mp + mq + np + qn\)；
2. 快速计算：\((x + 3)(x - 3)\)、\((2a + b)(2a - b)\)，观察结果有何特殊规律？
- 情境问题：
边长为\(a\)的正方形草坪，一角剪去边长为\(b\)的小正方形（\(a > b\)），剩余部分面积怎么算？除了用大正方形面积减小小正方形面积，还有其他计算方式吗？
- 课题：今天我们就来探究这种特殊的多项式乘法——11.3.1两数和乘以这两数的差。
## 第2页：公式推导——代数与几何双验证
- 代数推导（依据多项式乘法法则）：
计算\((a + b)(a - b)\)，按法则展开得\(a×a - a×b + b×a - b×b\)；中间两项\(-ab\)与\(+ab\)互为相反数，合并后消去，最终结果为\(a^2 - b^2\)。
- 几何验证（面积法）：
1. 方法一：剩余图形面积 = 大正方形面积 - 小正方形面积，即\(a^2 - b^2\)；
2. 方法二：将剩余图形拼接成长为\((a + b)\)、宽为\((a - b)\)的长方形，面积为\((a + b)(a - b)\)；
3. 结论：两种方法表示同一图形面积，故\((a + b)(a - b)=a^2 - b^2\)。
- 公式总结：**两数和与这两数差的积，等于这两数的平方差**，该公式称为平方差公式。
## 第3页：公式特征——找准关键辨结构
- 核心特征：
1. 左边：两个二项式相乘，其中一项完全相同（如公式中的\(a\)），另一项互为相反数（如公式中的\(b\)和\(-b\)）；
2. 右边：相同项的平方减去互为相反数项的平方，且顺序不可颠倒；
3. 字母含义：\(a\)、\(b\)可表示具体数字、单项式，也可表示多项式。
- 特征辨析：
1. 符合特征：\((5x + 2y)(5x - 2y)\)（相同项\(5x\)，相反项\(2y\)与\(-2y\)）；
2. 不符合特征：\((x + 2)(x + 3)\)（两项均不互为相反数）。
## 第4页：基础例题——公式直接应用
- 解题思路：先找准相同项和相反项，再代入平方差公式计算，注意符号和幂的运算。
- 基础例题解析：
1. 例1：计算\((m + 5)(m - 5)\)
解：相同项为\(m\)，相反项为\(5\)与\(-5\)，原式\(=m^2 - 5^2 = m^2 - 25\)；
2. 例2：计算\((3x - 2y)(3x + 2y)\)
解：相同项为\(3x\)，相反项为\(-2y\)与\(2y\)，原式\(=(3x)^2 - (2y)^2 = 9x^2 - 4y^2\)；
3. 例3：计算\((-1 + 4c)(-1 - 4c)\)
解：相同项为\(-1\)，相反项为\(4c\)与\(-4c\)，原式\(=(-1)^2 - (4c)^2 = 1 - 16c^2\)。
## 第5页：进阶例题——公式灵活变形
- 解题关键：当式子结构不直接符合公式时，先通过变形转化出相同项和相反项，再用公式计算。
- 进阶例题解析：
1. 例1：计算\((2x - y)(-2x - y)\)
解：变形为\((-y + 2x)(-y - 2x)\)，相同项为\(-y\)，相反项为\(2x\)与\(-2x\)，原式\(=(-y)^2 - (2x)^2 = y^2 - 4x^2\)；
2. 例2：计算\(199×201\)
解：将其转化为两数和与差的形式，\(199 = 200 - 1\)，\(201 = 200 + 1\)，原式\((200 - 1)(200 + 1)=200^2 - 1^2 = 40000 - 1 = 39999\)；
3. 例3：计算\((a + b + c)(a + b - c)\)
解：把\((a + b)\)看作整体，原式\(=[(a + b) + c][(a + b) - c]=(a + b)^2 - c^2 = a^2 + 2ab + b^2 - c^2\)。
## 第6页：易错点辨析——避开运算误区
- 易错点1：混淆公式右边的运算顺序
错误：\((a + b)(a - b)=b^2 - a^2\)；
纠正：牢记右边是相同项的平方减相反项的平方，原式应为\(a^2 - b^2\)。
- 易错点2：漏算系数的平方
错误：\((2x + 3)(2x - 3)=2x^2 - 9\)；
纠正：系数也要平方，原式\(=(2x)^2 - 3^2 = 4x^2 - 9\)。
- 易错点3：非平方差结构误用公式
错误：\((x + 2)(x + 2)=x^2 - 4\)；
纠正：该式是两数和的平方，不符合平方差公式，应按多项式乘法计算得\(x^2 + 4x + 4\)。
## 第7页：课堂练习——分层巩固能力
- 基础题：
1. 计算\((6m - n)(6m + n)\)；
2. 计算\((-x + 5)(-x - 5)\)。
- 提高题：
1. 计算\((a - 2)(a + 2)(a^2 + 4)\)；
2. 化简\((3x - 4y)(4y + 3x) - (2x + y)(2x - y)\)。
- 拓展题：
已知\((2x + y)(2x - y) = 12\)，\(xy = 2\)，求\(4x^2 + y^2\)的值。
## 第8页：课堂小结与课后作业
- 课堂小结：
1. 一个核心公式：平方差公式\((a + b)(a - b)=a^2 - b^2\)，牢记“和乘差得平方差”；
2. 两个关键要点：准确识别相同项与相反项；灵活变形非标准形式的式子；
3. 一种数学思想：数形结合思想，通过图形面积理解公式的几何意义。
- 课后作业：
1. 计算教材对应练习题；
2. 用简便方法计算\(2025×2023 - 2024^2\)；
3. 一个长方形围栏，长为\((3x + 2)\)米，宽为\((3x - 2)\)米，求围栏的面积和周长。
温故知新
1.问：平方差公式是怎样的？
(a+b)(a b)=a2 b2
2.利用平方差公式计算：
（1）(2x+7b)(2x–7b)；
（2）(－m+3n)(m+3n).
3.你能快速的计算201×199吗？
4x2－49b2
9n2－m2
一块边长为a米的正方形实验田，因需要将其边长增加 b 米.形成四块实验田，以种植不同的新品种(如图). 用不同的形式表示实验田的总面积, 并进行比较.
a
a
b
b
直接求：总面积=（a+b)(a+b)
间接求：总面积=a2+ab+ab+b2
你发现了什么？
（a+b)2=a2+2ab+b2
知识点一 两数和（差）的平方
做
一
做
用多项式乘法法则计算：(a+b)2.
(a+b)2=( a + b ) ( a + b )
=a2
+ab
+ab
+b2
(a+b)2=a2+2ab+b2
计算下列多项式的积，你能发现什么规律？
（1） （p+1)2=(p+1)(p+1)= .
p2+2p+1
（2） （m+2)2=(m+2)(m+2)= .
m2+4m+4
（3） （p-1)2=(p-1)(p-1)= .
p2-2p+1
（4） （m-2)2=(m-2)(m-2)= .
m2-4m+4
根据上面的规律，你能直接下面式子的写出答案吗？
（a+b)2= .
a2+2ab+b2
利用这个公式，可以直接计算两数和的平方.
(a+b)2=a2+2ab+b2
这就是说，两数和的平方，等于这两数的平方和加上它们的积的2倍.
这个公式叫做两数和的平方公式.
a
2
b
2
ab
ab
a
b
a+b
a+b
a
b
a
2
ab
ab
b
2
(a+b)
2
=
a
2
+
2ab
+
b
2
(a+b)2
a2 + 2ab + b2
=
试一试
观察下图，用等式表示下图中图形面积的运算：
计算：
例1
（1）(3x+2y)2
（2）(4a+ )2
解
=(3x)2+2·3x·2y+(2y)2
=9x2+12xy+4y2
=(4a)2+2·4a· +( )2
=16a2+4ab+
把3x和2y分别看成a和b
试一试
推导两数差的平方公式（a-b）2
注意到a-b=a+(-b),也可以利用两数和的平方公式来计算
这样就得到了两数差的平方公式：
（a-b)2= .
a2-2ab+b2
两数差的平方，等于这两数的平方和减去它们的积的2倍.
观察下图，用等式表示下图中图形面积的运算：
a
b
a
b
a2
ab
ab
b2
=
-
+
(a-b)2
a2
2ab
=
-
+
b2
解: (2x－3)2=
=4x2
例2、计算(2x－3)2；
( a－ b )2 =a2 － 2ab + b2
(2x)2
－2 (2x) 3
+32
－12x
+9；
已知x+y=4，xy=2，
求（1）x2+y2；（2）3x2-xy+3y2；（3）x-y
补充例题
(1)x2+y2=(x+y)2-2xy=42-2×2=16-4=12
(2)3x2-xy+3y2=3(x+y)2-7xy=3×42-7×4=3×16-28=20
解
(3)(x-y)2＝(x+y)2-4xy
=42-4×2=8
所以 x-y= =
1.下面各式的计算是否正确？如果不正确，应当
怎样改正？
（1）(x+y)2=x2 +y2
(2)(x －y)2 =x2 －y2
(3) (－x +y)2 =x2+2xy +y2
(4) (2x+y)2 =4x2 +2xy +y2
×
×
×
×
x2+2xy +y2
x2－2xy +y2
x2 －2xy +y2
4x2+4xy +y2
(1) (6a+5b)2； =36a2+60ab+25b2；
(2) (4x－3y)2 ；
=16x2－24xy+9y2；
(3) (2m－1)2 ；
=4m2－4m+1；
(4)(－2m－1)2 .
=4m2+4m+1.
2.运用完全平方公式计算:
1. 如果 是一个完全平方式，则
的值是( )
C
A. 3 B. 9 C. 6或 D.
两数的平方和加上或减去它们积的2倍，就构成了
一个完全平方式.注意积的2倍的符号，避免漏解.
返回
（第2题）
2. 如图，由图形的面积关系能够直观说明
的代数恒等式是( )
C
A.
B.
C.
D.
3.若，则代数式 为______.
返回
4. 已知，，则
____.
29
【点拨】， ，
.
返回
5. 小明在做作业时，不慎把墨水滴在纸
上，将一个三项式前后两项污染得看不清楚了，中间项是 ，
请在横线上填入恰当的式子，使等式成立：_____ ____
（_______________________） .（写出一种即可）
（答案不唯一）
返回
（第6题）
6. 10月1日，太原
五一广场举行庄严的升国旗仪式.
如图是一块长为 ，宽
为 的长方形地块，在其
中心是一个边长为 的正
方形升旗台，则图中阴影部分的
面积为_____________. （用含, 的代数式表示）
返回
7.计算：
（1） ；
【解】原式 .
（2） ；
原式 .
（3） ；
原式 .
（4） .
原式 .
返回
(a+b)2=a2+2ab+b2
(a-b)2=a2-2ab+b2
两数差的平方，等于这两数的平方和减去它们的积的2倍.
这就是说，两数和的平方，等于这两数的平方和加上它们的积的2倍.
谢谢观看！

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