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华东师大版（2024）版数学8年级上册
第11章 整式的乘除
11.4.1单项式除以单项式
1.理解和掌握单项式除以单项式的运算法则，运用运算法则熟练、准确地进行计算；
2.通过总结法则，培养概括能力；训练综合解题能力和计算能力.
下面依旧以幻灯片分页形式，呈现11.4.1单项式除以单项式的教学内容，包含法则推导、不同难度例题和易错点解析等，贴合课堂讲解需求：
# 幻灯片分页内容：11.4.1 单项式除以单项式
## 第1页：课题引入——旧知衔接+情境设问
- 复习回顾：
1. 同底数幂的除法法则：\(a^m\div a^n = a^{m - n}\)（\(a\neq0\)，\(m\)、\(n\)为正整数，且\(m>n\)），即底数不变，指数相减；
2. 单项式乘单项式法则：系数相乘、同底数幂相乘，单独字母连同指数作为积的因式。
- 情境问题：
一块长方形广告牌的面积是\(12a^3b^2\)平方厘米，它的长是\(3ab\)厘米，想要制作边框，需要先算出它的宽，该如何计算这个宽呢？由此引出算式\(12a^3b^2\div3ab\)，进而导入课题。
## 第2页：法则推导——实例归纳规律
- 分步推导：
1. 分解计算实例1：计算\(12a^3b^2\div3ab\)
把系数和同底数幂分别拆分计算，即\((12\div3)\times(a^3\div a)\times(b^2\div b)\)；再按有理数除法和同底数幂除法计算，得\(4\times a^{2}\times b^{1}=4a^2b\)；
2. 分解计算实例2：计算\(6m^4n^2\div(-3m^2)\)
除式中没有字母\(n\)，需保留其连同指数，算式拆分为\((6\div(-3))\times(m^4\div m^2)\times n^2\)，计算得\(-2\times m^2\times n^2=-2m^2n^2\)。
- 法则总结：**单项式除以单项式，把系数、同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式中出现的字母，则连同它的指数一起作为商的一个因式**。
## 第3页：基础例题——法则直接应用
- 解题思路：先处理系数的除法（注意符号），再计算同底数幂的除法，最后保留被除式中的单独字母及指数。
- 基础例题解析：
1. 例1：计算\(24a^3b^2\div3ab^2\)
解：系数相除+同底数幂分别相除，原式\(=(24\div3)\times(a^3\div a)\times(b^2\div b^2)=8\times a^{2}\times1 = 8a^2\)；
2. 例2：计算\(-21a^2b^3c\div3ab\)
解：注意系数符号，原式\(=(-21\div3)\times(a^2\div a)\times(b^3\div b)\times c=-7\times a\times b^2\times c=-7ab^2c\)；
3. 例3：计算\(15x^2y\div5x\)
解：保留被除式单独字母\(y\)，原式\(=(15\div5)\times(x^2\div x)\times y = 3xy\)。
## 第4页：进阶例题——含乘方与复杂系数
- 解题关键：若有乘方运算先算乘方，再按法则计算；遇到小数或分数系数，可先转化为便于计算的形式。
- 进阶例题解析：
1. 例1：计算\((6xy^2)^2\div3xy\)
解：先算乘方再算除法，原式\(=36x^2y^4\div3xy=(36\div3)\times(x^2\div x)\times(y^4\div y)=12xy^3\)；
2. 例2：计算\(0.5a^4b^3\div\frac{1}{4}a^2b\)
解：小数转分数简化计算，原式\(=(\frac{1}{2}\div\frac{1}{4})\times(a^4\div a^2)\times(b^3\div b)=2a^2b^2\)；
3. 例3：计算\((-2x^2y^3)^3\div(-4x^3y^5)\)
解：先算乘方再处理符号，原式\(=-8x^6y^9\div(-4x^3y^5)=(-8\div(-4))\times(x^6\div x^3)\times(y^9\div y^5)=2x^3y^4\)。
## 第5页：易错点辨析——规避计算误区
- 易错点1：系数符号出错
错误：\(-18a^2b\div6ab=-3a^3b^2\)（符号计算错误且多余算幂的乘法）；
纠正：系数异号得负，同底数幂正常相除，原式\(=(-18\div6)\times(a^2\div a)\times(b\div b)= -3a\)。
- 易错点2：遗漏单独字母及指数
错误：\(10x^3y^2\div2x^2 = 5x\)（遗漏被除式中的\(y^2\)）；
纠正：保留单独字母及指数，原式\(=(10\div2)\times(x^3\div x^2)\times y^2 = 5xy^2\)。
- 易错点3：同底数幂指数计算错误
错误：\(x^5\div x^3 = x^8\)（误将除法算成乘法）；
纠正：遵循同底数幂除法法则，原式\(=x^{5 - 3}=x^2\)。
## 第6页：课堂练习——分层巩固
- 基础题：
1. 计算\(72x^2y^3\div8xy^2\)；
2. 计算\(-49m^4n\div7m^2\)。
- 提高题：
1. 计算\((-3a^2b)^2\div(-9ab^2)\)；
2. 计算\(2.4x^4y^2\div0.6x^2y\)。
- 拓展题：
已知\(□\times5x^2y=-15x^4y^3\)，求方框内的单项式。
## 第7页：课堂小结与课后作业
- 课堂小结：
1. 一个核心法则：分三步计算，系数相除、同底数幂相除、保留被除式单独字母；
2. 两个关键要点：系数运算注意符号，同底数幂运算牢记指数相减；
3. 一个重要关联：是后续学习多项式除以单项式的基础，需熟练掌握。
- 课后作业：
1. 计算教材对应练习题；
2. 先化简再求值：已知\(x = 2\)，求\((8x^3y^2\div4xy)\times x\)的值；
3. 一个正方体体积是\(8x^6y^3\)，求它的棱长（用单项式表示）。
温故知新
1.用字母表示幂的运算性质：
2.计算：
(1) a20÷a10； (2) a2n÷an；
(3) ( c)4 ÷( c)2；
(4) (a2)3 ·(-a3 )÷a3； (5) (x4)6 ÷(x6)2 ·(-x4 )2.
= a10
= an
= c2
= a9 ÷a3
= a6
=x24÷x12 ·x8
=x 24 —12+8
=x20
我们知道“先看见闪电，后听到雷声”，那是因为在空气中光的传播速度是3×108m/s，而声音在空气中的传播速度是3.4×102m/s.在空气中光速是声速的多少倍？
(3×108)÷(3.4×102)
(3.4×102)×___________=3×108
想一想
8.8×105
知识点一 单项式除以单项式
试
一
试
计算：
12a5c2÷3a2
×3a2=12a5c2
把12a5c2和3a2分别看成是一个整体，相当于(12a5c2)÷(3a2)
(4a3c2)
12a5c2÷3a2=4a3c2
怎样计算出来的呢？
单项式相除, 把系数、同底数幂分别相除作为商的因式；对于只在被除式中出现的字母，则连同它的指数一起作为商的一个因式.
知识要点
单项式除以单项式的法则
理解
商式＝系数 同底的幂 被除式里单独有的幂
底数不变，
指数相减.
保留在商里
作为因式.
被除式的系数
除式的系数
例1
计算：
（1）24a3b2÷3ab2
（2）-21a2b3c÷3ab
（3）(6xy2)2÷3xy
解
（1）24a3b2÷3ab2
24
3
a3
b2
b2
a
÷
=(24÷3)
(a3÷a)
(b2÷b2)
=8a3-1·1
=8a2
（2）-21a2b3c÷3ab
（3）(6xy2)2÷3xy
=(-21÷3)(a2÷a)(b3÷b)c
=-7a2-1b3-1·c
=-7ab2c
=36x2y4÷3xy
=(36÷3)(x2÷x)(y4÷y)
=12x2-1y4-1
=12xy3
单项式相除，把系数、同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式中出现的字母，则连同它的指数一起作为商的一个因式.
练一练
1.计算：（1）6a3÷2a2；
（2）24a2b3÷3ab；
（3）-21a2b3c÷3ab.
解：（1） 6a3÷2a2
＝（6÷2）（a3÷a2）
=3a；
（2） 24a2b3÷3ab
=(24÷3)a2-1b3-1
=8ab2；
（3）-21a2b3c÷3ab
=(-21÷3)a2-1b3-1c
= -7ab2c.
例2 若a(xmy4)3÷(3x2yn)2＝4x2y2，求a、m、n的值．
解：∵a(xmy4)3÷(3x2yn)2＝4x2y2，
∴ax3my12÷9x4y2n＝4x2y2，
∴a÷9＝4，3m－4＝2，12－2n＝2，
解得a＝36，m＝2，n＝5.
方法总结：熟练掌握积的乘方的计算法则
以及整式的除法运算是解题关键．
1、计算：
（1）(3xy2)2· ÷
（2）
2、先化简再求值：
[(xy+2)(xy-2)-2x2y2+4]÷(-xy)
其中x=10，y= .
解 [(xy+2)(xy-2)-2x2y2+4]÷(-xy)
=(x2y2-4-2x2y2+4)÷(-xy)
=-x2y2÷(-xy)
=xy
当x=10，y= 时，
1. 下列计算错误的是( )
A.
B.
C.
D.
2. 已知 ★ ，则“★”所表示的式子是( )
A. B. C. D.
√
√
返回
3. ［2025济南市中区模拟］一个三角形的面积是 ，
它的一边长是 ，那么这条边上的高为( )
A. B. C. D.
4.月球距离地球约为 千米，一架飞机速度为
千米/时，若坐飞机飞行这么远的距离需__________
小时.
√
返回
5.已知 恰好能写成一个二项式的平方，则
的值是_____.
【点拨】由于 恰好能写成一个二项式的平方，
即.故 .原式
.代入得原式 .
返回
6.计算：
（1） ；
【解】原式 .
（2） .
原式 .
返回
7. 若，则 的值为( )
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
√
返回
8.如图①,将一张长方形纸板四角各切去一个同样的正方形，
制成如图②的无盖纸盒，若纸盒的容积为 ，则图②中纸
盒底部长方形的周长为________.
返回
9.已知 ，且
正整数，满足，则 的值为___.
10.先化简，再求值：
，其中 ，
.
【解】
.
当，时，原式 .
返回
单项式除以单项式
运算法则
1.系数相除；
2.同底数的幂相除；
3.只在被除式里的因式照搬
作为商的一个因式
注意
1.不要遗漏只在被除式中有
而除式中没有的字母及字
母的指数；
2.系数相除时，应连同它前
面的符号一起进行运算.
谢谢观看！

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