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华东师大版（2024）版数学8年级上册
第11章 整式的乘除
11.4.2多项式除以单项式
1.理解和掌握多项式除以单项式的运算法则；
2.会进行简单的多项式除以单项式的运算.
下面继续以适配课堂教学的幻灯片形式，梳理11.4.2多项式除以单项式的内容，包含法则推导、例题解析、易错点等核心板块，助力高效教学：
# 幻灯片分页内容：11.4.2 多项式除以单项式
## 第1页：课题引入——旧知迁移+问题导入
- 复习回顾
1. 单项式除以单项式法则：系数相除、同底数幂相除，被除式中单独字母连同指数保留；
2. 乘法分配律逆用：\(ma + mb + mc = m(a + b + c)\)，这一运算规律将帮助我们推导新法则。
- 情境问题
某工厂要生产一批零件，计划\(m\)天完成，总共需要生产的零件数为\((ma + mb + mc)\)个，那么该工厂每天需要生产多少个零件？由此列出算式\((ma + mb + mc)\div m\)，这样的多项式除以单项式该如何计算？
- 课题：今天我们就来学习11.4.2多项式除以单项式。
## 第2页：法则推导——从实例到通用规律
- 实例推导
1. 计算\((ax + bx)\div x\)：根据除法与乘法的逆运算，因为\((a + b)\times x = ax + bx\)，所以结果为\(a + b\)；也可拆分为\(ax\div x + bx\div x\)，计算后同样得\(a + b\)。
2. 计算\((ma + mb + mc)\div m\)：同理，由逆运算可得结果为\(a + b + c\)，拆分计算\(ma\div m + mb\div m + mc\div m\)，结果一致。
- 法则总结
综合实例可推出：**多项式除以单项式，先用这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加**。这一法则的核心是将多项式除以单项式转化为已学的单项式除以单项式。
## 第3页：基础例题——法则直接套用
- 解题思路：按法则拆分多项式的每一项，分别与单项式相除，计算时注意各项符号，最后合并结果。
- 基础例题解析
1. 例1：计算\((3ab - 2a)\div a\)
解：拆分后逐项计算，原式\(=3ab\div a - 2a\div a = 3b - 2\)；
2. 例2：计算\((9x^4 - 15x^2 + 6x)\div 3x\)
解：注意同底数幂的除法运算，原式\(=9x^4\div 3x - 15x^2\div 3x + 6x\div 3x = 3x^3 - 5x + 2\)；
3. 例3：计算\((x^3 - 2x^2y)\div (-x^2)\)
解：关注负号与各项的运算，原式\(=x^3\div (-x^2) - 2x^2y\div (-x^2) = -x + 2y\)。
## 第4页：进阶例题——含复杂系数与化简求值
- 解题关键：遇到分数、负系数时注意符号运算；化简求值类题目需先按法则化简，再代入数值计算。
- 进阶例题解析
1. 例1：计算\((28a^3b^2c + a^2b^3 - 14a^2b^2)\div (-7a^2b)\)
解：逐项处理符号和系数，原式\(=28a^3b^2c\div (-7a^2b) + a^2b^3\div (-7a^2b) - 14a^2b^2\div (-7a^2b) = -4abc - \frac{1}{7}b^2 + 2b\)；
2. 例2：化简求值\((2x(x^2y - xy^2) + xy(xy - x^2))\div x^2y\)，其中\(x = 5\)，\(y = 4\)
解：先化简括号内式子，原式\(=(2x^3y - 2x^2y^2 + x^2y^2 - x^3y)\div x^2y=(x^3y - x^2y^2)\div x^2y = x - y\)；代入数值得\(5 - 4 = 1\)；
3. 例3：计算\((4a^2b^3 - 6a^2b^3c - 2ab^5)\div (-2ab^2)\)
解：逐项精准计算，原式\(=-2ab + 3abc + b^3\)。
## 第5页：易错点辨析——避开核心误区
- 易错点1：忽略多项式项的符号
错误：\((6x^2 - 4x)\div 2x = 3x + 2\)（符号处理错误）；
纠正：拆分时保留项的符号，原式\(=6x^2\div 2x - 4x\div 2x = 3x - 2\)。
- 易错点2：遗漏常数项或商为1的项
错误：\((x^2 + x)\div x = x\)（遗漏商为1的项）；
纠正：常数项或字母次数为0时结果为1，原式\(=x^2\div x + x\div x = x + 1\)。
- 易错点3：系数除法计算失误
错误：\((8x^3y - 4x^2y^2)\div 2xy = 4x^2 - 4xy\)（系数计算出错）；
纠正：系数按有理数除法计算，原式\(=8x^3y\div 2xy - 4x^2y^2\div 2xy = 4x^2 - 2xy\)。
## 第6页：课堂练习——分层强化
- 基础题
1. 计算\((5ax^2 + 15x)\div 5x\)；
2. 计算\((12m^2n - 15mn^2)\div 6mn\)。
- 提高题
1. 计算\((a^3 - 2a^2b + ab^2)\div (-a)\)；
2. 已知长方形面积为\(a^3 - 2ab + a\)，宽为\(a\)，求长方形的长。
- 拓展题
已知一个多项式与单项式\(-7x^5y^4\)的积为\(21x^5y^7 - 28x^6y^5\)，求这个多项式。
## 第7页：课堂小结与课后作业
- 课堂小结
1. 一个核心法则：多项式除以单项式=各项分别除以单项式+合并商；
2. 两个计算要点：牢记项的符号随拆分保留；商中不能漏写系数或指数为1的项；
3. 一种转化思想：将多项式除以单项式转化为单项式除法，体现“化繁为简”的数学思想。
- 课后作业
1. 完成教材对应练习题；
2. 计算\((2x^4y^2 - 6x^3y^3 + 4x^2y^4)\div (-2x^2y^2)\)；
3. 先化简，再求值：\((3x^2y - xy^2)\div xy - (x - y)\)，其中\(x = 3\)，\(y = 1\)。
　
温故知新
计算下列各式，说说你是怎么想的？
（1）(am+bm)÷m；
（2）(a2+ab)÷a.
（1）(am+bm)÷m
（2）(a2+ab)÷a
=am÷m+bm÷m
=a+b
=a2÷a +ab÷a
=a+b
知识点一 多项式除以单项式
试
一
试
计算：
（1）(ax+bx)÷x；
解 （1）
·x
(a+b)x=ax+bx
所以 (ax+bx)÷x=a+b
试
一
试
（2）(ma+mb+mc)÷m.
·m
(a+b+c)m=ma+mb+mc
所以 (ma+mb+mc)÷m=a+b+c
知识要点
多项式除以单项式的法则
多项式除以单项式，先用这个多项式的 除以这个 ，再把所得的商 .
单项式
每一项
相加
关键：
应用法则是把多项式除以单项式转化为单项式除以单项式.
典例精析
例1
计算：
（1）(9x4-15x2+6x)÷3x
（2）(28a3b2c+a2b3-14a2b2)÷(-7a2b)
（1）(9x4-15x2+6x)÷3x
9x4
3x
=9x4÷3x
-15x2
-15x2÷3x
+6x
+6x÷3x
=(9÷3)x4-1-(15÷3)x2-1+(6÷3)x1-1
=3x3-5x+2
（2）(28a3b2c+a2b3-14a2b2)÷(-7a2b)
28a3b2c
-7a2b
=28a3b2c÷(-7a2b)
+a2b3
+a2b3÷(-7a2b)
-14a2b2
-14a2b2÷(-7a2b)
=-4a3-2b2-1c+( a2-2b3-1)-(-2a2-2b2-1)
=-4abc b2+2b
补充例题
计算：
(6xn+2+3xn+1-3xn-1)÷3xn-1
解：(6xn+2+3xn+1-3xn-1)÷3xn-1
=6xn+2÷3xn-1+3xn+1÷3xn-1-3xn-1÷3xn-1
=2xn+2-n+1+xn+1-n+1-1
=2x3+x2-1
思路归纳
如果除式中字母的指数是多项式，计算时要把它看作一个整体，且要添括号.
补充例题
化简：
[4(xy-1)2+(xy+2)(xy-2)]÷ xy
解：[4(xy-1)2+(xy+2)(xy-2)]÷ xy
=(4x2y2-8xy+4+x2y2-4)÷ xy
=(5x2y2-8xy)÷ xy
=20xy-32
思维点拨 进行整式的混合运算，应按照运算顺序进行化简.
1．计算（5m2+15m3n-20m4)÷(-5m2)的结果正确的是（ ）
A．4m2-3mn-1 B．1-3mn+4m2 C．-1-3m+4m2 D．4m2-3mn
【详解】解：（5m2+15m3n-20m4)÷(-5m2)
=4m2-3mn-1
故选：A．
2．长方形的面积为4a2-8ab+4a，若它的一边长为4a，则这个长方形的周长为（ ）
A．a-2b+1 B．10a-4b+2 C．5a-2b+1 D．8a-6b+2
【详解】解：∵长方形的面积为4a2-8ab+4a，若它的一边长为4a，
∴长方形的另一边的长为：(4a2-8ab+4a)÷4a=a-2b+1，
∴长方形的周长为：2×(4a+a-2b+1)=2×(5a-2b+1)=10a-4b+2，
故选：B．
3．计算(6ab-5a)÷a的结果是 ．
【详解】解：∵(6ab-5a)÷a=6b-5，
故答案为：6b-5．
1. 下列式子中计算错误的是( )
A.
B.
C.
D.
√
返回
2. ［2025衡阳月考］若长方形的面积是 ，一
边长为 ，则与该边相邻的一边长为( )
A. B.
C. D.
√
返回
3. 若与的积为，则 为( )
A. B.
C. D.
√
返回
4. 小力在计算 时，错把括号内的减号
写成了加号，那么正确结果与错误结果的乘积是( )
A. B.
C. D. 无法计算
√
【点拨】正确结果为
，
错误结果为
， .
返回
5. 某同学在化简
时，解答过程如下，请认真
阅读并完成相应任务.
解：
第一步
第二步
第三步
.第四步
以上解题过程中，第一步用到的乘法公式是______________
__________，第____步开始出现错误的，这一步错误的原因
是________________，正确结果为_______.
二
去括号没有变号
返回
6.计算：
（1） ；
【解】原式 .
（2）
.
原式 .
返回
7. 小明在爬一小山时，第一阶段的平均速度为
，所用时间为；第二阶段的平均速度为，所用时间为 .
下山时，小明的平均速度保持为 .已知小明上山的路程和下
山的路程是相同的，那么小明下山用时( )
A. B. C. D.
【点拨】由题意得总路程为 小明上山的路程和
下山的路程是相同的，且下山时平均速度为, 小明下山用
时 .
√
返回
8. ［2025达州模拟］观察下列各式：
，
，
，
，
根据上述规律计算 的值为( )
A. B. C. D.
√
多项式除以单项式
运算法则
用这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加.
注意
1.计算时，多项式的各项要包括它们前面的符号，要注意符号的变化；
2.当被除式的项与除式的项相同时，商是1，不能把“1”漏掉.
谢谢观看！

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