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华东师大版（2024）版数学8年级上册
第12章 全等三角形
12.1.2定义、定理与证明
1、理解基本事实、定理等概念；
2、理解证明的概念，并会对真命题进行证明；
温故知新
问题：我们学过的哪些命题是真命题﹖
1.两点确定一条直线;
2.两点之间，线段最短;
3.过一点有且只有一条直线与已知直线垂直;
4.过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行.
温故知新
问题：我们学过的哪些命题是真命题﹖
1.两点确定一条直线;
2.两点之间，线段最短;
3.过一点有且只有一条直线与已知直线垂直;
4.过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行.
问题1：什么是命题？命题的结构是什么？
定义：判断一件事情的语句.
构成：每个命题都是由题设、结论两部分组成.
命题常写成“如果……那么……”的形式.
问题2：命题如何分类？如何证明一个命题是假命题？
真命题和假命题
举反例
知识点一 基本事实与定理
探究新知
（1）两点确定一条直线；
（2）两点之间，线段最短；
（3）过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；
（4）过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行；
（5）两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行.
回忆一下，我们学过哪些真命题？
这些都是公认的真命题，我们把它视为基本事实.
基本事实：
公认的真命题视为基本事实.
它们是用来判断其他命题真假的原始依据，即出发点．
定理：
数学中，有些命题可以从基本事实或其他真命题出发，用逻辑推理的方法判断它们是正确的，并且可以作为进一步判断其他命题真假的依据，这样的真命题叫做定理．
基本事实、定理、命题的关系：
命题
真命题
假命题
基本事实（正确性由实践总结）
定理（正确性通过推理证实）
基本事实与定理的联系与区别：
定理与基本事实都是真命题，都是我们解决问题的依据，
它们的区别是:基本事实是公认的真命题，不需要推理论证；
定理是由基本事实直接或间接推理论证得到的.
1. 下列命题中属于基本事实的是（ ）
A. 内错角相等，两直线平行　　　
B. 三角形的外角和等于 360°
C. 两点确定一条直线
D. 直角三角形两锐角互余
试
一
试
C
根据基本事实的概念即可判断；
2. 下列命题是定理的是（ ）
A. 两点之间，线段最短
B. 两直线平行，内错角相等
C. 两点确定一条直线
D. 过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
B
思考
（1）一位同学在钻研数学题时发现:
于是，他根据上面的结果并利用质数表得出结论:从质数 2 开始，排在前面的任意多个质数的乘积加 1 一定也是质数. 他的结论正确吗？
2 + 1 =3，
2×3 + 1 = 7，
2×3×5 + 1 = 31，
2×3×5×7 + 1 = 211
计算一下2×3×5×7×11+1与2×3×5×7×11×13+1，你发现了什么？
（2）如图所示，一位同学在画图时发现: 三角形三条边的垂直平分线的交点都在三角形的内部.于是他得出结论:任何一个三角形三条边的垂直平分线的交点都在三角形的内部.他的结论正确吗？
（3）我们曾经通过计算四边形、五边形、六边形、七边形等的内角和，得到一个结论: n 边形的内角和等于 ( n -2) ×180°. 这个结论正确吗？是否有一个多边形的内角和不满足这一规律？
实际上，这是一个正确的结论.
上面几个例子说明: 通过特殊的事例得到的结论可能正确，也可能不正确.因此，通过这种方式得到的结论，还需进一步加以证实.
根据条件、定义以及基本事实、定理等，经过演绎推理，来判断一个命题是否正确，这样的推理过程叫做证明．
证明：
证明必须做到“言必有据”，每步推理都要有依据，它们可以是已知条件，也可以是定义、基本事实、已经学过的定理，以及等式的性质、等量代换等．
证明的依据：
已知: 如图，在△ABC中，∠C = 90°.
求证: ∠A +∠B = 90°.
直角三角形的两个锐角互余.
证明: ∠A ＋∠B +∠C = 180°
(三角形的内角和等于180°)，
又∵ ∠C = 90°(已知)，
∴ ∠A + ∠B = 180°-∠C = 90°
(等式的性质).
证明的一般步骤是：
①审清题意，找出命题中的条件和结论;
②根据题意画出图形，图形要正确且具有一般性，不能画特殊图形;
③用数学语言写出“已知”“求证”;
④找出证明思路;
⑤写出证明过程，每一步都要有理有据;
⑥检查表达过程是否正确、完整．
求证: 平行线的内错角的平分线互相平行．
解:已知:如图，AB ∥CD ，EF 交 AB 于点 E，交 CD 于点 F，EM 平分∠BEF，FN 平分∠EFC．
求证: EM ∥FN ．
证明:∵AB∥CD (已知)，
∴∠BEF＝∠CFE (两直线平行，内错角相等)．
∵EM 平分∠BEF，FN 平分∠EFC (已知)，
∴∠2＝ ∠BEF，∠1＝ ∠CFE(角平分线的定义)．
∴∠1＝∠2(等量代换)．
∴EM ∥FN (内错角相等，两直线平行)．
分析：要证明OE⊥OF，只要证明
∠EOF＝ 90°，即∠1＋∠2＝ 90°即可．
1.证明：邻补角的平分线互相垂直．
已知：如图，∠AOB＋∠BOC＝180°，OE平分∠AOB，OF平分∠BOC．
求证：OE⊥OF．
证明：∵OE平分∠AOB， ∴∠1＝ ∠AOB.
∵OF平分 ∠BOC， ∴∠2＝ ∠BOC.
∴∠1＋∠2＝ （∠AOB＋∠BOC）
＝ ∠AOC ＝ ×180°＝90°.
∴OE⊥OF（垂直定义）．
2、已知：b∥c， a⊥b ．
求证：a⊥c．
证明： ∵ a ⊥b（已知），
∴ ∠1=90°（垂直的定义）.
又 b ∥ c（已知），
∴ ∠2=∠1=90°（两直线平行，同位角相等）.
∴ a ⊥ c（垂直的定义）.
a
b
c
1
2
3.在下面的括号内，填上推理的依据.
如图，AB ∥ CD,CB ∥ DE .
求证∠ B+ ∠D=180°.
证明：
∵ AB ∥ CD,
∴ ∠B= ∠C( ).
∵ CB ∥ DE,
∴ ∠ C+ ∠ D=180°( ).
∴ ∠ B+ ∠ D=180°( ).
等量代换
两直线平行，内错角相等
两直线平行，同旁内角互补
1. 下列属于定义的是( )
D
A. 两点确定一条直线
B. 两直线平行，同位角相等
C. 等角的补角相等
D. 线段是直线上的两点和它们之间的部分
2. 有下列描述：①过点作直线 ；②两直线平行，同
旁内角互补；③垂直于同一直线的两条直线互相垂直.其中是
定理的有( )
B
A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个
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3.试说明“若 ， ，
，则 ”是真命题.以下是排乱的推理过程：
①因为（已知）；②因为 ,
（已知）；③所以 ，
（等式的性质）；④所以
（等量代换）；⑤所以 （等量代换）.正确的
顺序是____________.
②③①⑤④
返回
4. 下面是投影屏上出示的抢答题，
需要回答横线上符号代表的内容，则回答正确的是( )
已知：如图， .
求证： .
___________________________
证明：延长交于点 ，
则 .
又 ，
，
（ 相等，两直线平行）.
A. 代表 B. 代表同位角
C. 代表 D. 代表
续表
√
. .
. .
. .
. .
返回
5.
（1）如图， ，数学课上，老师请
同学们根据图形的特征添加一个关于角的
条件，使 ，可以添加的条
件是________________________________；
（答案不唯一）
（2）如图，请你从; 平分
; 中任选出两个作为条
件，另一个作为结论，组成一个真命题.
条件：____________________，结论：
____.（填序号）
（答案不唯一）①③
②
定理与证明
基本事实
定理的概念
证明：
步骤：(1)根据题意作出图形.
(2)写出已知和求证.
(3)写出证明的过程
概念
谢谢观看！

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