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【R·数学八年级上册】
第2课时
线段的垂直平分线的
有关作图
15.1.2 线段的垂直平分线
学习目标
进一步了解尺规作图的一般步骤和作图语言,理解作图的依据.
能作出轴对称图形或者成轴对称的两个图形的对称轴,体会转化的数学思想.
能用尺规作出线段的垂直平分线.
能过直线外一点作这条直线的垂线.
回顾导入
如何通过尺规作图作一个角的平分线？
A
B
O
如何利用直尺和圆规作线段的垂直平分线？
思考
探究新知
1. 作线段的垂直平分线
1. 如果点 M，N 都在线段 AB 的垂直平分线上，那么我们能画出线段 AB 的垂直平分线吗？为什么？
A
B
M
N
可以. 如图，过点 M，N 画一条直线，这条直线就是线段 AB 的垂直平分线.
理由：因为点 M，N 都在线段
AB 的垂直平分线上，而两点确定一条直线，所以直线 MN 就是线段 AB 的垂直平分线．
1. 作线段的垂直平分线
2. 如何用直尺和圆规找出像 M，N 这样的点？说说你的想法.
A
B
M
N
用圆规画出到 A，B 两点距离相等的点即可.
3. 用直尺和圆规作出线段 AB 的垂直平分线.
1. 作线段的垂直平分线
A
B
作法：如图.
(1) 分别以点 A 和点 B 为圆心，大于 AB 的长为半径作弧，两弧相交于 C，D 两点；
(2) 作直线 CD.
C
D
也可以用这种方法确定线段的中点
中点
CD 就是线段 AB 的垂直平分线.
针对训练
1. 如图，已知线段 AB = 6，利用尺规作 AB 的垂直平分线，步骤如下：①分别以点 A，B 为圆心，b 的长为半径作弧，两弧相交于点 C 和点 D；②作直线 CD.直线 CD 就是线段AB的垂直平分线，则 b 的长可能是______________.
4 (答案不唯一)
针对训练
2. 如图，已知△ABC，请用尺规过点 A 作一条直线，使其将 △ABC 分成面积相等的两部分.
(不写作法，保留作图痕迹)
A
B
C
D
解：如图，
直线 AD 就是所求作的直线.
2. 作对称轴
学习了线段的垂直平分线的作法，就可以作对称轴了.
任意找一对对应点，作出连接它们的线段的垂直平分线，就可以得到这两个图形的对称轴.
1. 如果两个图形成轴对称，怎样作出对称轴？　　　
A
A'
l
2. 作对称轴
任意找一对对称点，作出连接它们的线段的垂直平分线，就可以得到此图形的对称轴.
2. 对于轴对称图形，怎样作出对称轴？　　　
试着作出这个五角星的其他对称轴.
A
A'
l
1
找：无论是作成轴对称的两个图形的对称轴，还是作轴对称图形的对称轴，其关键都是找出图形中的任意一对对称点；
2
连：连接这对对称点；
3
作：作所连线段的垂直平分线，该垂直平分线就是成轴对称的两个图形或轴对称图形的对称轴．
利用线段的垂直平分线的作法画对称轴：
针对训练
1. 作出下列各图形的一条对称轴，和同学比较一下，你们作出的对称轴一样吗？
（1）
（2）
（3）
（4）
针对训练
2. 如图，与图形（1）成轴对称的是哪个图形？作出它们的对称轴.
2. 作对称轴
例 尺规作图：经过已知直线外一点作这条直线的垂线.
已知：直线 AB 和 AB 外一点 C .
求作：AB 的垂线，使它经过点 C.
A
B
C
分析：假设所求作直线已经作出，
则它不仅过点 C 与直线 AB 垂直，而且是连接 AB 上与垂足距离相等的两点的线段的垂直平分线.
先确定这两点
在直线 AB 上且与点 C 的距离相等即可
2. 作对称轴
A
B
C
(1)以点 C 为圆心，适当长为半径作弧，交直线 AB 于点 D 和点 E.
作法：如图.
E
D
由(1)可知，点 C 在线段 DE 的垂直平分线上.
因而再作出与 D，E 距离相等的另一点 F，就能得到线段 DE 的垂直平分线．
2. 作对称轴
(2)分别以点 D 和点 E 为圆心，大于 DE 的长为半径作弧，两弧相交于点 F.
(3)作直线 CF.
A
B
C
直线 CF 就是所求作的垂线.
E
D
F
针对训练
尺规作图：经过已知直线上的一点作这条直线的垂线 .
解：已知：直线 AB 和 AB 上一点 C(如图).
求作：AB 的垂线，使它经过点 C.
A
B
C
针对训练
作法：如图.
(1)以点 C 为圆心，适当长为半径作弧，交直线 AB 于点 D 和点 E；
(2)分别以点 D 和点 E 为圆心，大于 DE 的长为半径作弧，两弧相交于点 F；
(3)作直线 CF.
直线 CF 就是所求作的垂线.
A
B
C
E
D
F
随堂演练
B
2. 如图，已知 △ABC 内一点，关于直线 MN 对称，△A′B′C′和△A″B″C″ 关于直线 EF 对称.
(1)画出直线 EF；(不写作法，保留作图痕迹)
(2)若直线 MN 与 EF 相交于点 O，试探究∠BOB″与直线 MN，EF 所
夹锐角∠α 的数量关系.
随堂演练
随堂演练
解：(1)如图，直线 EF 即为所求.
E
O
F
(2)如图，连接 OB'.
∵ △ABC 和△A′B′C′关于直线 MN 对称，
∴ BO 与 B′O 关于直线 MN 对称.
随堂演练
E
O
F
∴ ∠BOM =∠B′OM.
同理可得∠B′OE =∠B″OE.
∴ ∠BOB″ =∠BOB′ +∠B′OB″
= 2∠B′OM + 2∠B′OE
= 2∠MOE = 2∠α.
3. 如图，电信部门要在公路 l2 同侧、l1 异侧的两个城镇 A，B 之间修建一座信号发射塔，按照设计要求，发射塔到两个城镇 A，B 的距离必须相等，到两条公路 l1，l2 的距离也必须相等，则发射塔 C 应修建在什么位置？请用尺规作图的方
法作出所有符合条件的点 C 的
位置.(不写作法，保留作图痕迹)
随堂演练
解：如图，点 C1，C2 即为所求.
随堂演练
课堂小结
作线段的 垂直平分线
作对称轴
过直线外一点作这条直线的垂线
课后作业
从课后习题中选取；
完成练习册本课时的习题.

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