资源简介

(共38张PPT)
第一部分 回顾教材篇
第二章 方程（组）与不等式（组）
第8课时 一元一次不等式（组）
要点夯基础
精讲过考点
精练通方法
课时分层强化练
知识要点
1.不等式的性质
（1）若,则 ;
（2）若,,则, ;
（3）若,,则, .
回归教材
1.如果 ,那么下列不等式正确的是( )
A
A. B. C. D.
知识要点
2.解一元一次不等式
（1）解题步骤：①去分母;②去括号;③移项;④合并同类项;⑤系数化为1.
【点拨】在解不等式时,一定要注意不等号的方向是否需要改变.
（2）解集在数轴上表示：
图示 解集
回归教材
2.（1）关于 的不等式中，某个不等式的解集如图所示，则这个不等式的
解集为__________.
--
（2）解不等式： .
解:去分母，得 .
移项，得 .
合并同类项，得 .
系数化为1，得 .
知识要点
3.一元一次不等式组
（1）定义：一般地,关于同一个未知数的几个一元一次不等式合在一起,就
组成一个一元一次不等式组.
（2）解集：一元一次不等式组中各个不等式的解集的公共部分,叫做这个
一元一次不等式组的解集.#1.2
（3）借助数轴,掌握四种基本不等式组的解集. #1.3
不等式组 在数轴上表示 解集 口诀
同大取大
同小取小
大小小大中间找
无解（空集） 大大小小无处找
回归教材
3.解不等式组
请结合题意填空,完成本题的解答.
（1）解不等式①,得________;
（2）解不等式②,得__________;
--
--
（3）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：
解：
（4）原不等式组的解集为_____________.
--
知识要点
4.一元一次不等式（组）的应用
（1）用不等式解决实际问题的一般步骤:
实际问题 列不等式 解不等式 检验 答
（2）表示不等关系的一些常见关键词：
常见关键词 不等号
大于，多于，超过，高于
小于，少于，不足，低于
至少，不低于，不少于，不小于
至多，不高于，不大于，不超过
回归教材
4.（1）某商品的进价是200元,标价为300元,商店要求以利润率不低于 打
折出售，设售货员可以打 折出售此商品，则可列出不等式______________
________________;
--
（2）某环保知识竞赛一共有20道题，规定：答对一道题得5分，答错或不
答一道题扣1分，得分超过85分可以获一等奖.小锋在本次竞赛中获得了一
等奖，假设小锋答对了 道题，则可列出不等式____________________.
--
考点1 解一元一次不等式
1.（2024·湖北）不等式 的解集在数轴上表示为( )
A
A
B
C
D
2.（2024·连云港）解不等式 ,并把解集在数轴上表示出来.
解:去分母，得 .
去括号，得 .
移项、合并同类项，得 .
系数化为1，得 ．
这个不等式的解集在数轴上表示如图所示.
考点2 解一元一次不等式组（5年4考）
3.（2023·广东）一元一次不等式组 的解集为( )
D
A. B. C. D.
4.（2024·广东）关于 的不等式组中,两个不等式的解集如图所示,则这个
不等式组的解集是________.
--
5.解不等式组：
（1）（2022·广东）
解:
解不等式①，得，解不等式②，得 ,
不等式组的解集为 ．
（2）（2021·广东）
解： 解不等式①，得 ，
解不等式②，得 ,
不等式组的解集为 ．
考点3 一元一次不等式的应用（5年1考）
6.（2023·广东）某商品进价4元,标价5元出售,商家准备打折销售,但其利润
率不能少于 ,则最多可打______折.
-8.8-
7.某文具店准备购进甲、乙两种圆规,若购进甲种圆规10个,乙种圆规30个,需
要340元;若购进甲种圆规30个,乙种圆规50个,需要700元.
（1）求购进甲、乙两种圆规的单价各是多少元.
解:设购进甲种圆规的单价是元，乙种圆规的单价是 元，
由题意，得解得
答：购进甲种圆规的单价是10元，乙种圆规的单价是8元.
（2）文具店购进甲、乙两种圆规共100个,每个甲种圆规的售价为15元,每个
乙种圆规的售价为12元,销售这两种圆规的总利润不低于480元,那么这个文
具店至少购进甲种圆规多少个？
解： 设这个文具店购进个甲种圆规，则购进 个乙种圆规.
由题意，得 .
解得 .
的最小值为80．
答：这个文具店至少购进甲种圆规80个．
1.（2024·广州）若 ,则( )
D
A. B. C. D.
2.（2024·乐山）不等式 的解集是( )
A
A. B. C. D.
3.一元一次不等式组 的解集为( )
C
A. B. C. D.
4.（2023·广州）不等式组 的解集在数轴上表示为( )
B
A B
C D
5.（1）（2024·盐城）求不等式 的正整数解;
解:去分母，得 .
移项，得 .
合并同类项，得 .
系数化为1，得 ．
此不等式的正整数解为1，2．
（2）（2025·北京）解不等式组：
解：
解不等式①，得 ，
解不等式②，得 ，
原不等式组的解集为 .
6.（2024·南充）若关于的不等式组的解集为,则 的取
值范围是( )
B
A. B. C. D.
7.某射击运动员在一次比赛中，前6次射击已经得到52环，该项目的纪录是
89环（10次射击，每次射击环数只取 中的正整数）．
（1）如果他第7次射击成绩为8环，那么最后3次射击中要有几次命中10环
才能打破纪录？
解:根据题意，得 ,
则 .
又，，只取 中的正整数，
．
答：最后3次射击中要都命中10环才能打破纪录．
（2）如果他第7次射击成绩为10环，那么最后3次射击中是否必须至少有一
次命中10环才有可能打破纪录？
解： 根据题意，得 ,
则 .
又，，只取 中的正整数，
，， 中至少有一个为10.
答：最后3次射击中必须至少有一次命中10环才有可能打破纪录．
1.（2024·上海）如果 ,那么下列选项正确的是( )
C
A. B. C. D.
2.（2024·河北）下列数中,能使不等式成立的 的值为( )
A
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
3.（2024·陕西）不等式 的解集是( )
D
A. B. C. D.
4.（2024·浙江）不等式组 的解集在数轴上表示为( )
A
A.
B.
C.
D.
5.（2024·河南）下列不等式中,与 组成的不等式组无解的是( )
A
A. B. C. D.
6.（2024·包头）若,, 这三个实数在数轴上所对应的点从左
到右依次排列,则 的取值范围是( )
B
A. B. C. D.
7.（2024·宜宾）某果农将采摘的荔枝分装为大箱和小箱销售,其中每个大
箱装4千克荔枝,每个小箱装3千克荔枝.该果农现采摘32千克荔枝,根据市场
销售需求,大、小箱都要装满,则所装箱的数量最多为( )
C
A. 8箱 B. 9箱 C. 10箱 D. 11箱
8.（2024·福建）不等式 的解集是________.
9.（2024·山东）写出满足不等式组 的一个整数解___________
________________.
--
-（答案不唯一）-
10.解不等式 ,并把它的解集在数轴上表示出来.
解：去分母，得 .
去括号，得 .
移项、合并同类项，得 .
系数化为1，得 .
解集在数轴上表示如图所示.
11.解不等式组 并把解集表示在数轴上.
解：解不等式①，得 .
解不等式②，得 .
则不等式组的解集为 .
解集在数轴上表示如图所示.
12.（2024·扬州）解不等式组 并求出它的所有整数解的和.
解：解不等式①，得 .
解不等式②，得 .
则不等式组的解集为 .
整数解为1，2，3， 所有整数解的和为6．
13.（2025·湖南）同学们准备在劳动课上制作艾草香包，需购买A，B两种
材料.已知A种材料的单价比B种材料的单价多3元，且购买4件A种材料与购
买6件B种材料的费用相等.
（1）求A种材料和B种材料的单价;
解：设A种材料的单价为元，则B种材料的单价为 元.
由题意，得.解得 .
.
答：A种材料的单价为9元，B种材料的单价为6元.
（2）若需购买A种材料和B种材料共50件，且总费用不超过360元，则最多
能购买A种材料多少件？
解： 设购买A种材料件，则购买B种材料 件.
由题意，得.解得 .
答：最多能购买A种材料20件.
14.（2025·南充）若不等式组的解集是，则 的取值
范围是_________.
15.（2024·烟台）若关于的不等式有正数解,则 的值可以
是__________________.（写出一个即可）
16.若关于的不等式组无解,则 的取值范围为__________.
--
-0（答案不唯一）-
--(共32张PPT)
第一部分 回顾教材篇
第二章 方程（组）与不等式（组）
第6课时 分式方程
要点夯基础
精讲过考点
精练通方法
课时分层强化练
知识要点
1.分式方程
（1）定义：分母中含有未知数的方程叫做分式方程.
（2）分式方程的解法
回归教材
1.方程 的解是( )
C
A. B. C. D.
2.解方程： .
解:方程两边同乘，得 ，
解得 .
检验：当时， .
原分式方程的解是 ．
知识要点
2.分式方程的应用
（1）一般步骤
【易错警示】列分式方程解应用题必须双检验：①检验是否是分式方程的
解;②检验是否符合实际问题.
（2）常考类型
回归教材
3.（1）小丽去批发市场购买某品牌运动袜,第一次按原价购买,用了125元,第
二次去购买时,该品牌运动袜打9折出售,她用135元又买了一些,两次一共购
买了55双.设该品牌运动袜的原价为每双 元,根据题意可列方程为_________
_________;
--
（2）甲、乙两辆客车分别从相距560千米的A，B两地同时出发,相向而行,
相遇时乙车行驶了240千米,如果甲车每小时比乙车多行驶20千米，设甲车
的速度是 千米/时,根据题意可列方程为_ _______________.
--
考点1 分式方程的解法（5年2考）
1.（2024·广东）方程 的解为( )
C
A. B. C. D.
2.（2025·广东）在解分式方程 时，小李的解法如下：
小李的解法中哪一步是去分母？去分母的依据是什么？判断小李的解答过
程是否正确.若不正确，请写出你的解答过程.
解：小李的解法中，第一步是去分母.
去分母的依据是等式的基本性质.
小李的解答过程不正确.
正确的解答过程：
，
去分母，得 .
移项、合并同类项，得 .
检验：当时， .
原分式方程无解.
［拓展］
3.已知关于的分式方程 .
（1）若分式方程有增根,则 ______;
（2）若分式方程无解,则 _________;
（3）若分式方程的解为负数,则 的取值范围是________.
--
-或1-
--
区分“增根”与“无解”
1.增根：去分母后得到的整式方程有解,但此解使分式方程的最简公分母为0.
2.无解：（1）解为增根;（2）去分母后得到的整式方程无解.
考点2 分式方程的应用（5年2考）
4.（2023·广东）某学校开展了社会实践活动,活动地点距离学校 .甲、
乙两同学骑自行车同时从学校出发,甲的速度是乙的1.2倍,结果甲比乙早到
,求乙骑自行车的速度.
解:设乙骑自行车的速度为，则甲骑自行车的速度为 .
根据题意，得 ，
解得 ．
经检验， 是原分式方程的解，且符合题意.
答：乙骑自行车的速度为 ．
5.（2025·云南）某化工厂采用机器人A、机器人B搬运化工原料，机器人
A比机器人B每小时少搬运20千克，机器人A搬运800千克化工原料所用时间
与机器人B搬运1 000千克所用时间相等.求机器人A、机器人B每小时分别
搬运多少千克化工原料.
解：设机器人A每小时搬运 千克化工原料，则机器人B每小时搬运
千克化工原料.
根据题意，得 ，
解得 .
经检验， 是所列方程的解，且符合题意.
.
答：机器人A每小时搬运80千克化工原料，机器人B每小时搬运100千克化
工原料.
1.（2024·德阳）分式方程 的解是( )
D
A. B. C. D.
2.（2025·湖南）将分式方程 去分母后得到的整式方程为( )
A
A. B. C. D.
3.（2025·江西）小美家有一辆燃油汽车和一辆纯电汽车，燃油汽车耗费
6 000元油费行驶的路程与纯电汽车耗费1 000元电费行驶的路程相同，且
每百千米的耗油费比耗电费约多50元，求纯电汽车每百千米的耗电费.设纯
电汽车每百千米的耗电费为 元，可列分式方程为______________.
--
4.若代数式与代数式互为相反数，则 的值是_____.
-11-
5.解方程：
（1）（2025·威海） ;
解：去分母，得 .
移项、合并同类项，得 .
系数化为1，得 .
检验：当时， .
故原方程的解为 .
（2） .
解： 去分母，得 .
去括号，得 .
移项、合并同类项，得 .
系数化为1，得 .
经检验，当时， .
则 是原方程的增根.
故原方程无解.
6.（2024·达州）若关于的方程无解,则 的值为_________.
-2或-
7.（2025·山西）我国自主研发的 型快速换轨车，采用先进
的自动化技术，能精准高效地完成更换铁路钢轨的任务.一辆该型号快速换
轨车每小时更换钢轨的千米数是一个工作队人工更换钢轨的2倍，它更换
116千米钢轨比一个工作队人工更换80千米钢轨所用时间少22小时，求一辆
该型号快速换轨车每小时更换钢轨多少千米.
解：设一辆该型号快速换轨车每小时更换钢轨 千米.
根据题意，得 ，
解得 .
经检验， 是原方程的解，且符合题意.
答：一辆该型号快速换轨车每小时更换钢轨2千米.
1.（2024·济宁）解分式方程 时,去分母变形正确的是
( )
A
A. B.
C. D.
2.已知关于的方程的解是,则 的值为( )
C
A. 2 B. 1 C. D.
3.分式方程 的解是( )
D
A. B. C. D.
4.（2024·泸州）分式方程 的解是( )
D
A. B. C. D.
5.在题目“甲、乙两地相距 ,一辆汽车从甲地匀速开往乙地……求汽
车实际行驶的时间”中,若设汽车原计划行驶 ,可得方程
,则题目中“……”表示的条件是( )
A
A. 速度比原计划增加,结果提前 到达
B. 速度比原计划增加,结果晚 到达
C. 速度比原计划减少,结果提前 到达
D. 速度比原计划减少,结果晚 到达
6.（2024·达州）甲、乙两人各自加工120个零件,甲由于个人原因没有和乙
同时进行,乙先加工30分钟后,甲开始加工.甲为了追上乙的进度,加工的速度
是乙的1.2倍,最后两人同时完成，求乙每小时加工多少个零件.设乙每小时
加工 个零件,可列方程为( )
D
A. B.
C. D.
7.（1）（2024·湖南）分式方程 的解为________；
（2）（2025·北京）方程 的解为________.
--
--
8.（2023·永州）若关于的分式方程（ 为常数）有增根,则
增根是________.
--
9.解方程：
（1） ;
解：去分母，得 .
移项、合并同类项，得 .
解得 ．
检验：当时， .
故原分式方程的解为 ．
（2）（2024·陕西） .
解： 方程两边都乘 ，
得 .
解得 .
检验：当时， .
故原分式方程的解是 ．
10. 农历新年前,小龙打算和妈妈一起到商场采购贺岁迎新的饰
品,预算买该饰品的金额是60元.下面是两人走到第二家商场时的对话,请根
据对话,求出第一家商场该饰品的单价.
解：设第一家商场该饰品的单价是元，则第二家商场该饰品的单价
是 元.
由题意，得 ，
解得 .
经检验， 是原方程的解，且符合题意.
答：第一家商场该饰品的单价是10元．
11.（2024·泰安）随着快递行业的快速发展,全国各地的农产品有了更广阔
的销售空间.某农产品加工企业有甲、乙两个组共35名工人,甲组每天加工
3 000件农产品,乙组每天加工2 700件农产品.已知乙组每人每天平均加工的
农产品数量是甲组每人每天平均加工农产品数量的1.2倍,求甲、乙两组各有
多少名工人.
解：设甲组有名工人，则乙组有 名工人.
根据题意,得 ，
解得 .
经检验， 是原方程的解，且符合题意.
．
答：甲组有20名工人，乙组有15名工人．
12.（2025·遂宁）若关于的分式方程无解，则 的值为
( )
D
A. 2 B. 3 C. 0或2 D. 或3
13.若分式方程的解为正数,则 的取值范围为( )
B
A. B. 且
C. D. 且(共38张PPT)
第一部分 回顾教材篇
第二章 方程（组）与不等式（组）
第5课时 一次方程（组）
要点夯基础
精讲过考点
精练通方法
课时分层强化练
知识要点
1.等式的基本性质
等式的左右两边同时加（减、乘或除以）同一个代数式,结果仍为等式.
（注意：除数不为0）
回归教材
1.若 ,则下列式子错误的是( )
D
A. B.
C. D.
知识要点
2.一元一次方程
（1）方程的概念：含有未知数的等式叫做方程.
（2）方程的解：使方程左、右两边的值相等的未知数的值,叫做方程的解.
（3）一元一次方程：在一个方程中,只含有_______未知数,且未知数的次数
都是____,等号两边都是整式，这样的方程叫做一元一次方程.一般式：
.
（4）解一元一次方程的一般步骤：①去分母;②去括号;③移项;④合并同类
项;⑤系数化为1.
-一个-
-1-
回归教材
2._____方程 的解.（填“是”或“不是”）
3.已知是方程的解,那么 的值是____.
-是-
-1-
4.解方程： .
解:去分母，得 .
去括号，得 .
移项、合并同类项，得 .
系数化为1，得 .
知识要点
3.二元一次方程（组）
（1）二元一次方程：含有两个未知数,并且所含未知数的项的次数是1的方
程叫做二元一次方程.
（2）解二元一次方程组的基本思路是消元,使之转化为一元一次方程,具体
解法有_____________与_____________.
-代入消元法-
-加减消元法-
回归教材
5.解方程组：
解:
，得，解得 .
把代入②，得，解得 .
原方程组的解为
知识要点
4.一次方程（组）的应用（常见类型等量关系）
（1）分段计费问题：总费用满档部分费用 超过满档部分的费用.
（每个档的计费方式不同,分段处理）
（2）工程问题：工作总量 工作效率×工作时间.
（3）行程问题：速度×时间 路程.
（4）相遇问题：甲走的路程乙走的路程 两地距离.
（5）追及问题：①同地不同时出发：甲走的路程 乙走的路程;②同时不同
地出发：前者走的路程两出发地之间的距离 追及者走的路程.
回归教材
6.《九章算术》中记载了这样一道题：牛5头和羊2只共值10金，牛2头和羊
5只共值8金，问牛和羊各值多少金？设每头牛值金，每只羊值 金，可列
方程组为_ ________________.
--
考点1 一元一次方程的解法
1.（2023·永州）若关于的一元一次方程的解为,则 的
值为( )
A
A. 3 B. C. 7 D.
2.解方程：
（1） ;
解:去括号，得 .
移项、合并同类项，得 .
系数化为1，得 .
（2） .
解：去分母，得 .
去括号，得 .
移项、合并同类项，得 .
解一元一次方程时,要注意：①去分母时不要漏乘常数项;②括
号前是负号的,去括号时要变号;③移项时要变号.
考点2 二元一次方程（组）的解法（5年1考）
3.（2021·广东）二元一次方程组 的解为_ __________.
--
4.解方程组：
（1）
解:
，得，解得 .
把代入①，得，解得 .
原方程组的解是
（2）
解：
由①得 .③
把③代入②，得，解得 .
把代入③，得 .
原方程组的解是
5.已知关于,的方程组与 的解相同，
求, 的值.
解:由题意知，关于，的方程组的相同解，就是方程组 的解，
解得
代入得
解得
考点3 一次方程（组）的应用（5年1考）
6.（2024·广州）某新能源车企今年5月交付新车35 060辆,且今年5月交付
新车的数量比去年5月交付的新车数量的1.2倍还多1 100辆.设该车企去年5
月交付新车 辆,根据题意可列方程为( )
A
A. B.
C. D.
7.（2022·广东）《九章算术》是我国古代的数学专著，几名学生要凑钱
购买1本.若每人出8元，则多了3元;若每人出7元，则少了4元.问学生人数和
该书单价各是多少？
解：设学生有人，该书单价为 元.
根据题意,得解得
答：学生有7人，该书单价为53元.
8.（2025·连云港）如图，制作甲、乙两种无盖的长方体纸盒，需用正方
形和长方形两种硬纸片，且长方形的宽与正方形的边长相等.现用200张正
方形硬纸片和400张长方形硬纸片，恰好能制作甲、乙两种纸盒各多少个？
解：设恰好能制作甲种纸盒个，乙种纸盒 个.
根据题意，得
解得
答：恰好能制作甲种纸盒40个，乙种纸盒80个.
1.下列运用等式的性质对等式进行的变形中,不正确的是( )
D
A. 若,则 B. 若,则
C. 若,则 D. 若,则
2.解方程 ,去分母后正确的是( )
A
A. B.
C. D.
3. （2024·深圳）在明朝程大位的《算法统宗》中有首住店诗：
我问开店李三公,众客都来到店中,一房七客多七客,一房九客一房空.诗的大
意：一些客人到李三公的店中住宿,如果每一间客房住7人,那么有7人无房可
住;如果每一间客房住9人,那么就空出一间房.设该店有客房间,房客 人,则
可列方程组为( )
A
A. B.
C. D.
4.（2023·河南）方程组 的解为_ ________.
--
5.解方程（组）：
（1）（2024·滨州） ;
解:去分母，得 .
去括号，得 .
移项，得 .
合并同类项，得 .
（2）（2024·浙江）
解：
，得，解得 .
把代入①，得，解得 .
原方程组的解是
6. （2024·盐城）我国古代数学著作《增删算法统宗》中记载
的“绳索量竿”问题,大意是：现有一根竿子和一条绳索,用绳索去量竿子,绳
索比竿子长5尺;若将绳索对折去量竿子,绳索就比竿子短5尺,问绳索、竿子
各有多长？该问题中的竿子长为_____尺.
-15-
7.（2025·吉林）吉林省长白山盛产人参.为促进我省特色经济的发展，某
公司现将人参加工成甲、乙两种盒装的商品出售，甲、乙两种商品的售价
分别为每盒25元和20元.某游客购买了甲、乙两种商品共10盒，花费230元，
求该游客购买甲种商品和乙种商品的盒数.
解：设该游客购买甲种商品盒，乙种商品 盒，
根据题意，得
解得
答：该游客购买甲种商品6盒，乙种商品4盒.
8.幻方是古老的数学问题，我国古代的《洛书》中记载了
最早的幻方——九宫格.将数字 分别填入如图所示的
幻方中，要求每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的
数字之和都是15，则 ____.
-1-
1.下列等式变形正确的是( )
D
A. 若,则 B. 若,则
C. 若,则 D. 若,则
2.若是关于的方程的解,则 的值是( )
D
A. B. C. 2 D. 3
3.用加减消元法解方程组 下列做法正确的是( )
A
A. B. C. D.
4.二元一次方程组 的解为( )
C
A. B. C. D.
5.（2025·山东）明代数学家吴敬的《九章算法比类大全》中有一个“哪吒
夜叉”问题，大意是：有3个头6只手的哪吒若干，有1个头8只手的夜叉若干，
两方交战，共有36个头，108只手.问哪吒、夜叉各有多少？设哪吒有 个，
夜叉有 个，则根据条件所列方程组为( )
D
A. B.
C. D.
6.已知,满足方程组则 ____.
7.一家商店的某种衣服按进价提高 后标价,又以八折优惠卖出,结果每件
衣服获利100元,则这件衣服的进价是______元.
-8-
-500-
8.解方程（组）：
（1）（2024·新疆） ;
解：去括号，得 .
移项，得 .
合并同类项，得 ．
（2）（2024·广西）
解：
，得，解得 .
，得，解得 ，
原方程组的解为
9.（2024·陕西）星期日,妈妈做饭,小峰和爸爸进行了一次家庭卫生大扫除.
根据这次大扫除的任务量,若小峰单独完成,需;若爸爸单独完成,需 .当天,
小峰先单独打扫了一段时间后,去参加篮球训练,接着由爸爸单独完成了剩余
的打扫任务,小峰和爸爸这次一共打扫了 ,求这次小峰打扫了多长时间.
解：设这次小峰打扫了，则爸爸打扫了 .
根据题意,得 ，
解得 ．
答：这次小峰打扫了 ．
10.（2025·烟台）2025年6月5日是第54个“世界环境日”，为打造绿色低碳
社区，某社区决定购买甲、乙两种太阳能路灯安装在社区公共区域，升级
改造现有照明系统.已知购买1盏甲种路灯和2盏乙种路灯共需220元，购买3
盏甲种路灯比4盏乙种路灯的费用少140元，求甲、乙两种路灯的单价.
解：设甲种路灯的单价是元，乙种路灯的单价是 元，
根据题意，得解得
答：甲种路灯的单价是60元，乙种路灯的单价是80元.
11.若关于，的二元一次方程组的解满足 ，则
的值为______.
12.若方程组与方程组有相同的解，则
____.
--
-1-
13.（2025·长沙）为落实科技兴农政策，某乡办食品企业应用新科技推动
农产品由粗加工向精加工转变.根据市场需求，该食品企业将收购的农产品
加工成A，B两种等级的农产品对外销售，已知销售6千克A等级农产品和4
千克B等级农产品共收入112元，销售4千克A等级农产品和2千克B等级农产
品共收入68元.（不考虑加工损耗）
（1）求每千克A等级农产品和每千克B等级农产品的销售单价分别为多少元;
解：设每千克A等级农产品的销售单价为 元，每千克B等级农产品的销售
单价为 元，
由题意，得
解得
答：每千克A等级农产品的销售单价为12元，每千克B等级农产品的销售单
价为10元.
（2）若该食品企业以每千克8元购进6 000千克农产品，全部加工后对外销
售，要求总利润不低于16 000元，则至少需加工A等级农产品多少千克？
解： 设需加工A等级农产品千克，则需加工B等级农产品 千克，
由题意，得 ，
解得 .
答：至少需加工A等级农产品2 000千克.(共37张PPT)
第一部分 回顾教材篇
第二章 方程（组）与不等式（组）
第7课时 一元二次方程
要点夯基础
精讲过考点
精练通方法
课时分层强化练
知识要点
1.一元二次方程
（1）定义：等号两边都是整式,只含有一个未知数,并且未知数的最高次数
是2的方程,叫做一元二次方程.
（2）一般形式：（其中,,为常数,且 ）.
回归教材
1.若方程为关于的一元二次方程,则 的取值范围
为_________.
2.方程 的二次项系数是____,一次项系数是______,常数项是
______.
--
-1-
--
--
知识要点
2.一元二次方程的解法
方法 适用类型 方程的解
直接开平 方法 或 形式的 方程 _________________
配方法 易变形为 形式的方程 _ __________
公式法 适用所有一元二次方程 _ ___________
（求根公式）
-或-
--
--
方法 适用类型 方程的解
因式分解 法 易变形为 形式的 方程 ,
续表
回归教材
3.（1）方程 的解是_________________.
（2）方程 的解是_________________.
-,-
-，-
（3）解方程： .
解:分解因式，得 ，
则或 ，
解得， .
知识要点
3.一元二次方程根的判别式
一元二次方程的根的判别式为 .
（1） 方程有_____________的实数根;
（2） 方程有___________的实数根;
-两个不相等-
-两个相等-
（3） 方程无实数根.
回归教材
4.已知关于的一元二次方程 .
（1）当 时,方程根的情况是( )
A
A. 有两个不相等的实数根 B. 无实数根
C. 有两个相等的实数根 D. 无法确定
（2）若方程没有实数根,则 的取值范围是_____________.
--
知识要点
4.一元二次方程根与系数的关系
若一元二次方程的两个根分别为, ,则
_ _____, ____.
--
--
【点拨】根与系数的关系需满足 .
回归教材
5.若,是方程 的两个根,则( )
A
A. B. C. D.
知识要点
5.一元二次方程的应用（常考类型）
（1）面积问题：长×宽, 底×高.
（2）增长（下降）率问题：初始量 新量.
（3）互赠、握手问题：
人互赠：;人两两握手： .
（4）营销问题：利润售价-成本;总利润 单件利润×销售量.
回归教材
6.某种商品的进价为每件40元,售价是每件60元,每周可卖出300件,根据市场
调查发现：若售价每涨价1元,则每周要少卖出10件,设每件涨价 元,则此时
每件的利润为_______________元,每周可以卖出______________
件，要使每周的利润为6 250元,则可列方程为__________________________
___________.
--
--
--
考点1 一元二次方程的解法及方程的根（5年1考）
1.（2024·贵州）一元二次方程 的解是( )
B
A. , B. ,
C. , D. ,
2.（2022·广东）若是方程的根,则 ____.
-1-
3.解方程：
（1）（2023·广州） ;
解:分解因式，得 ，
则或 ，
解得， ．
（2） .
解： 分解因式，得 ，
则或 ，
解得， .
考点2 一元二次方程根的判别式（5年2考）
4.（2025·广东）不解方程，判断一元二次方程 的根的情
况是_______________________.
5.（2024·广东）若关于的一元二次方程 有两个相等的实
数根,则 ____.
6.若关于的一元二次方程有两个实数根,则 的取值
范围是_ ______________.
-有两个不相等的实数根-
-1-
-且-
考点3 一元二次方程根与系数的关系（5年1考）
7.（2025·湖北）一元二次方程的两个实数根为， ，
下列结论正确的是( )
D
A. B. C. D.
8.（2021·广东）若一元二次方程（， 为常数）的两个
根，满足， ，则符合条件的一个方程为
_____________________________.
-（答案不唯一）-
考点4 一元二次方程的应用（5年1考）
9.（2025·广东）广东省统计局的相关数据显示，近年来高技术制造业呈
现快速增长态势.某公司工业机器人在今年5月产值达到2 500万元，预计7
月产值将增至9 100万元.设该公司6，7两个月产值的月均增长率为 ，可列
出的方程为( )
A
A. B.
C. D.
10.（2025·威海）如图，某校有一块长
、宽 的矩形种植园.为了方便耕
作管理，在种植园的四周和内部修建宽度
相同的小路（图中阴影部分）.小路把种植
园分成面积均为 的9块矩形地块，请
你求出小路的宽度.
解：设小路的宽度为，则9块矩形地块可合成长为 ，宽为
的矩形.
根据题意，得 .
整理，得 .
解得, （不符合题意，舍去）.
答：小路的宽度为 .
1.方程 的根是( )
C
A. B.
C. , D. ,
2.（2024·吉林）下列方程中,有两个相等的实数根的是( )
B
A. B.
C. D.
3.若关于的一元二次方程有实数根,则 的取值范围是
( )
D
A. B.
C. 且 D. 且
4.（2025·福建）为加强劳动教育，增加学生实践机会，
某校拟用总长为 的篱笆，在两边都足够长的直角围墙
的一角，围出一块 的矩形菜地作为实践基地，如图
所示.设矩形的一边长为 ，根据题意可列方程( )
C
A. B. C. D.
5.（2024·深圳）若一元二次方程的一个解为,则
____.
6.（2024·成都）若,是一元二次方程 的两个实数根,则
的值为____.
-2-
-7-
7.解方程：
（1）（2024·安徽） ;
解: ，
，
，
则或 ，
解得， ．
（2）（2024·齐齐哈尔） .
解： ，
，
则或 ，
解得， ．
8.（2024·广州）定义新运算： 例如：
,若,则 的值为_ ________.
-或-
1.若关于的方程是一元二次方程,则 的取值范围
是( )
A
A. B. C. D.
2.（2023·新疆）用配方法解一元二次方程 ，配方后得到
的方程是( )
D
A. B. C. D.
3.已知关于的方程 的一个根为2,则另一个根为( )
C
A. B. C. D. 2
4.（2025·河南）一元二次方程 的根的情况是( )
A
A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根
C. 只有一个实数根 D. 没有实数根
5.（2024·北京）若关于的一元二次方程 有两个相等的实
数根,则实数 的值为( )
C
A. B. C. 4 D. 16
6.（2024·凉山）若关于的一元二次方程 的一
个根是0,则 的值为( )
A
A. 2 B. C. 2或 D.
7.（2024·内江）某市2021年底的森林覆盖率为 ,该市大力开展植树造
林活动,2023年底的森林覆盖率已达到 .如果这两年森林覆盖率的年平均
增长率为 ,那么符合题意的方程是( )
B
A. B.
C. D.
8.（2024·通辽）如图,小程的爸爸用一段 长的铁丝网围成一个一边靠
墙（墙长）的矩形鸭舍,其面积为 ,在鸭舍侧面中间位置留一个
宽的门（由其他材料做成）,则 的长为( )
C
A. 或 B. 或 C. D.
9.若一个关于 的一元二次方程的两个根互为相反数,请你写出一个满足条件
的方程：___________________________.
10.（2024·泸州）已知,是一元二次方程 的两个实数根,
则 的值是_____.
-（答案不唯一）-
-14-
11.解方程： .
解： ，
,
或 ，
解得， ．
12.直播购物逐渐走进了人们的生活.某电商对一款成本价为40元的小商品进
行直播销售,如果按每件60元销售,每天可卖出20件.通过市场调查发现,每件
小商品售价每降低5元,日销售量增加10件.
（1）若日利润保持不变,商家想尽快销售完该款小商品,则每件售价应定为
多少元？
解：设每件售价应定为元，则每件的利润为 元，日销售量为
件.
依题意，得 .
整理，得 .
解得， （舍去）.
答：每件售价应定为50元.
（2）小明的线下实体商店也销售同款小商品,标价为每件62.5元.为提高市
场竞争力,促进线下销售,小明决定对该小商品实行打折销售,使其销售价格
不超过（1）中的售价,则该商品至少需打几折销售？
解： 设该商品需打 折销售.
由题意，得 .
解得 .
答：该商品至少需打8折销售．
13.（2024·河北）淇淇在计算正数的平方时,误算成 与2的积,求得的答案
比正确答案小1,则 ( )
C
A. 1 B. C. D. 1或
14.（2024·烟台）若一元二次方程的两个根为， ,则
的值为____.
-6-
15.（2024·南充）已知,是关于的方程 的
两个不相等的实数根.
（1）求 的取值范围;
解： 原方程有两个不相等的实数根， ，
，
解得 ．
故的取值范围为 ．
（2）若,且,,都是整数,求 的值.
解： ， 整数 的值为2，3，4.
当时，方程为，解得， ；
当或 时，方程的解不为整数．
综上所述， 的值为2．

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